孫立寧，陳方鑫，董 為

(哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)器人技術(shù)與系統(tǒng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室· 哈爾濱·150000)

0 引 言

隨著空間科學(xué)技術(shù)的飛速發(fā)展，大口徑空間光學(xué)望遠(yuǎn)鏡在深空探測(cè)和對(duì)地觀測(cè)中發(fā)揮著重要作用。由于制作工藝的限制，直徑為米級(jí)的鏡面通常需要數(shù)個(gè)子鏡拼接而成，而不是通過整體加工方式。每個(gè)子鏡都需要在毫米級(jí)范圍內(nèi)實(shí)現(xiàn)高精度定位，以便光學(xué)系統(tǒng)獲得高質(zhì)量的圖像。

與地面環(huán)境不同，在設(shè)計(jì)空間定位平臺(tái)時(shí)，應(yīng)考慮空間的熱效應(yīng)和真空環(huán)境。為了減小溫控系統(tǒng)的壓力，定位系統(tǒng)所用的驅(qū)動(dòng)模塊應(yīng)盡可能減少其對(duì)溫度的要求。此外，考慮到真空環(huán)境下的冷焊效應(yīng)，應(yīng)避免機(jī)械傳動(dòng)過程中的摩擦。眾所周知，火箭在發(fā)射過程中的振動(dòng)是不可避免的，這將增大裝配件的裝配誤差。但在空間環(huán)境中，無法在工況下對(duì)機(jī)構(gòu)進(jìn)行標(biāo)定?？偠灾臻g定位平臺(tái)的設(shè)計(jì)應(yīng)考慮空間適應(yīng)性(高低溫、真空、摩擦)和控制策略的特殊性(簡(jiǎn)單的運(yùn)動(dòng)學(xué)，即運(yùn)動(dòng)對(duì)結(jié)構(gòu)參數(shù)偏差不敏感)。

在空間應(yīng)用中，Stewart平臺(tái)因其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、剛度高、技術(shù)成熟等獨(dú)特優(yōu)勢(shì)，常被用作六自由度定位平臺(tái)[1-4]。VISTA[5]是一個(gè)直徑為4m的空間測(cè)量望遠(yuǎn)鏡，它利用Stewart機(jī)構(gòu)在5個(gè)軸線上對(duì)230kg的子鏡進(jìn)行位置調(diào)節(jié),實(shí)現(xiàn)了1μm和0.1rad的精度。LSST中的鏡面是由基于音圈電機(jī)驅(qū)動(dòng)的六足并聯(lián)機(jī)構(gòu)調(diào)整的，它能在3060kg負(fù)載下實(shí)現(xiàn)20μm的定位精度[6]。VST[7]望遠(yuǎn)鏡的主動(dòng)光學(xué)系統(tǒng)也安裝了六足并聯(lián)機(jī)構(gòu)，以調(diào)整望遠(yuǎn)鏡管和光學(xué)列陣的不正確的相對(duì)位置。根據(jù)實(shí)驗(yàn)研究，該機(jī)構(gòu)可實(shí)現(xiàn)1μm的分辨率。

雖然Stewart平臺(tái)可以用于鏡面拼接，但對(duì)于某些特定的應(yīng)用場(chǎng)景，定位平臺(tái)的方案設(shè)計(jì)需要綜合考慮結(jié)構(gòu)尺寸、系統(tǒng)質(zhì)量、空間適應(yīng)性、系統(tǒng)精度、運(yùn)動(dòng)學(xué)復(fù)雜性等因素。因此，作為六足并聯(lián)機(jī)構(gòu)的一種替代方案，混合機(jī)構(gòu)引起了研究者的關(guān)注?；旌蠙C(jī)構(gòu)一般由多個(gè)并聯(lián)機(jī)構(gòu)串聯(lián)而成，其運(yùn)動(dòng)學(xué)比純并聯(lián)機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)單。Gaunt[8]設(shè)計(jì)了一個(gè)六自由度的定位平臺(tái)來校正Altair鏡面的位置，Altair是位于夏威夷的Gemini North望遠(yuǎn)鏡。該定位平臺(tái)是一種將兩種三自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)串聯(lián)在一起的混合機(jī)構(gòu)，任何期望的單一運(yùn)動(dòng)都可以由對(duì)應(yīng)的執(zhí)行單元實(shí)現(xiàn)。Wang[9]提出了一種用于光纖拼接的六自由度定位平臺(tái)，該平臺(tái)是由一個(gè)三自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)和一個(gè)三自由度串聯(lián)機(jī)構(gòu)組成，其優(yōu)點(diǎn)包括結(jié)構(gòu)緊湊、運(yùn)動(dòng)學(xué)簡(jiǎn)單、連桿誤差零積累等。Cai[10]將一個(gè)三自由度平面定位機(jī)構(gòu)與三自由度空間定位機(jī)構(gòu)進(jìn)行了串聯(lián)，構(gòu)造出了六自由度的混合機(jī)構(gòu)。文中提出的解耦控制方法很輕松地解決了運(yùn)動(dòng)耦合問題。

與傳統(tǒng)鉸鏈相比，柔性鉸鏈具有無返程間隙、無磨損、無摩擦、重復(fù)性好的優(yōu)點(diǎn)，適用于精密工程[11-13]。同樣的原因，它也適用于空間環(huán)境。通常情況下，PZT的行程只有自身材料的0.1%。因此，在實(shí)現(xiàn)具體應(yīng)用時(shí)，需要配合行程放大機(jī)構(gòu)來使用[14-15]。Kim[16]研制了一種基于壓電材料的三自由度空間定位平臺(tái)。該平臺(tái)由一個(gè)新的緊湊橋式放大器驅(qū)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)范圍和分辨率分別為190μm和4μm。Chao[17]提出了一種六自由度混聯(lián)柔順機(jī)構(gòu)，該機(jī)構(gòu)結(jié)合了兩個(gè)由杠桿放大機(jī)構(gòu)驅(qū)動(dòng)的并聯(lián)機(jī)構(gòu)。實(shí)驗(yàn)表明，機(jī)構(gòu)的最大行程為130μm，分辨率為50nm。Xu[18]設(shè)計(jì)并分析了一款XY并聯(lián)機(jī)構(gòu)。該機(jī)構(gòu)采用兩個(gè)壓電執(zhí)行機(jī)構(gòu)來實(shí)現(xiàn)位移輸出。在橋式放大機(jī)構(gòu)的幫助下，其輸出行程大約為120μm。

在前人工作的基礎(chǔ)上，本文設(shè)計(jì)了一種用于空間光學(xué)對(duì)準(zhǔn)的、由PZT驅(qū)動(dòng)的六軸高精度定位系統(tǒng)。該系統(tǒng)由三個(gè)串聯(lián)連接的子平臺(tái)組成，其中每個(gè)子平臺(tái)由位移放大器驅(qū)動(dòng)。

1 機(jī)械系統(tǒng)設(shè)計(jì)

圖1為六自由度調(diào)整機(jī)構(gòu)的三維實(shí)體模型，該機(jī)構(gòu)由三級(jí)串聯(lián)的子平臺(tái)組成。其中，第一級(jí)為空間三自由度機(jī)構(gòu)，第二級(jí)為完全解耦的XY并聯(lián)機(jī)構(gòu)，第三級(jí)為冗余驅(qū)動(dòng)的單自由度機(jī)構(gòu)。

(a)機(jī)構(gòu)總覽

(b)平臺(tái)爆炸圖

(c)機(jī)構(gòu)主要尺寸圖1 三維實(shí)體模型Fig.1 3D solid model

1.1 空間三自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)

空間三自由度平臺(tái)的設(shè)計(jì)是為了實(shí)現(xiàn)X軸、Y軸旋轉(zhuǎn)和Z軸平移。眾所周知，位移放大器在放大PZT位移的同時(shí)也會(huì)減小輸出力。因此，不同于以往包含3個(gè)驅(qū)動(dòng)模塊的設(shè)計(jì)[19]，這里增加了一個(gè)冗余驅(qū)動(dòng)模塊，以提高平臺(tái)的負(fù)載能力?？紤]到對(duì)稱性，4個(gè)驅(qū)動(dòng)模塊呈90(°)排列，如圖2所示。

(a)

(b)圖2 (a)傳統(tǒng)的三支鏈空間并聯(lián)機(jī)構(gòu)； (b)四支鏈空間并聯(lián)機(jī)構(gòu)Fig.2 (a)Traditional spatial parallel mechanism with three branches；(b)Space parallel mechanism with four branches

平臺(tái)的每個(gè)執(zhí)行模塊均由一個(gè)主動(dòng)線性驅(qū)動(dòng)、被動(dòng)線性關(guān)節(jié)、被動(dòng)虎克鉸關(guān)節(jié)和位移傳感器組成。為了減少驅(qū)動(dòng)模塊的慣量，主動(dòng)線性驅(qū)動(dòng)被固定在底座上。被動(dòng)線性關(guān)節(jié)起引導(dǎo)作用，可抑制非運(yùn)動(dòng)方向的負(fù)載力，如圖3所示。此外，為了避免光學(xué)遮擋，平臺(tái)的包絡(luò)線必須被限定在圖1所示的圓環(huán)內(nèi)。因此，雖然各種直線電機(jī)和音圈電機(jī)能夠提供超高線性位移分辨率及毫米級(jí)的運(yùn)動(dòng)范圍，但是基于PZT和放大器機(jī)構(gòu)的驅(qū)動(dòng)模塊仍因?yàn)轶w積小、結(jié)構(gòu)靈活而成為了該類平臺(tái)驅(qū)動(dòng)器的優(yōu)選方案。

圖3 空間3-DOF并聯(lián)機(jī)構(gòu)及其驅(qū)動(dòng)器Fig.3 Space 3-DOF parallel mechanism and its driver

1.2 XY并聯(lián)機(jī)構(gòu)

第二級(jí)平臺(tái)負(fù)責(zé)X軸和Y軸的線性運(yùn)動(dòng)。一般情況下，XY二維平臺(tái)有串聯(lián)和并聯(lián)兩種設(shè)計(jì)。串聯(lián)模式結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，但其承載能力低，難以支撐下一級(jí)平臺(tái)和鏡面。因此，這里采用并聯(lián)模式。

具體而言，XY并聯(lián)平臺(tái)有2個(gè)垂直排列的驅(qū)動(dòng)模塊，其中每個(gè)模塊包含1個(gè)線性驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)、1個(gè)復(fù)合平行四邊形關(guān)節(jié)和1個(gè)位移傳感器，如圖4所示。復(fù)合平行四邊形關(guān)節(jié)也叫解耦器，其可被看作是2個(gè)垂直布置的導(dǎo)向裝置。因此，2個(gè)相互垂直的直線運(yùn)動(dòng)可以實(shí)現(xiàn)完全解耦。

(a)第二級(jí)平臺(tái) (b)驅(qū)動(dòng)模塊 (c)原理圖圖4 第二級(jí)平臺(tái)驅(qū)動(dòng)單元Fig.4 The second platform driver unit

為了減小驅(qū)動(dòng)模塊運(yùn)動(dòng)方向的尺寸，設(shè)計(jì)了一款緊湊型放大器[20]。與傳統(tǒng)的橋式放大器相比，緊湊型放大器由2個(gè)雙面橋式機(jī)構(gòu)組成。陶瓷置于雙面機(jī)構(gòu)之間，盡可能減小運(yùn)動(dòng)方向尺寸。此外，2個(gè)解耦器也如此對(duì)稱布置，以進(jìn)一步減小運(yùn)動(dòng)方向尺寸，如圖5(c)所示。

(a)

(b)

(c)圖5 傳統(tǒng)設(shè)計(jì)和緊湊型設(shè)計(jì)的比較Fig.5 Traditional design versus compact design

1.3 第三級(jí)機(jī)構(gòu)

Z軸旋轉(zhuǎn)由第三級(jí)平臺(tái)實(shí)現(xiàn)。第三級(jí)平臺(tái)由回轉(zhuǎn)導(dǎo)向裝置、驅(qū)動(dòng)模塊、位移傳感器組成。回轉(zhuǎn)導(dǎo)向裝置類似于傳統(tǒng)的平行四邊形機(jī)構(gòu)，其不同之處在于其延長(zhǎng)線將相交于一個(gè)旋轉(zhuǎn)點(diǎn)，而平行四邊形機(jī)構(gòu)永不相交，如圖6所示。放大器的輸出端裝有片狀柔性鉸鏈，以避免徑向方向的寄生運(yùn)動(dòng)。

(a)第三級(jí)平臺(tái) (b)驅(qū)動(dòng)單元

(c)平臺(tái)的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖圖6 第三級(jí)平臺(tái)結(jié)構(gòu)圖Fig.6 The level 3 platform structure diagram

2 柔性單元的建模

2.1 橋式放大機(jī)構(gòu)

本節(jié)將采用柔度矩陣法對(duì)橋式放大器進(jìn)行理論建模。根據(jù)彈性梁理論，從坐標(biāo)系Oi到另一個(gè)坐標(biāo)系Oj的力與位移的關(guān)系可以表示為

ei=[Tij]T[Rij]TC[Rij][Tij]Fi

(1)

其中，

[Rij]和[Tij]是轉(zhuǎn)換矩陣，C是鉸鏈的柔度矩陣。

由于對(duì)稱性的原因，可以只分析該機(jī)構(gòu)的一半。簡(jiǎn)化模型可以看作是一個(gè)一端固定、一端受導(dǎo)向約束的串聯(lián)鏈，如圖7所示。根據(jù)小變形假設(shè)，點(diǎn)在鏈上的位移等于各個(gè)力分別作用于鏈上所產(chǎn)生的位移之和。此外，當(dāng)施加一個(gè)力時(shí)，位移等于相關(guān)柔性鉸鏈變形的總和。因此，輸出點(diǎn)和輸入點(diǎn)的位移可表示為

(2)

(3)

F和ε表示力和位移，其下標(biāo)表示所關(guān)注的點(diǎn)。

圖7 對(duì)稱模型的約束和尺寸Fig.7 Constraints and dimensions of symmetric models

根據(jù)定義，放大倍數(shù)和輸入剛度可用下式進(jìn)行計(jì)算

(4)

(5)

其中，da和kin表示放大器的放大倍數(shù)和剛度。

考慮壓電陶瓷的剛度，PZT在放大器中的實(shí)際位移為

(6)

其中，lPZT和LPZT分別為PZT的實(shí)際位移和名義位移，kPZT為PZT的剛度。根據(jù)公式(6)，可得到放大器的實(shí)際輸出位移

(7)

此外，還需要分析應(yīng)力，以預(yù)測(cè)實(shí)際輸出的最大位移。利用鉸鏈的旋轉(zhuǎn)變形，根據(jù)文獻(xiàn)[21]，可計(jì)算出圓形柔性鉸鏈應(yīng)力集中部分的彎曲應(yīng)力

(8)

β=tbridge/lbridge是文獻(xiàn)[21]定義的一個(gè)量綱為1的參數(shù)。此外，最大拉應(yīng)力可表示為

(9)

旋轉(zhuǎn)變形θ和軸向力Faxial可通過公式(8)和公式(9)獲得。為保證放大器的安全運(yùn)行，彎曲載荷和軸向載荷的最大應(yīng)力應(yīng)小于材料的許用應(yīng)力，即

(10)

其中，na是安全系數(shù)。

2.2 柔性導(dǎo)向器

本文將第一級(jí)平臺(tái)的被動(dòng)線性關(guān)節(jié)、第二級(jí)平臺(tái)的復(fù)合平行四邊形機(jī)構(gòu)和第三級(jí)平臺(tái)的旋轉(zhuǎn)導(dǎo)向裝置稱為導(dǎo)向柔性元件。由于這3個(gè)柔性元件的基本柔性單元的變形原理相似，如圖8所示，因此可將其放在一起進(jìn)行討論。

圖8 導(dǎo)向機(jī)構(gòu)Fig.8 The steering mechanism

在以前的文章中，很容易找到柔性平行四邊形的建模方法[22-24]。本文提出了一種基于懸臂梁受力公式的平行四邊形機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)方法。一端固定一端受導(dǎo)向約束的柔性梁，可被看作是一個(gè)自由端受切向力F和力矩M作用的懸臂梁。由于梁與其幾何中心是呈中心對(duì)稱的，當(dāng)梁被對(duì)稱中心分離時(shí)，梁的對(duì)稱中心只被施加一個(gè)等效力F′，且該力大小等于F，如圖8所示。由懸臂梁的受力公式，可以計(jì)算出其末端位移為

(11)

式(11)中，E為材料的楊氏模量，I=bt3/i2為截面繞中性軸的慣性矩?？紤]到對(duì)稱性，導(dǎo)向機(jī)構(gòu)梁?jiǎn)卧奈灰茷?/p>

(12)

第一級(jí)平臺(tái)的導(dǎo)向裝置可以看作是兩個(gè)并聯(lián)的導(dǎo)向單元，其剛度是單個(gè)導(dǎo)向單元的2倍。

(13)

圖8所示的導(dǎo)向機(jī)構(gòu)由4個(gè)串聯(lián)的導(dǎo)向單元組成，其剛度可計(jì)算如下

(14)

復(fù)合平行四邊形可分為3個(gè)平行四邊形機(jī)構(gòu)，其中一個(gè)垂直排列，另兩個(gè)水平排列。因此，復(fù)合平行四邊形機(jī)構(gòu)水平方向的剛度以及第三級(jí)平臺(tái)導(dǎo)向裝置的剛度等于平行四邊形機(jī)構(gòu)的剛度，而復(fù)合平行四邊形沿垂直方向的剛度是平行四邊形機(jī)構(gòu)剛度的2倍，即有

(15)

根據(jù)材料力學(xué)和圖8中的參數(shù)定義，懸臂梁的應(yīng)力可表示為

(16)

行程與機(jī)構(gòu)剛度的關(guān)系可表示為

(17)

結(jié)合公式(16)、公式(17)和公式(13)～(15)，3種導(dǎo)向機(jī)構(gòu)的行程可計(jì)算為

(18)

2.3 柔性虎克鉸

柔性虎克鉸精度高、無機(jī)械摩擦、無靜態(tài)阻力、運(yùn)動(dòng)平穩(wěn)無需潤(rùn)滑、易維護(hù)、分辨率高和可一體化加工等優(yōu)點(diǎn)使其在精密機(jī)械和微機(jī)械中得到了廣泛應(yīng)用。從本質(zhì)上講，柔性虎克鉸是2個(gè)垂直布置的簧片式柔性鉸鏈，如圖9所示。其力位關(guān)系可由式(1)獲得。

圖9 虎克鉸Fig.9 The hooke joint

3 參數(shù)設(shè)計(jì)及FEA仿真

根據(jù)光學(xué)系統(tǒng)的要求，3個(gè)線性運(yùn)動(dòng)的行程和分辨率要求為1mm和1μm；對(duì)于旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，行程和分辨率分別為600(′)和1(′)。結(jié)合圖1(c)所示的幾何參數(shù)，很容易得到3個(gè)平臺(tái)驅(qū)動(dòng)模塊的性能要求。具體而言，第一級(jí)平臺(tái)需要1.6mm行程和1μm精度；第二級(jí)平臺(tái)需要1mm行程和1μm精度；第三級(jí)平臺(tái)所需的行程和分辨率分別為0.85mm和2.1μm。

3.1 放大機(jī)構(gòu)負(fù)載特性分析

橋式機(jī)構(gòu)是一種經(jīng)典的柔性位移放大器。前人在研究中，采用了多種方法對(duì)橋式機(jī)構(gòu)進(jìn)行了分析。然而，以往的研究往往忽略了施加在放大器上的外部負(fù)載。對(duì)于執(zhí)行機(jī)構(gòu)而言，在實(shí)際工作中不可避免地要承受外部載荷，因此對(duì)帶有外部載荷的橋式機(jī)構(gòu)進(jìn)行分析是非常必要的。

在柔性機(jī)構(gòu)中，執(zhí)行機(jī)構(gòu)一般需要承受兩種載荷，即彈性荷載和恒定荷載。彈性載荷主要來自于構(gòu)件的變形，這在柔性機(jī)構(gòu)中是不可避免的。恒定載荷則來自于平臺(tái)的重力。分析參數(shù)如表1所示，輸入位移與放大倍數(shù)的關(guān)系如圖10所示。一般情況下，當(dāng)選擇參數(shù)時(shí)，放大倍數(shù)被認(rèn)為是一個(gè)常數(shù)。然而，圖10顯示放大倍數(shù)會(huì)受到彈性載荷的影響。從圖10(a)可以看出，隨著彈性荷載的增大，放大倍數(shù)會(huì)減小(曲線的斜率會(huì)減小)；而當(dāng)施加恒定載荷時(shí)，曲線斜率不變、截距改變，即放大器的初始位置不同。因此，在放大器的設(shè)計(jì)過程中，必須考慮實(shí)際的負(fù)載情況。

表1 放大器參數(shù)

對(duì)上述線形進(jìn)行理論解釋。根據(jù)小變形假設(shè)，當(dāng)放大器輸入端固定時(shí)，輸出端的力-位移呈線性關(guān)系即為線性彈簧。假設(shè)其彈性系數(shù)為k0，不加負(fù)載時(shí)的放大倍數(shù)為da0，當(dāng)施加恒定載荷時(shí)，輸出位移可表示為

δout=da0δin-k0fload

(19)

對(duì)于彈性荷載，其表達(dá)式為

δout=δinda0-k0(kloadδin)

=(da0-k0kload)δin

(20)

式(19)為線性方程，其截距由荷載決定。式(20)為比例函數(shù)，其斜率受荷載彈性系數(shù)kload的影響。這2個(gè)方程與圖10的結(jié)論完全一致。

當(dāng)考慮兩種荷載時(shí)，放大倍數(shù)可表示為

=da0-k0kelastic

(21)

式(21)表示實(shí)際放大倍數(shù)由放大器的結(jié)構(gòu)和彈性荷載共同決定。此外，在設(shè)計(jì)放大器時(shí)，應(yīng)通過式(21)計(jì)算其實(shí)際放大倍數(shù)。

(a)彈性負(fù)載

(b)恒力負(fù)載圖10 輸入位移與放大倍數(shù)的關(guān)系Fig.10 The relationship between input displacement and amplification

3.2 設(shè)計(jì)參數(shù)

由于存在放大極限的現(xiàn)象，柔性橋式放大器的放大倍數(shù)很難超過30?？紤]到驅(qū)動(dòng)器的負(fù)載和制造工藝，實(shí)際的最大放大倍數(shù)約為20。因此，第一級(jí)和第一級(jí)平臺(tái)的壓電陶瓷行程為160μm，第三級(jí)平臺(tái)的壓電陶瓷行程為120μm。放大器材料采用鋁7075-T6，其楊氏模量為71GPa，最大屈服強(qiáng)度為500MPa。結(jié)合上述公式，可以預(yù)測(cè)放大器的實(shí)際行程為

(22)

雖然設(shè)計(jì)參數(shù)的選擇是一個(gè)耗時(shí)的過程，但是第3節(jié)中建立的模型加速了這一過程。經(jīng)過多次迭代，放大器和所有導(dǎo)向機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)參數(shù)如表2所示。

表2 彈性單元的參數(shù)

3.3 有限元仿真

本節(jié)通過有限元軟件進(jìn)行仿真分析。需要注意的是，由于在實(shí)驗(yàn)過程中，鏡子是垂直放置的，因此在仿真環(huán)境中需打開沿Y軸的引力場(chǎng)。圖11為仿真環(huán)境下各自由度的運(yùn)動(dòng)情況。假設(shè)有限元分析結(jié)果足夠準(zhǔn)確，以機(jī)構(gòu)行程和應(yīng)力的數(shù)值解為標(biāo)準(zhǔn)，評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)參數(shù)的可行性。FEA的計(jì)算結(jié)果如表3所示。

(a) X軸位移

(b) Y軸位移

(c) Z軸位移

(d) 繞X轉(zhuǎn)動(dòng)

(e) 繞Y轉(zhuǎn)動(dòng)

(f) 繞Z轉(zhuǎn)動(dòng)圖11 六維運(yùn)動(dòng)仿真Fig.11 Six-dimensional motion simulation

自由度有限元仿真數(shù)值分析行程應(yīng)力/MPa放大倍數(shù)解耦率/%放大倍數(shù)誤差/%θx1336(″)16918.026.24θy1339(″)17018.005.02Z3.06mm16419.120.6719.618.18.22.5X2.22mm17913.930.52Y2.24mm18213.910.5014.534.14.2θz1064(″)15210.75—11.032.5

有限元結(jié)果和數(shù)值計(jì)算結(jié)果之間的最大偏差約為8%，出現(xiàn)在對(duì)θx和θy的計(jì)算中。誤差主要是由于忽略了虎克鉸的柔度而造成的。此外，數(shù)學(xué)模型中使用的柔性鉸鏈柔度矩陣也會(huì)引入誤差?？梢钥闯?，第3節(jié)建立的模型對(duì)設(shè)計(jì)參數(shù)的預(yù)測(cè)是足夠準(zhǔn)確的。每個(gè)自由度的設(shè)計(jì)行程都覆蓋到了所要求的范圍，確保了足夠的余量。運(yùn)動(dòng)過程中的最大應(yīng)力遠(yuǎn)小于材料的屈服應(yīng)力。值得注意的是，XY軸的旋轉(zhuǎn)耦合分別為6.24%和5.02%，約為其他自由度運(yùn)動(dòng)的10倍。在仿真中，左邊2個(gè)放大器的輸入位移為0.16mm，右邊2個(gè)放大器的輸入位移為0(即輸入端的相對(duì)位置受限)。根據(jù)理論，這種情況下放大器的輸出理應(yīng)為0，但在實(shí)際過程中檢測(cè)到的放大器輸出端位移為0.179mm，如圖12所示。出現(xiàn)這種情況是由于雖然放大器的輸入端是固定的，但是當(dāng)輸出端產(chǎn)生反作用力時(shí)，驅(qū)動(dòng)單元中的柔性鉸鏈仍會(huì)發(fā)生變形。在施加外力的情況下，彈性元件不可避免地會(huì)發(fā)生彈性變形?？紤]到這一點(diǎn)，有必要在驅(qū)動(dòng)模塊的輸出端放置位移傳感器，通過閉環(huán)控制消除變形現(xiàn)象。

圖12 輸入耦合Fig.12 The input coupling

3.4 動(dòng)力學(xué)性能

在這一節(jié)中，采用有限元法對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能進(jìn)行分析。圖13為定位平臺(tái)的前6階振動(dòng)模態(tài)，其中第一階固有頻率為19.45Hz。光學(xué)系統(tǒng)只需要完成點(diǎn)對(duì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，即定位系統(tǒng)是在準(zhǔn)靜態(tài)條件下工作的。因此，該頻率滿足使用要求。

(a) 一階模態(tài)

(b) 二階模態(tài)

(c) 三階模態(tài)

(d) 四階模態(tài)

(e) 五階模態(tài)

(f) 六階模態(tài)圖13 定位機(jī)構(gòu)的模態(tài)分析Fig.13 The modal analysis of positioning mechanism

4 實(shí)驗(yàn)研究

為了進(jìn)一步驗(yàn)證設(shè)計(jì)的可行性，制作并組裝了如圖14所示的定位系統(tǒng)樣機(jī)。樣機(jī)中所有的柔性元件均采用7075-T6鋁合金材料制造。與其他合金材料相比，鋁合金材料具有較低的密度和楊氏模量。柔性元件采用線切割-電火花加工工藝制造?？紤]到上節(jié)中分析的輸入耦合現(xiàn)象，將線性位移傳感器(DONG-DO，測(cè)量范圍和分辨率分別為2mm和2μm)安裝在驅(qū)動(dòng)模塊末端，實(shí)現(xiàn)閉環(huán)控制。下位機(jī)與功率放大器、數(shù)據(jù)采集卡、信號(hào)發(fā)生器和PID控制器相結(jié)合，對(duì)各執(zhí)行模塊進(jìn)行閉環(huán)控制。上位機(jī)在Labview環(huán)境下實(shí)現(xiàn)編寫，用于各平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)學(xué)計(jì)算。圖14(d)為軟件操作界面，每個(gè)自由度的運(yùn)動(dòng)均可被單獨(dú)控制，平臺(tái)位置可實(shí)時(shí)顯示。

當(dāng)?shù)谝患?jí)被控制時(shí)，控制量由逆運(yùn)動(dòng)學(xué)可得

(23)

對(duì)于第二級(jí)平臺(tái)，由于兩個(gè)自由度的運(yùn)動(dòng)完全解耦，因此平臺(tái)運(yùn)動(dòng)直接等于相關(guān)的驅(qū)動(dòng)模塊輸出量

(24)

第三級(jí)平臺(tái)只控制一個(gè)自由度的運(yùn)動(dòng)

(25)

可以看出，與其他六自由度定位平臺(tái)相比，該系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)非常簡(jiǎn)單，這也是該系統(tǒng)的主要優(yōu)點(diǎn)，如圖15所示。

圖14 (a)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)；(b)工業(yè)相機(jī)圖；(c)電容位移傳感器控制界面；(d)上位機(jī)軟件Fig.14 (a)The experiment platform；(b)the industrial camera diagram；(c)Capacitive displacement sensor control interface；(d)Host software

圖15 定位機(jī)構(gòu)控制策略Fig.15 The positioning mechanism control strategy

4.1 工作空間測(cè)試

定位平臺(tái)的工作空間是由CCD相機(jī)(DAHENG成像像素大小5.6μm×5.6μm)測(cè)量的。在相機(jī)的視場(chǎng)內(nèi)粘貼一個(gè)刻度作為標(biāo)準(zhǔn)距離參照，這樣便不需要再對(duì)相機(jī)進(jìn)行標(biāo)定了。假設(shè)粘貼在移動(dòng)平臺(tái)上的刻度是準(zhǔn)確的，則可以通過移動(dòng)前后的兩張照片上的同一標(biāo)記點(diǎn)來評(píng)估平臺(tái)的位移，如圖14(b)所示。具體而言，在平臺(tái)移動(dòng)前，拍一張照片。在平臺(tái)沿著運(yùn)動(dòng)方向移動(dòng)到極限位置后，再拍一張照片。將兩張照片上標(biāo)記點(diǎn)的距離與照片上的刻度進(jìn)行比較，計(jì)算出平臺(tái)的實(shí)際位移。在旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)方面，利用兩臺(tái)CCD相機(jī)對(duì)直徑兩端的位移進(jìn)行測(cè)試，然后用三角函數(shù)將線性位移轉(zhuǎn)化為角位移。

為了研究“輸入耦合”對(duì)運(yùn)動(dòng)的影響，實(shí)驗(yàn)采用了兩種控制模式。第一種模式采用了集成在PZT中的應(yīng)變片測(cè)量PZT的輸出位移，PZT在此模式下輸出期望位移(局部閉環(huán))。第二種模式在驅(qū)動(dòng)模塊的末端放置了一個(gè)位移傳感器，驅(qū)動(dòng)模塊能夠在此模式下輸出期望位移(全局閉環(huán))。與第一種模式相比，第二種模式可以消除“輸入耦合”現(xiàn)象。為了定量描述運(yùn)動(dòng)的耦合，定義耦合率為最大非期望位移除以每個(gè)自由度運(yùn)動(dòng)的期望行程。表4列出了工作空間實(shí)驗(yàn)的結(jié)果，其中要求距離是光學(xué)系統(tǒng)所需的行程?？梢钥闯觯诘诙N控制模式下，LVDT傳感器的行程限制了運(yùn)動(dòng)范圍(運(yùn)動(dòng)行程等于位移傳感器的測(cè)量范圍)?？紤]到安全性，在第一種控制模式下，每個(gè)自由度的運(yùn)動(dòng)都被驅(qū)動(dòng)到相同的范圍。需要注意的是，其實(shí)際最大行程均大于表4所列的值。在第二種控制模式下，耦合運(yùn)動(dòng)明顯受到限制。特別是當(dāng)X和Y旋轉(zhuǎn)時(shí)，解耦率近似等于其他自由度的解耦率。

4.2 位置分辨率測(cè)試

定位平臺(tái)的分辨率是定位平臺(tái)最重要的指標(biāo)。眾所周知，遲滯效應(yīng)是壓電材料的一個(gè)固有問題。目前，有3種常用方法可以對(duì)其進(jìn)行補(bǔ)償，即基于遲滯模型的前饋控制、基于位置反饋的閉環(huán)控制，以及前饋反饋控制相結(jié)合的混合控制。該系統(tǒng)采用基于PID控制策略的反饋控制對(duì)遲滯進(jìn)行抑制。由于定位平臺(tái)的中心位置被鏡面占據(jù)，位移傳感器的測(cè)頭沿Z軸接近運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的頂面。在閉環(huán)控制下，定位系統(tǒng)輸入階梯驅(qū)動(dòng)信號(hào)。定位平臺(tái)能夠輸出的最小步長(zhǎng)被認(rèn)為是分辨率。圖16給出了每個(gè)自由度運(yùn)動(dòng)的對(duì)應(yīng)輸出。

(a) X 軸位移

(b) Y 軸位移

(c) Z 軸位移

(d) X 軸轉(zhuǎn)動(dòng)

(e) Y 軸轉(zhuǎn)動(dòng)

(f) Z 軸轉(zhuǎn)動(dòng)圖16 各個(gè)自由度的分辨率Fig.16 Resolution of each degree of freedom

表4列出了分辨率的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。可以觀察到X軸、Y軸的最佳分辨率是0.5μm，Z軸是1μm，旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的分辨率可由三角函數(shù)計(jì)算而得。

表4 分辨率實(shí)驗(yàn)結(jié)果

5 結(jié) 論

本文提出了一種串并混聯(lián)的、由壓電陶瓷(PZT)驅(qū)動(dòng)的六軸高精度定位系統(tǒng)。采用橋式放大器對(duì)PZT行程進(jìn)行放大，利用柔性鉸鏈消除運(yùn)動(dòng)過程中的摩擦和間隙，同時(shí)實(shí)現(xiàn)了大行程和高分辨率。分析了放大器在兩種外部負(fù)載下的性能，并根據(jù)實(shí)際應(yīng)用情況對(duì)放大器進(jìn)行了設(shè)計(jì)。此外，還發(fā)現(xiàn)在執(zhí)行機(jī)構(gòu)的輸出端必須使用位移傳感器，以消除柔性機(jī)構(gòu)中常見的輸入耦合現(xiàn)象。設(shè)計(jì)的可行性通過了有限元分析和實(shí)驗(yàn)研究驗(yàn)證。