唐順莉

【摘要】? 在常規(guī)項目每年凈現(xiàn)金流量不相等的情況下，與傳統(tǒng)逐步測試法相比，采用平均凈現(xiàn)金流量法手工測算內(nèi)含報酬率減少了計算步驟，但仍存在測試次數(shù)偏多、計算結(jié)果不夠準(zhǔn)確的特征;在具備電腦的環(huán)境下，采用Excel表格的IRR函數(shù)、單變量計算功能以及繪制凈現(xiàn)值表測算常規(guī)項目和非常規(guī)項目的內(nèi)含報酬率，比手工測算法的效率更高，計算結(jié)果更準(zhǔn)確。

【關(guān)鍵詞】? 內(nèi)含報酬率;IRR函數(shù);單變量計算功能;凈現(xiàn)值表

【中圖分類號】? F232? 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】? A? 【文章編號】1002-5812（2019）13-0064-04

一、內(nèi)含報酬率的含義

內(nèi)含報酬率（Internal Rate of Return，IRR）是項目投資決策常用的方法之一，它是使投資方案凈現(xiàn)值為零的折現(xiàn)率。內(nèi)含報酬率反映了企業(yè)投資項目資金成本的承受程度以及利率風(fēng)險的承受水平。根據(jù)定義，其計算公式為：

NPV=[t=0nNCFt（1+i）t]=0

在該函數(shù)中，NPV 表示凈現(xiàn)值;NCFt表示第t年的現(xiàn)金凈流量;i表示基準(zhǔn)折現(xiàn)率;t表示某個期間;n表示項目的預(yù)計使用壽命。

大部分項目在建設(shè)期發(fā)生初始投資，現(xiàn)金流出數(shù)大于流入數(shù)，凈現(xiàn)金流量為負(fù)值，但進(jìn)入營業(yè)期后出現(xiàn)經(jīng)營收入大于經(jīng)營支出，凈現(xiàn)金流量為正值。因此，項目計算期內(nèi)所有負(fù)現(xiàn)金凈流量出現(xiàn)在正現(xiàn)金凈流量之前的項目被稱之為常規(guī)項目，如果其累計凈現(xiàn)金流量大于零，則存在一個正實根，即為項目的內(nèi)含報酬率。

部分項目如果在營業(yè)期間出現(xiàn)大量追加投資、在某些年份支出大于收入、或者在項目結(jié)束期產(chǎn)生諸如環(huán)境恢復(fù)相關(guān)的棄置費用等現(xiàn)金流出，都有可能導(dǎo)致項目凈現(xiàn)金流量的符號在整個計算期內(nèi)多次發(fā)生正負(fù)變化，這就形成了非常規(guī)項目。在這種情況下，可以通過笛卡爾符號規(guī)則來判斷非常規(guī)項目內(nèi)含報酬率方程根的個數(shù)。如果非常規(guī)項目內(nèi)含報酬率方程有一個或者多個正實根，則必須對其進(jìn)行數(shù)學(xué)檢驗，滿足內(nèi)含報酬率經(jīng)濟意義的正實根才是該項目的內(nèi)含報酬率。如果沒有正的實根或所有實根都不能滿足內(nèi)含報酬率的經(jīng)濟意義，則本項目沒有解決方案。本文主要探討內(nèi)含報酬率的測算技巧，非常規(guī)項目內(nèi)含報酬率的值是否有效，不在此處研究。

二、內(nèi)含報酬率的傳統(tǒng)測算技巧

（一）項目每年的凈現(xiàn)金流量（NCF）相等

每年凈現(xiàn)金流量（NCF）相等的項目實際上就是一個普通年金，我們可以使用普通年金現(xiàn)值公式，變形后求解年金現(xiàn)值系數(shù)，再利用查表和插值法求解。首先，計算年金現(xiàn)值系數(shù)：年金現(xiàn)值系數(shù)=初始投資額/每年NCF;接下來，根據(jù)上一步計算結(jié)果查年金現(xiàn)值系數(shù)表，在項目的投資期數(shù)確定的條件下，找到相近的較高和較低的兩個年金現(xiàn)值系數(shù)及其對應(yīng)的折現(xiàn)率;最后，采用插值法計算出IRR。

例1：宏達(dá)公司的某項目計算期一共5年，企業(yè)在該項目期初共投資200萬元，從第一年開始，每年年末收回投資50萬元，請求出該項目的內(nèi)含報酬率IRR。

第一步：年金現(xiàn)值系數(shù)=200÷50=4。

第二步：按照項目的投資期數(shù)等于5查表，相近且高于4和低于4的年金現(xiàn)值系數(shù)分別為4.1002和3.9927，對應(yīng)的折現(xiàn)率為7%和8%。

第三步：采用插值法計算內(nèi)含報酬率（為了簡化計算，設(shè)內(nèi)含報酬率IRR為i%，詳見表1）。

（i%-7%）/（8%-7%）=（4-4.1002）/（3.9927-4.1002）

解得：i%=7.93%，即IRR=7.93%。

從例1可以看出，如果項目每年的凈現(xiàn)金流量相等，計算內(nèi)含報酬率的步驟少，容易理解和運用。但在實際工作中，每年凈現(xiàn)金流量相等的項目比較少，絕大多數(shù)是每年凈現(xiàn)金流量不相等的項目。

（二）項目每年的凈現(xiàn)金流量（NCF）不相等

在目前的財務(wù)管理教學(xué)過程中，如果項目每年的凈現(xiàn)金流量（NCF）不相等，需要采用“逐步測試法”。第一步，根據(jù)經(jīng)驗預(yù)估一個折現(xiàn)率，按此折現(xiàn)率計算凈現(xiàn)值，如果該凈現(xiàn)值大于零，說明預(yù)估的折現(xiàn)率低于內(nèi)含報酬率，應(yīng)提高折現(xiàn)率的估計值，如果該凈現(xiàn)值小于零，說明預(yù)估的折現(xiàn)率高于內(nèi)含報酬率，應(yīng)降低折現(xiàn)率的估計值;第二步，反復(fù)測試，找到由正到負(fù)并且比較接近于零的兩個凈現(xiàn)值及其對應(yīng)的折現(xiàn)率。在測試過程中，可以根據(jù)預(yù)估折現(xiàn)率對應(yīng)凈現(xiàn)值的大小來判斷下一次折現(xiàn)率估計數(shù)的區(qū)間，假如預(yù)估折現(xiàn)率對應(yīng)的凈現(xiàn)值為正數(shù)且遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于零，應(yīng)適當(dāng)增大下一次預(yù)估折現(xiàn)率的距離，反之亦然;第三步，采用插值法計算出IRR。

例2：宏達(dá)公司的某項目計算期共5年，每年的現(xiàn)金凈流量（NCF）如表2所示。

第一步：預(yù)估折現(xiàn)率10%，計算出NPV=360×（P/F，10%，1）+280×（P/F，10%，2）+500×（P/F，10%，3）+380×（P/F，10%，4）+350×（P/F，10%，5）-1 000=360×0.9091+280×0.8264+500×0.7513+380×0.6830+350×0.6209-1 000=411.17（萬元）。

第二步：預(yù)估折現(xiàn)率15%，計算出NPV=244.82（萬元）。

第三步：預(yù)估折現(xiàn)率20%，計算出NPV=107.71（萬元）。

第四步：預(yù)估折現(xiàn)率25%，計算出NPV=-6.46（萬元），凈現(xiàn)值為負(fù)數(shù)，說明折現(xiàn)率估計過大，下一步應(yīng)預(yù)估一個接近但低于25%的折現(xiàn)率。

第五步：預(yù)估折現(xiàn)率24%，計算出NPV=14.83（萬元）。

第六步：折現(xiàn)率24%和25%對應(yīng)的凈現(xiàn)值分別為正值和負(fù)值，與其他值相比，兩值更接近0，因此，采用插值法計算內(nèi)含報酬率（為了簡化計算，設(shè)內(nèi)含報酬率IRR為i%，見表3）。

（i%-24%）/（25%-24%）=（0-14.83）/（-6.46-14.83）

解得：i%=24.70% ，即IRR=24.70%。

從例2可以看出，對于每年凈現(xiàn)金流量不相等的項目，如果采用逐步測試法，可能需要較多的計算步驟，耗費時間較長。

（三）利用平均凈現(xiàn)金流量手工測算內(nèi)含報酬率

在實際工作中，為了減少測試步驟，縮小內(nèi)含報酬率的試算區(qū)間，可以借助每年凈現(xiàn)金流量（NCF）相等求解內(nèi)含報酬率的思路，通過計算每年不相等現(xiàn)金凈流量的平均數(shù)來求解內(nèi)含報酬率，具體步驟如下：

首先，計算項目的平均凈現(xiàn)金流量;其次，以平均凈現(xiàn)金流量為年金，計算年金現(xiàn)值系數(shù);再次，查年金現(xiàn)值系數(shù)表，在項目的投資期數(shù)確定的條件下，找到相近的較高和較低的兩個年金現(xiàn)值系數(shù)及其對應(yīng)的折現(xiàn)率i1和i2，依據(jù)i1和i2計算項目的凈現(xiàn)值，如果恰好為一正一負(fù)，進(jìn)入下一步;如果都為正值或者負(fù)值，測試接近i1和i2折現(xiàn)率對應(yīng)的凈現(xiàn)值，直到找到由正到負(fù)并且比較接近于零的兩個凈現(xiàn)值及其折現(xiàn)率;最后，采用插值法計算出IRR。

例3：沿用例2的資料，采用平均凈現(xiàn)金流量法求解該項目的內(nèi)含報酬率。

第一步：項目的平均凈現(xiàn)金流量=（300+280+500+600+350）/5=406（萬元）。

第二步：年金現(xiàn)值系數(shù)=1 000/406=2.4631。

第三步：在項目期數(shù)為5的時間里查出高于2.4631和低于2.4631的年凈現(xiàn)值系數(shù)分別為2.4830和2.4356，相應(yīng)的折現(xiàn)率分別為29%和30%。當(dāng)折現(xiàn)率為29%時，NPV=360×（P/F，29%，1）+280×（P/F， 29%，2）+500×（P/F， 29%，3）+380×（P/F， 29%，4）+350×（P/F， 29%，5）-1 000=-84.59（萬元）。折現(xiàn)率29%對應(yīng)的凈現(xiàn)值為較大的負(fù)數(shù)，故不需要再計算折現(xiàn)率30%對應(yīng)的凈現(xiàn)值，在該情況下，應(yīng)試算小于29%且距離29%較遠(yuǎn)的折現(xiàn)率對應(yīng)的凈現(xiàn)值。試算折現(xiàn)率為25%時，NPV=-6.46（萬元）。因為25%對應(yīng)的凈現(xiàn)值離0值相對較近，因此，降低折現(xiàn)率1%，測試折現(xiàn)率24%，得NPV=14.83（萬元）。

第四步：折現(xiàn)率24%和25%對應(yīng)的凈現(xiàn)值分別為正值和負(fù)值，采用插值法計算出IRR=24.70%。

與逐步測試法相比，平均凈現(xiàn)金流量法減少了內(nèi)含報酬率的試算步驟，簡化的工作內(nèi)容。

（四）利用Excel表格測算內(nèi)含報酬率

1.利用IRR函數(shù)求解。IRR（values，guess）用來計算返回的內(nèi)含報酬率的數(shù)字。Values為項目計算期內(nèi)一系列的現(xiàn)金流量，guess為對函數(shù)IRR計算結(jié)果的估計值。對于常規(guī)項目，一般不需要為IRR函數(shù)提供guess值，系統(tǒng)默認(rèn)該值為10%。對于非常規(guī)項目，可能存在多個值，一次不能計算出全部的IRR，需要在IRR函數(shù)中加入?yún)?shù)guess，將其值從0.01開始逐漸遞加，當(dāng)加某個數(shù)時，IRR得到第二個解。

例4：沿用例2的資料，我們采用Excel的內(nèi)含報酬率函數(shù)計算IRR，在Excel表的A2到A7分別輸入年份，在B2到B7分別輸入凈現(xiàn)金流量，A8輸入IRR，B8輸入=IRR（B2：B7），得到項目內(nèi)含報酬率的值為24.69%，該值與手工測算的24.70%相比，基本一致，但更精確。示例如圖1左圖。

利用IRR函數(shù)求解非常規(guī)項目內(nèi)含報酬率可以用例5來說明。

例5：宏達(dá)公司的某項目在期初投資500萬元，在營業(yè)期間，第1—4年的凈現(xiàn)金流量分別為600萬元、300萬元、300萬元、200萬元，由于該項目有承擔(dān)環(huán)境保護和生態(tài)恢復(fù)等義務(wù)所產(chǎn)生的支出，第5年末凈現(xiàn)金流出1 000萬元。請計算該項目的內(nèi)含報酬率。

由于該項目凈現(xiàn)金流量正負(fù)符號變化2次，故其存在2個根，屬于非常規(guī)項目。對于IRR1的計算，可以參照例4常規(guī)項目的計算過程，得出IRR1的值為6.34%;在此基礎(chǔ)之上，可從0.06逐漸遞增guess值，增加到0.6，即得到IRR2=60.2%，示例如圖1右圖。

2.利用Excel表格的單變量計算功能。沿用例2的資料，我們采用Excel表格的單變量求解功能計算項目的內(nèi)含報酬率。在例4數(shù)據(jù)表格的基礎(chǔ)上，我們在B8輸入0，A9輸入NPV，B9輸入=NPV（B8，B3：B7）-1000。選擇菜單欄“數(shù)據(jù)”—“假設(shè)分析”—“單變量”求解，在彈出菜單的“目標(biāo)單元格”中輸入“B9”，“目標(biāo)值”輸入“0”，“可變單元格”輸入“$B$8”，回車即可得到項目的內(nèi)含報酬率為24.69%，見上頁圖2。

非常規(guī)項目亦可利用Excel單變量功能求內(nèi)含報酬率，以例5的資料為例：按常規(guī)項目的求解方法求出第一個解6.34%后，改變B8單元格的初始值為1，再按前述步驟，求得IRR2為60.2%。因為 Excel表格中的單變量求解，只能得出一解，如需求其他值，可以通過改變可變單元格的初始值找到另外的解，可變單元格的初始值在0—1范圍內(nèi)改變使內(nèi)含報酬率的值有意義。

3.繪制凈現(xiàn)值表。除了采用IRR函數(shù)和單變量計算功能測算內(nèi)含報酬率，還可以通過繪制凈現(xiàn)值表測算內(nèi)含報酬率。沿用例5非常規(guī)項目的數(shù)據(jù)，繪制凈現(xiàn)值表。將項目凈現(xiàn)金流量相關(guān)數(shù)據(jù)輸入Excel表前兩行中，如圖3（左側(cè)）所示。從第4行開始，在A4、A5中依次輸入1%、2%，然后選擇A4、A5，光標(biāo)放在選中區(qū)域的右下角，當(dāng)變成黑色“+”的時候，按住左鍵向下拉，填充到某個合適的折現(xiàn)率結(jié)束。如果項目需要，A4、A5的輸入值也可以從負(fù)數(shù)開始。在列B4輸入凈現(xiàn)值計算公式“=NPV（A4，$C$2：$G$2） +$B$2”，從列B5開始復(fù)制B4公式，即可得到某個折現(xiàn)率對應(yīng)的凈現(xiàn)值。凈現(xiàn)值恰好為0、凈現(xiàn)值由正變負(fù)或者由負(fù)變正過程中對應(yīng)的折現(xiàn)率即為內(nèi)含報酬率。

從圖3（左側(cè)）可以看出，項目有兩個凈現(xiàn)值為0的根，折現(xiàn)率分別在6%～7%和60%～61%之間，進(jìn)一步用插值法即可計算出準(zhǔn)確的內(nèi)含報酬率。亦可在凈現(xiàn)值表格的數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上，利用Excel的繪圖功能，繪制凈現(xiàn)值曲線，如圖3（右側(cè)）。

五、評價

對于凈現(xiàn)金流量不等的項目來說，雖然采用平均凈現(xiàn)金流量法減少了傳統(tǒng)逐步測試法的步驟，但仍存在計算量較大、計算不夠準(zhǔn)確的特征，特別是對于每年凈現(xiàn)金流量差異較大的項目，平均凈現(xiàn)金流量法測試的次數(shù)仍可能存在較多步驟。對于非常規(guī)項目來說，可能存在兩個或者兩個以上的根，手工計算平均凈現(xiàn)金流量法就更顯得更復(fù)雜。

利用Excel表格計算內(nèi)含報酬率的三種方法極大地提高了內(nèi)含報酬率計算的準(zhǔn)確性和效率。如果項目為常規(guī)項目，運用IRR函數(shù)或單變量求解功能即可準(zhǔn)確快速地求出項目內(nèi)含報酬率，不必制作凈現(xiàn)值表。如果項目為非常規(guī)項目，IRR函數(shù)可以通過不斷修改guess值求出多解，如果多解的值差異較大，就存在測試次數(shù)較多的情況。單變量求解法通過改變可變單元格的初始值求出多解，運用相對方便。繪制凈現(xiàn)值表的優(yōu)點在于能夠清晰表示每個折現(xiàn)率和凈現(xiàn)值的關(guān)系，直觀明了，容易理解。但運用這種方法，只能估計內(nèi)含報酬率的范圍，如要求準(zhǔn)確值，還需要用插值法計算，與另兩種Excel表格操作方法比，步驟相對較多。

考慮到上述方法的優(yōu)缺點，在有電腦的環(huán)境下，建議采用Excel表格計算內(nèi)含報酬率，常規(guī)項目優(yōu)先選擇IRR函數(shù)法和單變量求解法，非常規(guī)項目優(yōu)先選擇單變量求解和繪制凈現(xiàn)值表法;在不具備電腦的環(huán)境下（比如考試），建議采用平均凈現(xiàn)金流量法。

【主要參考文獻(xiàn)】

[ 1 ] 冀聰慧.內(nèi)含報酬率的求解及多解問題分析[J].商業(yè)會計，2016，（8）：87-88.

[ 2 ] 鄭宇梅，董艷萍，李榮耀.內(nèi)含報酬率的求解技巧[J].財會月刊，2016，（1）：115-116.

[ 3 ] 譚麗娜.內(nèi)部收益率在企業(yè)投資決策中的運用[J].統(tǒng)計與決策，2012，（3）：183-185.