李國(guó)正， 譚南林， 蘇樹(shù)強(qiáng)， 張馳

(北京交通大學(xué) 機(jī)械與電子控制工程學(xué)院，北京 100044)

當(dāng)滾動(dòng)軸承出現(xiàn)故障時(shí)，產(chǎn)生的振動(dòng)信號(hào)多以沖擊形式出現(xiàn)，其持續(xù)時(shí)間短、能量頻率發(fā)散，被大量機(jī)械設(shè)備的運(yùn)行噪聲淹沒(méi)[1-2]. 這導(dǎo)致測(cè)得振動(dòng)信號(hào)的信噪比非常低，難以獲得相應(yīng)的故障特征頻率信號(hào). 因此，需要對(duì)測(cè)得的振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行預(yù)處理，提高信噪比. 混沌類(lèi)微弱信號(hào)檢測(cè)方法基于非線性系統(tǒng)，是與傳統(tǒng)檢測(cè)技術(shù)完全不同的信號(hào)處理方法. 它利用混沌系統(tǒng)所具有的初值敏感性、對(duì)噪聲的免疫性和非線性放大特性完成信號(hào)檢測(cè)，是混沌理論應(yīng)用于實(shí)際工程的重要研究方向之一，具有廣闊的應(yīng)用前景[3-9].

近年來(lái)，大量學(xué)者對(duì)混沌系統(tǒng)的信號(hào)檢測(cè)機(jī)理展開(kāi)了深入的研究，主要集中在：混沌系統(tǒng)檢測(cè)機(jī)理、系統(tǒng)運(yùn)行狀態(tài)判定方法、未知頻率待測(cè)信號(hào)測(cè)量方法、系統(tǒng)應(yīng)用與實(shí)現(xiàn)方法等方面. 如基于Duffing混沌系統(tǒng)提出了低信噪比下周期信號(hào)的頻譜感知算法[4]；由相空間軌跡自相關(guān)系數(shù)判定運(yùn)行狀態(tài)變化的方法，并與最大Lyapunov指數(shù)法進(jìn)行了比較[5]；Duffing振子的陣發(fā)混沌現(xiàn)象，以此檢測(cè)未知周期信號(hào)的各項(xiàng)參數(shù)[6]；研究了結(jié)合相空間軌跡方差和遺傳算法檢測(cè)未知頻率周期信號(hào)的方法[7].

上述研究均采用單一混沌系統(tǒng)來(lái)實(shí)現(xiàn)，存在效率低、計(jì)算量大、易誤判、結(jié)構(gòu)復(fù)雜、易受元件參數(shù)和外部環(huán)境影響等問(wèn)題. 雖然具有高精度、抗強(qiáng)噪聲的特性，卻無(wú)法直接應(yīng)用于軸承早期故障信號(hào)的檢測(cè). 考慮到混沌系統(tǒng)之間具有可同步性[8]，本文采用典型Chua電路構(gòu)建了混沌同步微弱信號(hào)檢測(cè)系統(tǒng)并展開(kāi)研究.

1 混沌同步系統(tǒng)降噪機(jī)理和頻率估計(jì)

1.1 理論模型和工作機(jī)理

新方法適用于檢測(cè)強(qiáng)噪聲背景下微弱周期信號(hào)的頻率值. 此類(lèi)微弱信號(hào)的信噪比較低，當(dāng)其信噪比低于-20 dB時(shí)，傳統(tǒng)檢測(cè)方法難以檢測(cè)[9]，其表達(dá)式為r(t)=s(t)+n(t). 其中s(t)為正弦信號(hào)Asin(ωt+θ)，n(t)為白噪聲信號(hào)N(0,σ2)，其原理性框圖如圖1所示.

圖1中，檢測(cè)系統(tǒng)由兩個(gè)具有相同結(jié)構(gòu)的混沌子系統(tǒng)組成，子系統(tǒng)Ⅰ為驅(qū)動(dòng)端，Ⅱ?yàn)轫憫?yīng)端. 當(dāng)待測(cè)信號(hào)r(t)接入子系統(tǒng)Ⅰ時(shí)，二者無(wú)法保持同步，出現(xiàn)同步誤差. 由于混沌系統(tǒng)的相關(guān)特性，待測(cè)信號(hào)中的微弱正弦信號(hào)對(duì)相空間運(yùn)行軌跡的影響遠(yuǎn)大于白噪聲. 所得到的同步誤差數(shù)據(jù)放大微弱正弦信號(hào)成分的同時(shí)，抑制了噪聲信號(hào). 而功率譜密度定義了信號(hào)或時(shí)間序列的功率隨頻率的分布，它能夠表示頻譜分量的單位帶寬功率. 本文結(jié)合功率譜密度能發(fā)現(xiàn)信號(hào)中隱含的周期性和譜峰等信息，進(jìn)行故障特征頻率提取和軸承故障早期判定.

圖1 混沌同步檢測(cè)系統(tǒng)圖Fig.1 Detection system via chaotic synchronization

1.2 Chua電路模型及其參數(shù)配置

本文基于Chua電路搭建混沌同步頻率檢測(cè)系統(tǒng)，其數(shù)學(xué)模型為

(1)

式中:函數(shù)f(x)=m1x+0.5(m0-m1)[|x+1|-|x-1|]，其斜率為m0和m1. 當(dāng)待測(cè)信號(hào)r(t)接入時(shí)，Chua電路為了一個(gè)更高維的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng). 當(dāng)其參數(shù)滿(mǎn)足一定條件時(shí)，系統(tǒng)進(jìn)入不同狀態(tài). 部分結(jié)構(gòu)參數(shù)設(shè)定為：β=15，m0=-1.3，m1=-0.6，得到參數(shù)α的分岔圖，如圖2所示.

圖2 參數(shù)α的分岔圖Fig.2 Bifurcation diagram of the parameter α

圖中，當(dāng)參數(shù)α≤7.8時(shí)，系統(tǒng)進(jìn)入周期態(tài)；當(dāng)7.8<α≤10.7時(shí)進(jìn)入混沌態(tài)；α>10.7時(shí)進(jìn)入發(fā)散態(tài). 分析3種狀態(tài)下不同信號(hào)輸入對(duì)運(yùn)行軌跡的影響，得到的軌跡如圖3所示.

a為無(wú)信號(hào)輸入;b為輸入正弦信號(hào); c為強(qiáng)度0.001×sin(2πt)的白噪聲輸入;d為正弦信號(hào)和白噪聲疊加輸入圖3 Chua電路相空間軌跡圖Fig.3 Phase space trajectories of Chus circuit

周期態(tài)時(shí)狀態(tài)變量的波動(dòng)范圍小，不利于信號(hào)的檢出；發(fā)散態(tài)時(shí)狀態(tài)變量迅速增大，無(wú)法應(yīng)用于檢測(cè)；混沌態(tài)時(shí)曲線a和c以及b和d的運(yùn)行軌跡幾乎重合. 比較曲線a和b以及c和d，可以看出輸入正弦信號(hào)后，軌跡發(fā)生巨大偏移，且偏移量遠(yuǎn)超出信號(hào)幅值. 可見(jiàn)，混沌態(tài)時(shí)軌跡放大了周期信號(hào)，抑制了噪聲信號(hào)，軌跡有界，利于檢測(cè)微弱周期信號(hào).

1.3 Chua電路混沌同步模型

采用自適應(yīng)的方式搭建Chua電路頻率檢測(cè)系統(tǒng). 其中混沌子系統(tǒng)Ⅰ的狀態(tài)方程為

(2)

響應(yīng)端的混沌子系統(tǒng)Ⅱ的狀態(tài)方程為

(3)

式中r(t)由正弦信號(hào)Asin(ωt)和白噪聲n(t)組成，遠(yuǎn)小于狀態(tài)變量. 控制器u的表達(dá)式為

(4)

式中:ex=xd-xr;ey=yd-yr;ez=zd-zr. 當(dāng)式中參數(shù)k的取值滿(mǎn)足條件

α[1+min(m0,m1)+k]>0.

(5)

可以證明，在控制器u的作用下，同步系統(tǒng)的驅(qū)動(dòng)端和響應(yīng)端在無(wú)輸入信號(hào)擾動(dòng)時(shí)可以保持同步. 為此，構(gòu)建Lyapunov函數(shù)

求導(dǎo)，可以得到

dV(ex,ey,ez)/dt=exe′x+eye′x+eze′x.

(6)

帶入式(2)(3)，暫不考慮輸入信號(hào)r(t)時(shí)，可以得到同步誤差系統(tǒng)

(7)

Chua電路中的非線性函數(shù)f(x)是一個(gè)分段連續(xù)函數(shù)，滿(mǎn)足Lipschitz條件，不等式

min(m0,m1)(xd-xr)≤f(xd)-

f(xr)≤max(m0,m1)(xd-xr),

(8)

始終成立. 因此，在區(qū)間[min(m0,m1),max(m0,m1)]內(nèi)一定可以找到一個(gè)常數(shù)Cm，使式

f(xd)-f(xr)=Cm(xd-xr).

(9)

成立. 式(4)和(9)代入式(7)可得到

(10)

代入式 (6)，得

由于k滿(mǎn)足條件(5)，則有-α(1+Cm+k)<0，得到dV(ex,ey,ez)/dt<0. 結(jié)合Lyapunov穩(wěn)定性定理可知，當(dāng)無(wú)外部輸入信號(hào)時(shí)，兩端可以同步.

1.4 Chua電路混沌同步模型

為了驗(yàn)證同步系統(tǒng)的作用，將正弦信號(hào)0.001sin(2πt)和強(qiáng)度為0.001的白噪聲疊加輸入，信噪比為Rr(t)=10lg(Ps(t)/Pn(t))=-33 dB，得到輸入信號(hào)與同步誤差的頻譜，如圖4所示.

圖4 待測(cè)信號(hào)和同步誤差的頻譜圖Fig.4 The spectrum of the measured signal and the synchronization error

圖4(a)中微弱正弦信號(hào)的淹沒(méi)在噪聲背景中，在頻域空間內(nèi)難以直接區(qū)分. 而圖4(b)同步誤差頻譜圖中，大量的噪聲被濾除，信噪比達(dá)到了-2 dB，可采用頻域分析類(lèi)的方法實(shí)現(xiàn)對(duì)微弱信號(hào)的頻率值的估計(jì). 圖中得到的頻率估計(jì)值為f=1 Hz，與實(shí)際的正弦信號(hào)一致.

2 有效輸入?yún)^(qū)間和方法對(duì)比

2.1 幅值與頻率的有效輸入?yún)^(qū)間

Chua電路的運(yùn)行狀態(tài)還受到輸入待測(cè)信號(hào)的幅值大小和頻率的影響，必須進(jìn)行研究. 保持其結(jié)構(gòu)參數(shù)不變，調(diào)整輸入信號(hào)幅值，獲取待測(cè)信號(hào)幅值分岔圖，如圖5所示.

圖5 輸入信號(hào)幅值的分岔圖Fig.5 Bifurcation diagram of the amplitude of the measured signal

圖5(a)是輸入正弦信號(hào)，逐步增加其幅值得到的分岔圖.A=0.167是狀態(tài)轉(zhuǎn)換的臨界點(diǎn). 小于該值時(shí)為混沌態(tài)，可進(jìn)行信號(hào)檢測(cè)；圖5(b)是在正弦信號(hào)中增加白噪聲，使信號(hào)的信噪比低于-25 dB，并增加正弦信號(hào)幅值得到的分岔圖. 此時(shí)臨界點(diǎn)A=0.151. 由此可見(jiàn)，有效輸入?yún)^(qū)間主要是受周期信號(hào)幅值的影響，當(dāng)被測(cè)信號(hào)幅值不滿(mǎn)足要求時(shí)，需進(jìn)行預(yù)處理.

進(jìn)一步分析混沌同步頻率檢測(cè)系統(tǒng)對(duì)不同頻率正弦信號(hào)的作用. 保持被測(cè)信號(hào)的信噪比不變，改變被測(cè)信號(hào)中正弦信號(hào)的頻率值，得到相應(yīng)的特性曲線，如圖6所示.

從圖6(a)可以看出，系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)換的臨界點(diǎn)隨著頻率的增加逐漸減少，當(dāng)頻率值為45 Hz時(shí)臨界點(diǎn)最小為0.03. 圖6(b)是改變正弦信號(hào)頻率值后所得到的同步誤差的信噪比變化曲線. 可以看出，隨著頻率變化SNR曲線有一定波動(dòng)，但在當(dāng)前區(qū)間內(nèi)，信噪比始終大于-5 dB，可以通過(guò)功率譜密度等傳統(tǒng)時(shí)頻域分析方法處理同步誤差直接獲取信號(hào)的頻率值.

圖6 臨界點(diǎn)和SNR曲線Fig.6 The critical point and SNR curve of synchronous error

2.2 方法對(duì)比

新提出的頻率檢測(cè)方法與現(xiàn)有混沌類(lèi)信號(hào)檢測(cè)方法在檢測(cè)原理和實(shí)現(xiàn)方式上并不相同. 為了進(jìn)一步說(shuō)明，對(duì)比新方法與現(xiàn)有方法[3,7]在混沌模型、測(cè)量參數(shù)、成本、檢測(cè)時(shí)長(zhǎng)等方面的區(qū)別，如表1所示.

表1 方法對(duì)比

從基本檢測(cè)原理來(lái)看，方法1、2和3均需通過(guò)參數(shù)設(shè)定使系統(tǒng)運(yùn)行在狀態(tài)轉(zhuǎn)換的臨界點(diǎn)，再由系統(tǒng)運(yùn)行狀態(tài)的變化實(shí)現(xiàn)信號(hào)檢測(cè). 區(qū)別在于方法1檢測(cè)時(shí)僅能測(cè)量頻率已知的周期信號(hào)幅值；方法2是在方法1的基礎(chǔ)上結(jié)合了優(yōu)化算法，采用多個(gè)Duffing振子系統(tǒng)匹配查找信號(hào)的頻率值；方法3是在方法1的基礎(chǔ)上，結(jié)合間歇混沌現(xiàn)象來(lái)實(shí)現(xiàn)頻率估計(jì)的方法. 新方法直接從同步誤差來(lái)實(shí)現(xiàn)被測(cè)信號(hào)的頻率估計(jì)，與方法2和3采用的多Duffing振子系統(tǒng)相比，結(jié)構(gòu)更簡(jiǎn)單，成本更低，且無(wú)需對(duì)狀態(tài)進(jìn)行判定，檢測(cè)時(shí)長(zhǎng)更短.

具體來(lái)看，方法1基于單個(gè)Duffing振子，成本C′為構(gòu)建系統(tǒng)所需的運(yùn)算放大器和乘法器，檢測(cè)時(shí)長(zhǎng)T′為系統(tǒng)運(yùn)行狀態(tài)判定所需要的時(shí)間. 若被測(cè)信號(hào)的頻率值為ω，通常情況下T′>6/ω才能完成對(duì)系統(tǒng)運(yùn)行狀態(tài)的判定. 由方法2的檢測(cè)原理可知，其構(gòu)建成本為優(yōu)化算法初始種群的個(gè)體數(shù)量n1，為n1×C′，檢測(cè)時(shí)長(zhǎng)則為進(jìn)化的代數(shù)m乘以單次檢測(cè)的時(shí)長(zhǎng)T′. 種群數(shù)量越大，成本越高，檢測(cè)時(shí)長(zhǎng)可以縮短. 由方法3的檢測(cè)原理可知，振子個(gè)數(shù)n2是覆蓋被測(cè)頻率區(qū)間的振子數(shù)量. 區(qū)間越大，振子數(shù)量越多. 構(gòu)建成本為n2×C′. 間歇混沌現(xiàn)象對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)判定的要求更高，通常情況下所需時(shí)長(zhǎng)T″?T′. 而新方法中Chua電路結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單成本C?C′?n1×C′?n2×C′，檢測(cè)時(shí)長(zhǎng)取決于對(duì)同步數(shù)據(jù)頻域分析所需時(shí)長(zhǎng)，通常情況下T>4/ω即可實(shí)現(xiàn)，有T

3 滾動(dòng)軸承故障診斷

滾動(dòng)軸承的局部損傷會(huì)引發(fā)的沖擊，其頻率是對(duì)應(yīng)的故障特征頻率，該值可以通過(guò)軸的轉(zhuǎn)速，尺寸和損傷點(diǎn)的位置加以確定. 采用西儲(chǔ)大學(xué)實(shí)測(cè)的滾動(dòng)軸承振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行檢驗(yàn). 該數(shù)據(jù)由加速度傳感器采集不同部位損傷軸承的振動(dòng)信號(hào)得到，采樣頻率為12 kHz. 被測(cè)軸承為深溝球軸承，其滾動(dòng)體個(gè)數(shù)z=9，接觸角α=0，參照已有研究可得出內(nèi)圈、外圈和滾動(dòng)體出現(xiàn)損傷時(shí)，故障特征頻率與轉(zhuǎn)速(Hz)之間的系數(shù)關(guān)系，如表2所示.

表2 故障頻率系數(shù)表

取內(nèi)圈存在單點(diǎn)損傷，損傷直徑為0.177 8 mm時(shí)的振動(dòng)數(shù)據(jù)為輸入信號(hào)，接入上文的混沌同步降噪模型，對(duì)該信號(hào)和同步誤差信號(hào)求其功率譜密度，波形如圖7所示.

圖7 內(nèi)圈損傷的信號(hào)波形圖和功率譜密度Fig.7 The power spectral density and waveform of inner ring damage

根據(jù)表3和電機(jī)轉(zhuǎn)速1 748 r/min，計(jì)算得到故障特征頻率為fi=157.762 8 Hz. 對(duì)比降噪前后的功率譜密度峰值可見(jiàn)，經(jīng)過(guò)處理后，故障特征頻率信號(hào)被顯著放大.

取外圈存在單點(diǎn)損傷時(shí)的振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行同樣的處理，得到的波形如圖8所示.

此時(shí)系數(shù)為3.584 8，電機(jī)轉(zhuǎn)速為1 796 r/min，計(jì)算得到故障特征頻率fo=107.305 Hz. 圖中可見(jiàn)，原始振動(dòng)信號(hào)中的故障沖擊信號(hào)完全被噪聲覆蓋，無(wú)法發(fā)現(xiàn)故障特征頻率. 而與之對(duì)應(yīng)，經(jīng)混沌同步系統(tǒng)降噪后的功率譜密度在故障特征頻率處出現(xiàn)了峰值.

取滾動(dòng)體存在單點(diǎn)損傷時(shí)的振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行同樣的處理，得到的波形如圖9所示.

此時(shí)系數(shù)為4.713 5，電機(jī)轉(zhuǎn)速為1 796 r/min，計(jì)算得到故障特征頻率fo=141.090 8 Hz. 對(duì)比功率譜密度峰值可見(jiàn)，該情況與處理外圈故障振動(dòng)信號(hào)時(shí)的結(jié)果相似. 由圖8和圖9可以看出，這兩種情況下故障損傷小，沖擊信號(hào)較弱，其特征頻率仍不是功率譜密度幅值的最大值，可以考慮與典型軸承故障診斷的時(shí)頻域處理方法進(jìn)一步結(jié)合，實(shí)現(xiàn)更準(zhǔn)確的故障判定.

圖8 外圈損傷的信號(hào)波形圖和功率譜密度Fig.8 The power spectral density and waveform of outer ring damage

圖9 滾動(dòng)體損傷的信號(hào)波形圖和功率譜密度Fig.9 The power spectral density and waveform of rolling element damage

4 結(jié) 論

提出了一種基于混沌同步系統(tǒng)的降噪方法，以Chua電路為基礎(chǔ)構(gòu)建了相關(guān)模型，分析了系統(tǒng)的工作機(jī)理，并將其與功率譜密度相結(jié)合，對(duì)滾動(dòng)軸承的振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行分析和處理. 新方法免于結(jié)構(gòu)參數(shù)的精確設(shè)定和系統(tǒng)運(yùn)行狀態(tài)的復(fù)雜求解，提高了適用性. 實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，將其應(yīng)用于實(shí)際軸承振動(dòng)數(shù)據(jù)的去噪處理后，濾除了噪聲，使故障特征頻率信號(hào)更為明顯. 新方法可與傳統(tǒng)時(shí)頻域處理方法相結(jié)合，形成新的診斷方法，以滿(mǎn)足工程應(yīng)用需要.