劉維寧， 杜林林,2， 劉衛(wèi)豐

(1. 北京交通大學(xué) 土木建筑工程學(xué)院， 北京 100044； 2. 中國中元國際工程有限公司 技術(shù)研究院， 北京 100089)

近些年來，隨著城市軌道交通路網(wǎng)的逐步加密，列車行駛產(chǎn)生的環(huán)境振動提升了城區(qū)環(huán)境振動水平，這對線路周邊居民的正常生活，對建筑物的結(jié)構(gòu)安全及精密儀器的工作[1-2]造成了不利影響。其中，由于列車曲線運(yùn)行環(huán)境振動影響的預(yù)測評估并未真實考慮列車曲線行駛的垂-橫向動力耦合作用，未能真實的反應(yīng)實際行車速度不滿足設(shè)計超高所需要行車速度的情況，因此曲線地段環(huán)境振動影響超標(biāo)現(xiàn)象更為突出[3-5]。經(jīng)統(tǒng)計，地鐵曲線軌道占線路總長度的比值高達(dá)30%～50%，見圖1[6]。到目前為止，對于地鐵曲線軌道來說，列車行駛引起的振動源強(qiáng)特性、振動傳播規(guī)律等問題仍不十分清楚。

與直線軌道不同的是，列車通過曲線軌道時，列車-軌道動力相互作用具有顯著的垂-橫向動力耦合特性。由此引發(fā)許多軌道及車輛行業(yè)內(nèi)特別關(guān)注的問題，如鋼軌波浪形磨耗現(xiàn)象[7-8]。當(dāng)列車通過曲線軌道時，并不能完全滿足線路設(shè)計超高所需要的行車速度，由此產(chǎn)生的輪軌附加動力作用，除了對軌道及車輛運(yùn)行帶來影響之外，其特殊的振動源強(qiáng)特性產(chǎn)生了與直線運(yùn)行不同的環(huán)境振動影響。根據(jù)現(xiàn)場測試發(fā)現(xiàn)，列車以同樣速度通過直線軌道時產(chǎn)生的環(huán)境振動小于曲線軌道[9]，且列車行駛于曲線軌道時，地表的水平向振動強(qiáng)度大于豎向的情況時有發(fā)生[4,10-11]。對此，以往計算與評估未做出嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目紤]，因而帶來了較大的列車振動環(huán)境影響評估誤差。作為軌道交通環(huán)境振動與二次噪聲評估的一個重要的基本因素，地鐵列車在曲線上運(yùn)行所產(chǎn)生的振動源強(qiáng)，至今為止仍未進(jìn)行系統(tǒng)深入的研究?，F(xiàn)有的針對曲線軌道輪軌動力相互作用研究的主要方向是在輪軌接觸狀態(tài)、輪軌界面粗糙度等隨機(jī)因素對輪軌磨耗、車輛運(yùn)行安全性、舒適性等方面的影響[12-13]。而環(huán)境影響的研究仍不夠充分，當(dāng)曲線軌道占比達(dá)到50%時，對列車振動環(huán)境影響評估的準(zhǔn)確性產(chǎn)生了不容忽視的效果。

目前，對列車運(yùn)行誘發(fā)區(qū)域環(huán)境振動的預(yù)測及評估工作，在行業(yè)規(guī)范中是基于鏈?zhǔn)剿p的經(jīng)驗預(yù)測法，在曲線地段，規(guī)范僅采用一個常數(shù)修正值對曲線地段進(jìn)行經(jīng)驗性修正，并未考慮曲線軌道上車-軌動態(tài)垂-橫向相互耦合作用。在采用數(shù)值法對包括軌道-隧道-地層一體性模型進(jìn)行動力分析時，也僅考慮垂向振源激勵[14]，預(yù)測結(jié)果與實測相比有較大差距。當(dāng)考慮列車曲線通過時的橫向作用時，研究發(fā)現(xiàn)可提高曲線軌道振動預(yù)測的準(zhǔn)確性[15]。另一方面，地鐵沿線附近的某些特殊振動敏感目標(biāo)，對水平向的振動會要求更加苛刻，有時這種要求會達(dá)到10-1～10-3mm量級[16]。除此之外，在地鐵曲線地段，當(dāng)采用降速措施控制環(huán)境振動影響時，有時降速運(yùn)行不僅不能緩解振動超標(biāo)問題，反而增加了振動影響。

綜上所述，為了提高地鐵環(huán)境振動影響預(yù)測的精度與準(zhǔn)確性，必須重視線路曲線段預(yù)測的精度與準(zhǔn)確性。而這就要求首先必須解決列車曲線軌道運(yùn)行時的振動源強(qiáng)特性問題，研究車-軌關(guān)鍵參數(shù)與振動源強(qiáng)的因果關(guān)系問題。

振動源強(qiáng)是指在對列車運(yùn)行引起的周圍環(huán)境進(jìn)行振動及噪聲影響分析時，輸入到預(yù)測評估模型中的振動物理量，通常包括軌道振動加速度級或振動荷載、振動加速度。對振動源強(qiáng)特性進(jìn)行研究，經(jīng)常采用的方法是試驗分析法和模型分析法。采用模型分析法研究曲線軌道-車輛動力相互作用時，目前主要圍繞著列車曲線行駛時列車和軌道結(jié)構(gòu)的安全性、輪軌動力匹配以及輪軌接觸磨耗等方面進(jìn)行[12,17]。鮮有關(guān)注車輛曲線運(yùn)行時車輛-軌道間垂-橫向動力耦合作用對環(huán)境影響分析的研究。比如，當(dāng)采用解析法研究車軌耦合作用時，軌道模型通常采用直梁近似模擬曲線鋼軌[18]，而不考慮曲率半徑對模型計算精度的影響。若采用連續(xù)支承曲梁模擬曲線軌道，同時考慮曲率半徑影響時，卻忽略了離散支承的作用[19]。如采用時域法對車-軌動力耦合模型進(jìn)行分析，通常取有限長軌道結(jié)構(gòu)進(jìn)行計算，而這樣僅能得到近似解，大量反復(fù)的數(shù)值計算無法反應(yīng)車-軌關(guān)鍵參數(shù)與振動源強(qiáng)的因果關(guān)系。綜上可知，研究列車曲線軌道運(yùn)行時的振動源強(qiáng)特性問題，弄清曲線行車時車-軌關(guān)鍵參數(shù)與振動源強(qiáng)的因果關(guān)系，需要尋找一個理論可靠、計算高效的辦法。

為此，本文通過建立離散點支承曲線軌道動力學(xué)模型，進(jìn)而在頻域內(nèi)，采用解析函數(shù)的方法，實現(xiàn)了曲線軌道-列車空間解析耦合，從曲線軌道車軌耦合基本力學(xué)機(jī)理上，對曲線軌道振動源強(qiáng)特征開展了系統(tǒng)性的研究。

1 車-軌空間耦合模型

1.1 曲線軌道結(jié)構(gòu)動力學(xué)模型

本文結(jié)合曲線軌道的結(jié)構(gòu)特點，采用等間距離散點支承曲線梁力學(xué)模型對其進(jìn)行模擬，用曲線Timoshenko梁模擬曲線軌道鋼軌的力學(xué)性質(zhì)，用彈簧-阻尼模型模擬支承系統(tǒng)的剛度及阻尼特性，由此建立了曲線軌道結(jié)構(gòu)動力學(xué)模型，見圖2。圖2中，F(xiàn)x、Fy分別為移動速度為v的橫向、垂向外荷載；Tz為移動速度為v扭轉(zhuǎn)荷載。

結(jié)合曲線Timoshenko梁靜力學(xué)平衡方程[20-22]，以及曲線軌道結(jié)構(gòu)的受力特點，可得曲線軌道結(jié)構(gòu)動力學(xué)控制方程

( 1 )

( 2 )

( 3 )

( 4 )

( 5 )

( 6 )

本文將任意長度的曲線軌梁，視為具有相同曲率半徑并存在某種數(shù)學(xué)周期的、虛擬的圓形環(huán)結(jié)構(gòu)的一部分，該結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)周期可取為扣件支點間距L。由此，根據(jù)無限周期性結(jié)構(gòu)理論[23]及曲線軌道梁動力響應(yīng)的頻域數(shù)學(xué)模態(tài)疊加法[24-25]，對上述方程進(jìn)行求解，可得到地鐵曲線軌道結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)頻域解。

1.2 車輛模型

本文將地鐵車輛簡化為多剛體系統(tǒng)，車體、2個構(gòu)架以及4個輪對同時考慮橫移、沉浮、側(cè)滾等自由度，除此之外車體和構(gòu)架還考慮了點頭、搖頭自由度。一系、二系懸掛采用彈簧阻尼單元模擬。其中曲線軌道-車輛相互作用力學(xué)簡化模型見圖3。

由達(dá)朗貝爾原理可知車輛運(yùn)動方程為

( 7 )

1.3 輪軌耦合關(guān)系及軌道不平順

將軌道不平順視為弱平穩(wěn)Gauss隨機(jī)過程，具有近似各態(tài)歷經(jīng)的特點，其樣本可通過三角級數(shù)疊加法得到[26]。

由于輪軌耦合關(guān)系受軌道系統(tǒng)、車輛系統(tǒng)、輪軌接觸狀態(tài)等因素的影響，本文在對城市軌道交通振動源強(qiáng)特性的分析中，將影響輪軌動力相互作用的因素分為以下2個部分：

(1) 定常因素。即軌道結(jié)構(gòu)(含標(biāo)準(zhǔn)扣件、減振扣件、減振軌枕、浮置道床等)，軌枕離散支承，行車車速，加減速運(yùn)行，曲線半徑及超高等。

(2) 隨機(jī)因素。即輪軌接觸狀態(tài)，輪軌界面粗糙度，軌道不平順譜，鋼軌波浪形磨損，焊接接頭，養(yǎng)護(hù)維修狀態(tài)等。

作為階段性成果，本文在建立輪軌耦合關(guān)系時，基于線性相互作用假定，主要考慮了列車穩(wěn)態(tài)曲線通過時的振動源強(qiáng)特性問題，即主要研究了“定常因素”對曲線軌道振源特性的影響。

考慮到地鐵環(huán)境振動源強(qiáng)特性的主要關(guān)心頻率為1～100 Hz[27-28]，假設(shè)輪軌接觸點位于鋼軌軌頭中心線上，視輪軌動力相互作用為線性作用，并將輪軌力分解為垂向荷載以及橫向蠕滑荷載。

根據(jù)Hertz接觸理論，車輪與鋼軌之間的垂向耦合滿足如下方程[8](以列車第k軸左側(cè)輪軌垂向耦合關(guān)系為例)

( 8 )

輪軌蠕滑荷載[29]可由Kalker線性蠕滑理論計算得到(以左側(cè)輪軌關(guān)系為例)

( 9 )

對于輪軌耦合關(guān)系，為滿足本文的輪軌線性相互作用假設(shè)，在求解蠕滑荷載時各蠕滑系數(shù)需為常數(shù)，即，輪軌間垂向力為靜輪軌力，錐形踏面車輪是錐度為0.05的圓錐面，接觸點鋼軌橫斷面外形為0.3 m的圓柱體[30-31]，為簡化計算，不考慮曲線軌道-車輪相互作用時，橫向蠕滑與車輪旋轉(zhuǎn)二者之間的影響[32]。此時的輪軌接觸關(guān)系為輪軌跟隨模式，在此基礎(chǔ)上，對輪軌間的橫向蠕滑力進(jìn)行求解。

頻域內(nèi)輪軌間橫向蠕滑力[30-31](以列車第k軸左側(cè)輪軌橫向耦合關(guān)系為例)為

(10)

同理，可以求出曲線軌道-車輛的右側(cè)垂/橫向輪軌力。

1.4 動態(tài)輪軌力求解

根據(jù)上述輪軌空間耦合關(guān)系，可求得動態(tài)輪軌力

(11)

通過求解方程(11)，并對不同角頻率ωf時的方程進(jìn)行求解，即可得頻域內(nèi)的輪軌力。

以上討論給出了曲線軌道的空間模型、車輛模型、曲線輪軌耦合空間關(guān)系以及頻域求解思路。通過對比軌道模型中的柔度系數(shù)、車輛蛇形運(yùn)動規(guī)律以及與實測案例的對照分析，在作者的另一篇論文中證明了上述曲線軌道車軌空間耦合解析模型的正確性[6]，這里不再贅述。

2 曲線軌道振動源強(qiáng)支反力特性研究

與直線軌道結(jié)構(gòu)相比，曲線軌道結(jié)構(gòu)的特殊之處在于曲線半徑以及為了平衡車輛離心力而設(shè)置的曲線超高。當(dāng)根據(jù)運(yùn)營需要，車輛運(yùn)行速度提高或降低時，列車曲線行駛狀態(tài)將發(fā)生改變。這時行車速度、曲線半徑及曲線超高三者之間存在未被平衡的超高作用。在進(jìn)行列車振動環(huán)境影響評價時，這一作用將對曲線軌道行車時的振動源強(qiáng)產(chǎn)生重要影響。

為了考察曲線軌道行車振動源強(qiáng)的特性，如幅值、方向以及頻率分布等，本文對行車速度、曲線半徑、超高等因素進(jìn)行了綜合分析，研究未被平衡超高的差值對曲線軌道振動源強(qiáng)的影響。與此同時，本文計算了同樣行車條件下的直線軌道的振動源強(qiáng)特性，以供對比參考。

為了簡潔表示曲線軌道的振動源強(qiáng)特點，本文提出源強(qiáng)支反力的概念。源強(qiáng)支反力表示曲線軌道的軌下基礎(chǔ)動力荷載沿道床垂向及橫向的合力[30]，見圖4。

2.1 主要計算參數(shù)

計算模型中各因素參數(shù)取值說明如下。

(1) 曲線半徑

根據(jù)圖1中地鐵線路曲線半徑的分布特點，并結(jié)合GB 50157—2013《地鐵設(shè)計規(guī)范》[33](簡稱《規(guī)范》)，本文計算半徑為500、700 、1 000、2 000 m。

(2) 行駛速度

根據(jù)《規(guī)范》[33]中對運(yùn)營規(guī)模的一般要求，本文取列車行駛速度為40、60、80 km/h。

(3) 未被平衡超高值

未被平衡超高值，表征車輛所處的欠/過超高狀態(tài)，下文將其簡稱為“欠/過超高值”。根據(jù)《規(guī)范》中的地鐵曲線軌道對欠/過超高值的設(shè)計范圍，本文計算選用欠/過超高值為60、30、0、-30、-60 mm。

由于本文主要考察振動源強(qiáng)隨各因素變化的一般性規(guī)律，因而并未嚴(yán)格按照實際需要限定超高的設(shè)置值，對于部分參數(shù)不符合設(shè)計要求的計算情況，僅作為規(guī)律性研究使用。

以上分析參數(shù)見表1。

計算分析時的車輛、軌道參數(shù)本文參考了文獻(xiàn)[6]，計算中考慮了軌道不平順。不平順譜采用美國五級不平順譜。

在對源強(qiáng)支反力進(jìn)行分析時，主要評價指標(biāo)如下：

(1) 時域有效值(RMS)

時域有效值又稱均方根值(root-mean-square value，RMS)，可以表征源強(qiáng)支反力的強(qiáng)度。

(2)三分之一倍頻程(1/3 OB)

三分之一倍頻程(1/3 octave band，1/3 OB)，可以反映源強(qiáng)支反力在不同頻段上的分布情況。

表1 曲線軌道振動源強(qiáng)分析參數(shù)

注：括號內(nèi)為實設(shè)超高值。

2.2 曲線軌道源強(qiáng)支反力有效值分析

當(dāng)曲線半徑、列車行駛速度變化時，欠/過超高值對曲線軌道源強(qiáng)支反力有效值的影響關(guān)系見圖5。

由圖5可知：

(1) 地鐵曲線軌道垂向、橫向源強(qiáng)支反力有效值與欠/過超高值呈線性關(guān)系；垂向、橫向源強(qiáng)支反力有效值在平衡超高點處最小，但都大于直線軌道。

(2) 列車以相同的軸重、速度通過地鐵曲線軌道和直線軌道時，地鐵曲線軌道結(jié)構(gòu)源強(qiáng)支反力將大于直線軌道結(jié)構(gòu)。

(3) 平衡超高點處，曲線軌道振動源強(qiáng)與直線軌道較為接近，當(dāng)曲線軌道欠/過超高值增加時，地鐵曲線軌道與直線軌道的差異顯著增大，在允許的最大欠/過超高值條件下，地鐵曲線軌道垂向源強(qiáng)支反力有效值最大為直線軌道的1.09倍，橫向源強(qiáng)支反力最大為直線軌道的5.4倍。

2.3 曲線軌道源強(qiáng)支反力頻域分析

本文對曲線軌道源強(qiáng)支反力的頻域分析，采用三分之一倍頻程表示，得到圖6、圖7所示的變化曲線。

由圖6、圖7可知：

(1) 當(dāng)行車速度相同時，不同欠/過超高值對垂向源強(qiáng)支反力頻率分布基本沒有影響，對橫向源強(qiáng)支反力頻率分布具有顯著影響。

(2) 平衡狀態(tài)時，各頻段橫向源強(qiáng)支反力響應(yīng)幅值最小，隨著欠/過超高值的增加，各頻段響應(yīng)幅值有所增大。

(3) 源強(qiáng)支反力在垂向和橫向2個方向上，其頻率分布均呈現(xiàn)為鞍型分布，且該分布存在2個并不對稱的峰值頻段；在各頻段內(nèi)，列車行駛速度對源強(qiáng)支反力強(qiáng)度及其分布具有明顯的影響；頻率分布中的峰值響應(yīng)與列車軸荷載作用以及列車的蛇形運(yùn)動有關(guān)。

(4) 曲線軌道橫向源強(qiáng)支反力頻率分布形狀，在平衡超高點處呈山型，列車行駛速度對各頻段的量值變化影響明顯。

3 結(jié)論

城市軌道交通線路中曲線軌道占比高，其相應(yīng)的環(huán)境振動影響與直線情況有顯著不同，為了探討其機(jī)理，本文通過建立離散點支承曲線軌道動力學(xué)模型，進(jìn)而在頻域內(nèi)，采用解析函數(shù)的方法，建立了曲線軌道-列車空間解析耦合模型，從曲線軌道車軌耦合基本力學(xué)機(jī)理上，對曲線軌道振動源強(qiáng)特征開展了系統(tǒng)性的研究。該模型力學(xué)概念清晰，除必要的假設(shè)外，不存在計算誤差，計算效率高?；谠摾碚撃Ｐ停疚耐ㄟ^參數(shù)分析，得到了地鐵列車曲線軌道運(yùn)行時，振動源強(qiáng)的源強(qiáng)支反力在大小、頻率分布上的變化特性。主要結(jié)論如下：

(1) 地鐵列車在曲線軌道運(yùn)行時，垂向源強(qiáng)支反力遠(yuǎn)大于橫向；垂向、橫向源強(qiáng)支反力與軌道的欠/過超高值呈線性關(guān)系，且都大于直線軌道情況。

(2) 曲線軌道源強(qiáng)支反力的頻域分布呈非對稱鞍型分布；其垂向作用分布受行車速度影響顯著，而橫向作用受列車行駛速度、曲線半徑和超高的影響顯著。

(3) 在對列車振動環(huán)境影響進(jìn)行評估時，現(xiàn)有規(guī)范所采用的經(jīng)驗性修正方法，忽略了地鐵曲線軌道行車的輪軌的空間動力垂-橫向耦合作用，過低的估計地鐵曲線軌道源強(qiáng)，因而可靠性很低。

(4) 在對曲線地段的列車振動環(huán)境影響超標(biāo)現(xiàn)象進(jìn)行整治時，不可簡單采取降低運(yùn)行速度的措施，因為只有在平衡超高速度運(yùn)行時，才能使列車振動源強(qiáng)最小，否則都將使得振動源強(qiáng)不降反增。