賈美美 蔣浩剛 李文靜

(內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)電力學(xué)院自動(dòng)化系,呼和浩特 010080)

1 引 言

1986年,Chua等[1]提出了著名的Chua系統(tǒng),首次在混沌與非線(xiàn)性電路之間架起了一座橋梁,成為了研究混沌系統(tǒng)的一個(gè)范例.1993年,Suykens和Vandewalle[2]采用擬線(xiàn)性方法構(gòu)造了n個(gè)雙渦卷混沌系統(tǒng).為了更好地應(yīng)用于語(yǔ)音保密通信等實(shí)際工程中,研究人員開(kāi)始致力于構(gòu)造拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)更為復(fù)雜和非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)行為更加豐富的多渦卷混沌系統(tǒng).與傳統(tǒng)的雙渦卷混沌系統(tǒng)相比,多渦卷混沌系統(tǒng)具有更多的渦卷密鑰參數(shù),即數(shù)量眾多的渦卷能在相空間中呈現(xiàn)出某個(gè)方向分布的平面或立體網(wǎng)格狀圖案,渦卷之間具有相互嵌套的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu),具有更為復(fù)雜的非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)行為.這種復(fù)雜性體現(xiàn)在混沌吸引子的相軌跡或狀態(tài)變量的取值能夠在多個(gè)不同的渦卷之間隨機(jī)跳變.2004年,Lü等[3,4]分別采用飽和函數(shù)序列和時(shí)滯函數(shù)序列構(gòu)造了多渦卷混沌吸引子.2011年,陳仕必等[5]采用多項(xiàng)式和階躍函數(shù)構(gòu)造了多渦卷混沌吸引子.2014年,艾星星等[6]通過(guò)設(shè)計(jì)切換控制器實(shí)現(xiàn)了不同多渦卷混沌吸引子之間的復(fù)合.2017年,Hong等[7]利用多脈沖控制技術(shù)產(chǎn)生了一系列多渦卷混沌吸引子.2018年,Zhang和Wang[8]采用飽和函數(shù)序列和符號(hào)函數(shù)產(chǎn)生了多渦卷混沌吸引子.除此之外,能夠產(chǎn)生多渦卷混沌吸引子的方法還有雙曲正切函數(shù)序列[9,10]、非線(xiàn)性調(diào)制函數(shù)序列[11]、閾值函數(shù)序列[12]、憶阻器[13?18]等.憶阻器作為一種非線(xiàn)性電子元件,可被看作混沌系統(tǒng)中的非線(xiàn)性項(xiàng),通過(guò)采用憶阻器能夠產(chǎn)生多渦卷混沌吸引子.在不改變電路結(jié)構(gòu)的前提條件下,通過(guò)改變憶阻器的強(qiáng)度(即可調(diào)參數(shù))能夠得到不同數(shù)量的渦卷[16].本文采用分段非線(xiàn)性對(duì)數(shù)函數(shù)序列構(gòu)造了一個(gè)新Chua多渦卷混沌系統(tǒng),通過(guò)分析其非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)行為,得到了新Chua多渦卷混沌吸引子的產(chǎn)生機(jī)制.

許多實(shí)際應(yīng)用中都需要消除或抑制混沌行為,即混沌控制.1990年,Ott等[19]提出了OGY(Ott-Grebogi-Yorke)混沌控制方法,此后,各種混沌控制方法不斷涌現(xiàn).常見(jiàn)的混沌控制方法有脈沖控制法[20,21]、外加周期微擾法[22]、延遲反饋法[23?25]、遞歸反步控制法[26?29]等.脈沖控制法的控制信號(hào)是脈沖式的,難以避免控制間隙外部噪聲產(chǎn)生的嚴(yán)重干擾.外加周期微擾法屬于非反饋控制,當(dāng)系統(tǒng)的混沌行為消失后,控制信號(hào)仍不為零,通常適合在非自治系統(tǒng)的混沌控制中應(yīng)用.延遲反饋法在實(shí)現(xiàn)混沌控制時(shí)不需要確定目標(biāo)軌道,但其延遲周期難以確定.帶有遞歸反步控制器的非線(xiàn)性系統(tǒng)具有良好的全局穩(wěn)定性、跟蹤性和暫態(tài)性能.本文基于李雅普諾夫穩(wěn)定性理論和反步思想設(shè)計(jì)三個(gè)遞歸反步控制器,將Chua多渦卷混沌系統(tǒng)中的混沌狀態(tài)控制到不動(dòng)點(diǎn)及期望值,從而抑制其中的混沌行為.

由于混沌系統(tǒng)對(duì)初始條件的高度敏感性及對(duì)噪聲的免疫性,使得混沌理論在微弱信號(hào)檢測(cè)領(lǐng)域具有廣闊的應(yīng)用前景.1992年,Birx和Pipenberg[30]將混沌振子與復(fù)映射前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)合檢測(cè)淹沒(méi)在高斯噪聲中的微弱信號(hào),為微弱信號(hào)檢測(cè)開(kāi)辟了新思路.之后,大量學(xué)者提出了各種基于Duffing混沌系統(tǒng)或改進(jìn)型Duffing混沌系統(tǒng)的微弱信號(hào)檢測(cè)方法.但基于這類(lèi)混沌系統(tǒng)的微弱信號(hào)檢測(cè)方法有一定的局限性,主要為系統(tǒng)由臨界混沌狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)榇蟪叨戎芷跔顟B(tài)的現(xiàn)象不明顯.當(dāng)待測(cè)信號(hào)的頻率遠(yuǎn)大于系統(tǒng)本身的頻率時(shí),系統(tǒng)就會(huì)回到混沌狀態(tài),不能保持在臨界混沌狀態(tài),以至于達(dá)不到良好的檢測(cè)效果.因此,研究基于非Duffing混沌系統(tǒng)的微弱信號(hào)檢測(cè)方法是重要的.2010年,徐艷春和楊春玲[31]、Xu等[32]提出了基于Rossler混沌控制的強(qiáng)噪聲背景下單頻正弦信號(hào)檢測(cè)方法.2017年,Li和Zhang[33]采用兩個(gè)混沌同步Chua系統(tǒng)來(lái)檢測(cè)單頻微弱正弦信號(hào),不需要跟蹤相空間軌跡的改變,只需要得到同步誤差.本文提出一種新多頻微弱周期信號(hào)頻率檢測(cè)方法,即利用Chua多渦卷混沌系統(tǒng)和遞歸反步控制器對(duì)信號(hào)的各頻率進(jìn)行檢測(cè).首先,判斷Chua多渦卷混沌系統(tǒng)是否處于混沌域中的任一混沌狀態(tài)(不需要處于臨界混沌狀態(tài)); 其次,采用遞歸反步控制器將處于混沌狀態(tài)的Chua多渦卷混沌系統(tǒng)控制到不動(dòng)點(diǎn); 最后,通過(guò)頻譜分析檢測(cè)出信號(hào)的各頻率.

2 Chua多渦卷混沌系統(tǒng)的產(chǎn)生

2.1 新Chua雙渦卷混沌系統(tǒng)

在經(jīng)典Chua系統(tǒng)的基礎(chǔ)上[1,34],提出分段非線(xiàn)性對(duì)數(shù)函數(shù)g(x),用其產(chǎn)生新Chua雙渦卷混沌系統(tǒng),見(jiàn)(1)式.

其中a=10 ,b=16 ,f(x)=0.5·x?2.5·g(x).

對(duì)數(shù)函數(shù)g(x)的表達(dá)式如下

其中n<0 或n>1.當(dāng)n取不同值時(shí),對(duì)數(shù)函數(shù)g(x)的曲線(xiàn)如圖1所示.由圖1可知,對(duì)數(shù)函數(shù)g(x)關(guān)于原點(diǎn)奇對(duì)稱(chēng),值域?yàn)?[?1,1].

圖1 對(duì)數(shù)函數(shù)Fig.1.Logarithmic function.

以n=2 為例來(lái)研究新Chua雙渦卷混沌系統(tǒng)的電路圖及物理意義.新Chua雙渦卷混沌系統(tǒng)的電路圖如圖2所示(NR為非線(xiàn)性電阻),其對(duì)應(yīng)的有量綱狀態(tài)方程由(3)式表示.

有量綱狀態(tài)方程[(3)式]與無(wú)量綱狀態(tài)方程[(1)式]的對(duì)應(yīng)關(guān)系如下: 狀態(tài)變量的對(duì)應(yīng)關(guān)系為系統(tǒng)參數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系為16; 非線(xiàn)性函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系為f′(vC1)=f(vC1)?vC1=·?0.5vC1·?2.5g(vC1).f′(vC1)是非線(xiàn)性電阻NR的伏安特性.當(dāng)n=2 時(shí),對(duì)數(shù)函數(shù)g(vC1)的表達(dá)式為(4)式.

圖2 新Chua雙渦卷混沌系統(tǒng)的電路圖Fig.2.Circuit diagram of the novel Chua double-scroll chaotic system.

(4)式可改寫(xiě)為

其中 sgn(·)表示符號(hào)函數(shù).

以下給出g(vC1)的電路圖.圖3—圖8分別表示的電路圖.圖中運(yùn)算放大器的型號(hào)為741,T1和T2表示NPN型晶體管,D1和D2表示二極管,電阻R0=R1=R2=R4=R5=R7=R8=R11=R12=R13=R14=R15=R16=R17=R20=R21=R22=10k? ,R3=5k?,R6=1040? ,R9=R10=R23=R24=1M?,R18=R19=20k? ,R25=.18.02? ,R26=R28=1k?,R27=13.5k? ,直流電壓V1=V2=1 V.

圖3 |vc1|的電路圖Fig.3.Circuit diagram of |vc1|

由圖3可得到(6)式.

由圖4可得到(7)式—(10)式.

其中VT表示晶體管 T1的溫度電壓當(dāng)量,在室溫下約為 26mV.

其中晶體管 T1的反向飽和電流Is=1μA.

由圖5可得到(11)式、(12)式.

其中乘法器增益k=1.

由圖6可得到(13)式—(16)式.

圖4 e4|vC1| 的電路圖Fig.4.Circuit diagram of e4|vC1|.

圖5 e?4|vC1| 的電路圖Fig.5.Circuit diagram of e?4|vC1|.

其中VT表示晶體管 T2的溫度電壓當(dāng)量,在室溫下約為 26mV ,晶體管 T2的反向飽和電流Is=1μA.

由圖7可得到(17)式、(18)式.

其中運(yùn)算放大器的輸出飽和電壓.Esat=13.5V

由圖8可得到(19)式.

其中乘法器增益k=1.

綜上所述,圖3—圖8組成了對(duì)數(shù)函數(shù)g(vC1)的電路圖.

以n=2 為例來(lái)分析新Chua雙渦卷混沌系統(tǒng)的非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)行為.由(1)式可知,當(dāng)n=2 時(shí)新Chua雙渦卷混沌系統(tǒng)的無(wú)量綱狀態(tài)方程為

其中a=10 ,b=16 ,h(x)=0.5·x?2.5·g(x).對(duì)數(shù)函數(shù)g(x)的表達(dá)式為

此時(shí)新Chua雙渦卷混沌系統(tǒng)[(20)式]有3個(gè)平衡點(diǎn):Q0=(0,0,0)和Q±=(±5,0,?5).平衡點(diǎn)Q±有相同的特征值λ1=?6.2777 和λ2,3=0.1389±i3.5671,表明平衡點(diǎn)Q±是指標(biāo)2的鞍焦平衡點(diǎn)[1,36,37],用于產(chǎn)生新Chua雙渦卷混沌系統(tǒng)[(20)式]中的2個(gè)渦卷.平衡點(diǎn)Q0對(duì)應(yīng)的特征值為λ1=67.2809和λ2,3=?0.5730±i3.9544 ,表明平衡點(diǎn)Q0是指標(biāo)1的鞍焦平衡點(diǎn)[1,36,37],用于連接2個(gè)渦卷.

系統(tǒng)(20)式的三個(gè)李雅普諾夫指數(shù)(Lyapunov exponents,LE)LE1=0.447946 ,LE2=0.000359 和LE3=?5.534524,如圖9所示.LE1表明在相空間某一方向上相鄰軌道呈指數(shù)率分離,系統(tǒng)對(duì)初始條件極為敏感,這是混沌突出的特性.LE2是混沌吸引子周期性的表現(xiàn),其周期為無(wú)窮大.LE3表明系統(tǒng)的相體積是收縮的,從而確保系統(tǒng)在整體上的穩(wěn)定性.由上述三個(gè)李雅普諾夫指數(shù)可知系統(tǒng)(20)式是混沌的.

圖9 系統(tǒng)[(20)式]的李雅普諾夫指數(shù)Fig.9.Lyapunov exponents of system(Equation(20)).

根據(jù)三個(gè)李雅普諾夫指數(shù)可得系統(tǒng)(20)式的分維數(shù)DL為

式中 2

新Chua雙渦卷混沌系統(tǒng)[(20)式]的相圖和時(shí)域圖如圖10所示.圖10(a)表示了新Chua雙渦卷混沌系統(tǒng)x-y平面的相圖,圖10(b)表示了新Chua雙渦卷混沌系統(tǒng)x方向的時(shí)域圖.

圖10 新Chua雙渦卷混沌系統(tǒng)(a)x-y 平面的相圖;(b)x方向的時(shí)域圖Fig.10.Novel Chua double-scroll chaotic system:(a)Phase diagram on the x-y plane;(b)time domain diagram in the x direction.

2.2 Chua多渦卷混沌系統(tǒng)

對(duì)數(shù)函數(shù)序列的電路圖與對(duì)數(shù)函數(shù)的電路圖類(lèi)似,在對(duì)數(shù)函數(shù)電路圖的基礎(chǔ)上,經(jīng)過(guò)拓展平衡點(diǎn)即可得到對(duì)數(shù)函數(shù)序列的電路圖,這里不再詳述.

在新Chua雙渦卷混沌系統(tǒng)的基礎(chǔ)上,引入對(duì)數(shù)函數(shù)序列G(x),可得Chua多渦卷混沌系統(tǒng),見(jiàn)(23)式.

其中a=10 ,b=16 ,H(x)=0.5·x?2.5·G(x).G(x)可表示為

可產(chǎn)生(2M+2)偶數(shù)個(gè)渦卷,

或

可產(chǎn)生(2N+1)奇數(shù)個(gè)渦卷.

(24)式、(25)式中,M是非負(fù)整數(shù),N是正整數(shù),g(·)為(21)式.

當(dāng)M=N=1 ,對(duì)數(shù)函數(shù)序列(24)式和(25)式分別如圖11和圖12所示.渦卷的數(shù)量由對(duì)數(shù)函數(shù)序列G(x)的片段個(gè)數(shù)決定.例如,圖11中,沿著x方向有4個(gè)片段,4個(gè)片段對(duì)應(yīng)4個(gè)渦卷.圖12中,沿著x方向有3個(gè)片段,3個(gè)片段對(duì)應(yīng)3個(gè)渦卷.x-y平面4-渦卷混沌吸引子(M=1)的相圖如圖13所示.x-z平面12-渦卷混沌吸引子(M=5)的相圖如圖14所示.

圖12 多分段對(duì)數(shù)函數(shù)序列[(25)式],取N=1Fig.12.Multi-segment logarithmic function series(Equation(25))with N=1.

圖14 x-z平面12-渦卷混沌吸引子的相圖Fig.14.Phase diagram of the 12-scroll chaotic attractor on the x-z plane.

2.3 Chua多渦卷混沌系統(tǒng)的非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)行為

2.3.1 對(duì)稱(chēng)性和不變性

在坐標(biāo)變換(x,y,z)→(?x,?y,?z)下,系統(tǒng)(23)式的微分方程保持不變,即系統(tǒng)(23)式關(guān)于原點(diǎn)奇對(duì)稱(chēng).

對(duì)于(2M+2)偶數(shù)個(gè)渦卷混沌吸引子,根據(jù)(24)式可得

對(duì)于(2N+1)奇數(shù)個(gè)渦卷混沌吸引子,根據(jù)(25)式可得

由(27)式和(28)式可知,系統(tǒng)(23)式的所有平衡點(diǎn)都是沿著x軸和z軸方向分布.

系統(tǒng)(23)式線(xiàn)性化的雅可比矩陣為

(30)式的特征值為

由(31)式可知(30)式有一個(gè)正實(shí)根和一對(duì)有負(fù)實(shí)部的共軛復(fù)根,表明平衡點(diǎn)是指標(biāo)1的鞍焦平衡點(diǎn)[1,36,37].平衡點(diǎn)也被稱(chēng)為類(lèi)型Ⅰ的平衡點(diǎn).

(32)式的特征值為

由(33)式可知(32)式有一個(gè)負(fù)實(shí)根和一對(duì)有正實(shí)部的共軛復(fù)根,表明平衡點(diǎn)是指標(biāo)2的鞍焦平衡點(diǎn)[1,36,37].平衡點(diǎn)也被稱(chēng)為類(lèi)型Ⅱ的平衡點(diǎn).

綜上所述,系統(tǒng)(23)式可產(chǎn)生(2M+2)偶數(shù)個(gè)多渦卷混沌吸引子或(2N+1)奇數(shù)個(gè)多渦卷混沌吸引子.

以12-渦卷混沌吸引子為例,分析其產(chǎn)生機(jī)制.表1表示12-渦卷混沌吸引子的平衡點(diǎn)、特征值和平衡點(diǎn)的類(lèi)型.根據(jù)表1的特征值,可知類(lèi)型Ⅱ的平衡點(diǎn)Q21,22用于產(chǎn)生12個(gè)渦卷,類(lèi)型Ⅰ的平衡點(diǎn)Q0、用于連接12個(gè)渦卷.

2.3.3 最大李雅普諾夫指數(shù)和龐加萊映射

當(dāng)b=16 ,a變化時(shí),4-渦卷混沌系統(tǒng)的最大李雅普諾夫指數(shù)如圖15所示.當(dāng)a=[8,12] 時(shí),最大李雅普諾夫指數(shù)為正,表明4-渦卷混沌系統(tǒng)在該范圍內(nèi)處于混沌狀態(tài).對(duì)于一個(gè)系統(tǒng)是否處于混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài),也可從龐加萊截面上點(diǎn)的分布情況來(lái)判定.若運(yùn)動(dòng)狀態(tài)是混沌的,龐加萊截面上則是一段連續(xù)的曲線(xiàn)或是一些成片的密集點(diǎn),反之,則不是混沌的.4-渦卷混沌系統(tǒng)在x-y平面上的龐加萊映射如圖16所示,截面上是連續(xù)的曲線(xiàn)和一些成片的密集點(diǎn),說(shuō)明當(dāng)a=10 ,b=16 時(shí)系統(tǒng)處于混沌狀態(tài).

圖15 最大李雅普諾夫指數(shù)Fig.15.Largest Lyapunov exponent.

圖16 x-y平面的龐加萊映射Fig.16.Poincaré mapping on the x-y plane.

3 Chua多渦卷混沌系統(tǒng)的控制

3.1 遞歸反步控制器的設(shè)計(jì)

在Chua多渦卷混沌系統(tǒng)(23)式的基礎(chǔ)上加入遞歸反步控制器,可得受控Chua多渦卷混沌系統(tǒng)為

其中Ui(t),i=1,2,3 是控制信號(hào),可使系統(tǒng)狀態(tài)變量x,y,z分別跟蹤期望值xd,yd,zd.定義狀態(tài)變量和期望值之間的誤差狀態(tài)為

令

其中ci,i=1,2,3 是控制參數(shù),ρ(t)是時(shí)間t的光滑函數(shù).將(36)式代入(35)式可得

對(duì)(37)式求導(dǎo),然后將(34)式代入(37)式的導(dǎo)數(shù)中,可得誤差系統(tǒng),見(jiàn)(38)式.

為了穩(wěn)定誤差系統(tǒng)(38)式,考慮李雅普諾夫函數(shù)為

其中kx、ky、kz是大于零的常數(shù).可得(39)式對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)為

當(dāng)c1=c3=1 ,c2=0 時(shí),遞歸反步控制器U1(t)、U2(t)、U3(t)能夠?qū)⑾到y(tǒng)(34)式控制到期望值.將(37)式和(38)式代入(41)式可得遞歸反步控制器為

3.2 仿真結(jié)果

以4-渦卷混沌系統(tǒng)為例驗(yàn)證遞歸反步控制器對(duì)混沌行為的控制效果.假設(shè)初始條件為(x,y,z)=(6,2,2),系統(tǒng)參數(shù)為a=10 ,b=16 ,控制器Ui(t)為(42)式.

圖17 狀態(tài)變量和期望值 [sin(t),0,0] 的時(shí)域圖(a)x,xd;(b)y,yd;(c)z,zdFig.17.Time domain diagram of state variables and desired values [sin(t),0,0] :(a)x,xd;(b)y,yd;(c)z,zd.

遞歸反步控制器能夠?qū)?-渦卷混沌系統(tǒng)控制到正弦函數(shù)ρ(t)=sin(t)如圖17所示.圖17(a)—(c)分別表示狀態(tài)變量和期望值 [sin(t),0,0] 的時(shí)域圖.同理,遞歸反步控制器可將4-渦卷混沌系統(tǒng)控制到坐標(biāo)原點(diǎn)如圖18所示.圖18(a)—(c)分別表示狀態(tài)變量和期望值(0,0,0)的時(shí)域圖.由圖17、圖18可知,施加遞歸反步控制器后的受控系統(tǒng)能夠跟蹤正弦函數(shù)和原點(diǎn).

圖18 狀態(tài)變量和期望值(0,0,0)的時(shí)域圖(a)x,xd;(b)y,yd;(c)z,zdFig.18.Time domain diagram of state variables and desired values(0,0,0):(a)x,xd;(b)y,yd;(c)z,zd.

4 基于Chua多渦卷混沌系統(tǒng)的微弱信號(hào)檢測(cè)

4.1 檢測(cè)原理和方法

本節(jié)采用Chua多渦卷混沌系統(tǒng)與遞歸反步控制器相結(jié)合的方法來(lái)進(jìn)行微弱信號(hào)檢測(cè).檢測(cè)原理: 基于混沌控制理論與Chua多渦卷混沌系統(tǒng)對(duì)高斯噪聲的免疫性,利用遞歸反步控制器將含有高斯噪聲和待測(cè)多頻微弱周期信號(hào)的Chua多渦卷混沌系統(tǒng)控制到不動(dòng)點(diǎn),然后進(jìn)行頻譜分析檢測(cè)出信號(hào)的各頻率,檢測(cè)原理圖如圖19所示.

圖19 檢測(cè)原理圖Fig.19.Detection schematic diagram.

具體檢測(cè)過(guò)程如下:

1)確定系統(tǒng)(23)式的參數(shù),使系統(tǒng)(23)式處于混沌狀態(tài).

2)將高斯噪聲加入到系統(tǒng)狀態(tài)方程(23)式的第二項(xiàng),如果系統(tǒng)(23)式仍處于混沌狀態(tài),說(shuō)明系統(tǒng)(23)式對(duì)高斯噪聲免疫.

3)采用遞歸反步控制器(42)式,將系統(tǒng)(23)式控制到不動(dòng)點(diǎn).

4)對(duì)檢測(cè)系統(tǒng)(由系統(tǒng)(23)式、三個(gè)遞歸反步控制器(42)式、高斯噪聲和待測(cè)多頻微弱周期信號(hào)組成)的輸出信號(hào)進(jìn)行頻譜分析,檢測(cè)出高斯噪聲背景下待測(cè)多頻微弱周期信號(hào)的各頻率.

首先應(yīng)用隨機(jī)微分方程理論[38]分析Chua多渦卷混沌系統(tǒng)(23)式對(duì)高斯噪聲的免疫性.用?x(t)、?y(t)、?z(t)分別表示高斯噪聲對(duì)x(t)、y(t)、z(t)的小擾動(dòng),高斯噪聲存在的情況下,系統(tǒng)的狀態(tài)方程(23)式可寫(xiě)為

其中n(t)是高斯噪聲,其期望E[n(t)]=0.(43)式減去(23)式,可得

由于 ?x很小,可略去(44)式中 ?x的非線(xiàn)性項(xiàng)(當(dāng) ?x→0 時(shí),?a·H(?x)→0).

將(44)式表示為矢量微分方程的形式

其中

它的解為

其中 Φ(·)為系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣.由于第一項(xiàng)為暫態(tài)解,很快衰減為零,因此只考慮第二項(xiàng),可得

可見(jiàn),在統(tǒng)計(jì)意義下,任何零均值高斯噪聲都不會(huì)改變?cè)到y(tǒng)的運(yùn)行軌跡.

將均值為0,方差為0.001的高斯噪聲n(t)加入到系統(tǒng)狀態(tài)方程(23)式的第二項(xiàng)可得

(52)式的相圖如圖20所示,由該圖可知系統(tǒng)的相軌跡幾乎沒(méi)有變化(與圖13相比),說(shuō)明系統(tǒng)對(duì)高斯噪聲具有免疫性.圖20所得結(jié)果與上述理論推導(dǎo)一致.

圖20 系統(tǒng)[(52)式]的相圖Fig.20.Phase diagram of system [Equation(52)].

4.2 檢測(cè)結(jié)果

將輸入信號(hào)input=s(t)+n(t)加入到受控系統(tǒng)狀態(tài)方程(34)式的第二項(xiàng),可得檢測(cè)系統(tǒng)為

其中n(t)是均值為0,方差為0.001的高斯噪聲.s(t)=A1·sin(2πf1t)+A2·sin(2πf2t)+A3·sin(2πf3t)是待測(cè)多頻微弱周期信號(hào).幅值A(chǔ)1=A2=A3=0.005,頻率f1=0.2 Hz,f2=0.5 Hz,f3=0.7 Hz.

以4-渦卷混沌系統(tǒng)為例,其中a=10 ,b=16 ,初始條件為(6,2,2),此時(shí)系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)(見(jiàn)2.3.3節(jié)),驗(yàn)證檢測(cè)方法的有效性.總仿真時(shí)間為300 s,當(dāng)仿真時(shí)間為100 s時(shí),將input加入到系統(tǒng)(34)式中.檢測(cè)系統(tǒng)(53)式的相圖如圖21所示.由圖21可知,三個(gè)遞歸反步控制器可將狀態(tài)變量從初始條件(6,2,2)控制到原點(diǎn)(0,0,0).控制信號(hào)U1(t)、U2(t)、U3(t)的時(shí)域圖如圖22所示,圖22(a)是原始圖,圖22(b)是放大圖.由圖22可知控制信號(hào)U1(t)、U2(t)、U3(t)迅速收斂于0.待測(cè)信號(hào)的頻譜圖如圖23所示.由圖23可知3個(gè)頻率分別是f1=0.2 Hz,f2=0.5 Hz,f3=0.7 Hz.

圖21 檢測(cè)系統(tǒng)[(53)式]的相圖Fig.21.Phase diagram of the detection system [Equation(53)].

經(jīng)過(guò)計(jì)算可得信噪比(signal-to-noise ratio,SNR)為

其中P1為周期信號(hào)功率,P2為噪聲功率.

在微弱信號(hào)檢測(cè)領(lǐng)域,采用時(shí)域方法處理信號(hào)的最低SNR只有–10 dB左右[39],而本文采用Chua多渦卷混沌系統(tǒng)和遞歸反步控制器相結(jié)合進(jìn)行多頻微弱周期信號(hào)檢測(cè)得到的最低SNR為–19 dB,提高了檢測(cè)精度,為基于非Duffing混沌系統(tǒng)的微弱信號(hào)檢測(cè)提供了新思路.

圖22 控制信號(hào) U1(t)、U2(t)、U3(t)的時(shí)域圖(a)原始圖;(b)放大圖,t=[0,100]sFig.22.Time domain diagram of control signals U1(t)、U2(t)、U3(t):(a)Original diagram(b)enlarging diagram,t=[0,100]s.

圖23 待測(cè)信號(hào)的頻譜圖Fig.23.Frequency spectrum of the signal to be detected.

5 結(jié) 論

本文提出了一種構(gòu)造多渦卷混沌系統(tǒng)的新非線(xiàn)性函數(shù)方法,即對(duì)數(shù)函數(shù)序列法.首先研究了Chua多渦卷混沌系統(tǒng)的非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)行為及其混沌吸引子的產(chǎn)生機(jī)制.Chua多渦卷混沌吸引子的產(chǎn)生機(jī)制為指標(biāo)2的鞍焦平衡點(diǎn)用于產(chǎn)生渦卷,指標(biāo)1的鞍焦平衡點(diǎn)用于連接渦卷.所產(chǎn)生的Chua多渦卷混沌吸引子形狀清晰、大小一致,且處于同一水平位置.然后采用三個(gè)遞歸反步控制器抑制了Chua多渦卷混沌系統(tǒng)的混沌行為.最后基于混沌控制理論與Chua多渦卷混沌系統(tǒng)對(duì)高斯噪聲的免疫性,提出了一種新微弱信號(hào)檢測(cè)方法,即在檢測(cè)系統(tǒng)中通過(guò)采用三個(gè)遞歸反步控制器將處于混沌狀態(tài)的Chua多渦卷混沌系統(tǒng)控制到不動(dòng)點(diǎn)來(lái)檢測(cè)信號(hào)的各頻率.與基于Duffing系統(tǒng)微弱信號(hào)檢測(cè)方法相比,本文提出的檢測(cè)方法不需要判斷系統(tǒng)是否處于臨界混沌狀態(tài),只需要判斷系統(tǒng)是否進(jìn)入混沌域(在某些系統(tǒng)參數(shù)范圍內(nèi),系統(tǒng)處于混沌狀態(tài))即可.以后的工作可采用合適的對(duì)數(shù)函數(shù)序列構(gòu)造二維及三維多渦卷混沌系統(tǒng),并將這些多渦卷混沌系統(tǒng)應(yīng)用到實(shí)際的微弱信號(hào)檢測(cè)中.需要注意的是為了進(jìn)一步提高SNR,可采用一些消噪方法對(duì)待測(cè)信號(hào)進(jìn)行預(yù)處理.