李 彬，鄭 偉，張洪波

(國(guó)防科技大學(xué) 空天科學(xué)學(xué)院·長(zhǎng)沙·410073)

0 引 言

軌道攔截問(wèn)題是一種典型的空間對(duì)抗問(wèn)題。為了實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)航天器的有效攔截，必須合理規(guī)劃攔截航天器的轉(zhuǎn)移軌道，使其與目標(biāo)航天器在同一時(shí)間到達(dá)同一位置。傳統(tǒng)的航天器軌道機(jī)動(dòng)任務(wù)設(shè)計(jì)均是在假設(shè)機(jī)動(dòng)任務(wù)可實(shí)現(xiàn)的前提下進(jìn)行的。如果在設(shè)計(jì)過(guò)程中發(fā)現(xiàn)不能滿(mǎn)足任務(wù)要求，需再進(jìn)行迭代設(shè)計(jì)，在這方面表現(xiàn)比較突出的是航天器燃料約束下的軌道機(jī)動(dòng)設(shè)計(jì)。由于航天器攜帶的燃料有限，因此航天器在空間的可達(dá)范圍也是有限的。如果能夠事先確定航天器實(shí)施空間機(jī)動(dòng)的可達(dá)范圍，則能夠?yàn)楹教炱鬈壍罊C(jī)動(dòng)任務(wù)的實(shí)現(xiàn)提供可行性判據(jù)，為軌道機(jī)動(dòng)任務(wù)的規(guī)劃、設(shè)計(jì)與實(shí)施提供有益的支持，從而使得任務(wù)設(shè)計(jì)省時(shí)省力，提高航天器任務(wù)規(guī)劃的智能自主能力[1-2]。目前關(guān)于軌道攔截任務(wù)規(guī)劃的研究主要可分為兩部分，即攔截的最優(yōu)性和攔截的可行性。

關(guān)于攔截最優(yōu)性研究，研究人員針對(duì)軌道攔截快速響應(yīng)的特點(diǎn)及燃料最優(yōu)的需求，研究了最短時(shí)間攔截和最省燃料攔截問(wèn)題。John等[3]研究了軌道攔截初制導(dǎo)問(wèn)題，提出了在燃料約束下兩點(diǎn)之間的最短時(shí)間攔截問(wèn)題的求解方法，并將該問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解一元四次方程的實(shí)根；Vinh等[4]研究了一般性的時(shí)間約束下的最省燃料攔截問(wèn)題，并討論了該問(wèn)題最優(yōu)性的必要條件和橫截條件；Zhang等[5]研究了燃料約束下的切向脈沖最短時(shí)間攔截問(wèn)題。該方法針對(duì)共面攔截問(wèn)題，利用數(shù)值優(yōu)化方法得到了考慮停泊等待的全局最短時(shí)間。

關(guān)于攔截任務(wù)規(guī)劃的可行性研究，針對(duì)攔截航天器對(duì)目標(biāo)軌道的可達(dá)性，研究人員提出了攔截可達(dá)范圍的概念。常燕等[6]研究了航天器單脈沖變軌與目標(biāo)航天器交會(huì)的機(jī)動(dòng)問(wèn)題，用追蹤區(qū)的概念描述了航天器在初始軌道上的可變軌弧段；在此基礎(chǔ)上，陳茂良等[7]針對(duì)天基攔截器提出了攻擊區(qū)和威脅區(qū)的概念，并利用遍歷搜索方法確定了攻擊區(qū)和威脅區(qū)的范圍；徐加瑞等[8]也對(duì)脈沖變軌的追蹤區(qū)和機(jī)遇區(qū)進(jìn)行了研究，基于Lambert定理，提出了考慮最大變軌能力約束的數(shù)值解法；武健等[9]針對(duì)初始軌道為圓軌道和橢圓軌道的不同前提研究了攔截器單脈沖作用下的覆蓋范圍。上述文獻(xiàn)所描述的追蹤區(qū)和攻擊區(qū)的概念較為相似，均為停泊軌道上的航天器在任務(wù)約束條件下能夠?qū)崿F(xiàn)的任務(wù)的特殊弧段。

雪丹等[10-12]進(jìn)一步研究了航天器的空間可達(dá)范圍。與此前的工作相比，該可達(dá)范圍僅考慮了航天器的初始軌道狀態(tài)和機(jī)動(dòng)能力的影響，不再考慮具體的攔截目標(biāo)及時(shí)間約束，表明了航天器在燃料約束下的最大軌道覆蓋區(qū)域。航天器可達(dá)范圍的主要應(yīng)用包括服務(wù)航天器對(duì)目標(biāo)航天器的可達(dá)性分析和空間安全分析。一方面，通過(guò)研究服務(wù)航天器的可達(dá)范圍，可以判斷在一定燃料約束下服務(wù)航天器可提供的服務(wù)的范圍，并以此來(lái)設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)移軌道，這對(duì)于航天器轉(zhuǎn)移軌道的快速設(shè)計(jì)有著重要的意義；另一方面，其應(yīng)用可以拓展到軌道攔截的可達(dá)性判斷。理論上而言，一旦目標(biāo)進(jìn)入攔截器的可達(dá)范圍，目標(biāo)即存在一定的概率被攔截。這一特性使得可達(dá)范圍的研究成果可用于攔截任務(wù)的可行性預(yù)判，也可用于對(duì)危險(xiǎn)目標(biāo)進(jìn)行規(guī)避預(yù)判。

在航天器空間可達(dá)范圍概念的基礎(chǔ)上，Li等[13]研究了兩類(lèi)脈沖下的航天器軌道的可達(dá)區(qū)域，該方法的計(jì)算結(jié)果與雪丹的計(jì)算結(jié)果一致。在分別考慮各向同性和各向異性速度增量的條件下，Wen等[14-16]研究了航天器單脈沖空間可達(dá)范圍的精確計(jì)算方法。Duan等[17]提出了一種快速、精確的方法，用于確定航天器的可達(dá)域，該方法能夠以較低的計(jì)算復(fù)雜度實(shí)現(xiàn)相對(duì)精確的結(jié)果，能夠適用于在線(xiàn)和實(shí)時(shí)應(yīng)用。以近地空間環(huán)境為研究背景，Chen等[18]研究了航天器經(jīng)過(guò)天體引力輔助之后的可達(dá)域，使得可達(dá)范圍分析能夠適用于更為廣泛的深空飛越任務(wù)。此外，不確定性條件下的航天器相對(duì)運(yùn)動(dòng)可達(dá)性，也得到了一定程度的研究[19-21]。

在可達(dá)范圍概念的基礎(chǔ)上，根據(jù)攔截器和目標(biāo)器在不同時(shí)刻的位置特點(diǎn)，本文系統(tǒng)定義了攔截航天器的可達(dá)范圍，隨后基于航天器空間可達(dá)范圍提出了攔截航天器對(duì)目標(biāo)航天器軌道的潛在命中區(qū)計(jì)算方法；并進(jìn)一步以軌道面交叉點(diǎn)為命中點(diǎn)，基于共面變軌、逆軌攔截假設(shè)，研究了攔截任務(wù)的可攔截區(qū)和可發(fā)射區(qū)的計(jì)算方法。仿真分析表明該方法能夠快速有效地計(jì)算出航天器的攔截可達(dá)范圍，能夠用于確定共面變軌、逆軌攔截任務(wù)的攔截機(jī)會(huì)和發(fā)射窗口，豐富了面向目標(biāo)可達(dá)范圍的應(yīng)用場(chǎng)景。

1 基本概念

脈沖推力軌道攔截任務(wù)的可達(dá)范圍是一種典型的面向目標(biāo)的可達(dá)范圍，根據(jù)攔截航天器在對(duì)目標(biāo)航天器實(shí)施攔截過(guò)程中初始狀態(tài)和終端狀態(tài)的關(guān)系，可以用命中區(qū)、可發(fā)射區(qū)和可攔截區(qū)三種集合來(lái)描述軌道攔截任務(wù)的可達(dá)范圍[22]，如圖1所示。

(a) 命中區(qū)

(b) 可發(fā)射區(qū)和可攔截區(qū)圖1 軌道攔截可達(dá)范圍示意圖Fig.1 Diagram of reachable domain for orbit interception

下面分別介紹其具體定義。

(1)命中區(qū)

給定攔截航天器的初始狀態(tài)及目標(biāo)軌道參數(shù)，在最大變軌能力和最大任務(wù)時(shí)間等約束條件下，攔截航天器通過(guò)變軌所能到達(dá)的目標(biāo)軌道上點(diǎn)的集合被稱(chēng)為攔截航天器的命中區(qū)。命中區(qū)是位于目標(biāo)軌道上的點(diǎn)或弧段，可表示為集合H={φob}。

(2)可發(fā)射區(qū)

給定攔截航天器的初始軌道參數(shù)及目標(biāo)軌道參數(shù)，在最大變軌能力和最大任務(wù)時(shí)間等約束條件下，在初始軌道上，攔截航天器能夠?qū)δ繕?biāo)航天器進(jìn)行攔截的初始位置集合被稱(chēng)為攔截航天器的可發(fā)射區(qū)。可發(fā)射區(qū)是位于攔截航天器初始軌道上的點(diǎn)或弧段，可表示為集合L={φM}。

(3)可攔截區(qū)

給定攔截航天器的初始軌道參數(shù)及目標(biāo)軌道參數(shù)，在最大變軌能力和最大任務(wù)時(shí)間等約束條件下，在目標(biāo)軌道上，能夠被攔截航天器攔截的目標(biāo)航天器在初始時(shí)刻所在的位置集合被稱(chēng)為攔截航天器的可攔截區(qū)。可攔截區(qū)是位于目標(biāo)軌道上的點(diǎn)或弧段，可表示為集合I={φT}。

2 攔截命中區(qū)分析

航天器軌道攔截任務(wù)的命中區(qū)分析是在航天器單脈沖空間可達(dá)范圍的基礎(chǔ)上進(jìn)行的。航天器單脈沖空間的可達(dá)范圍可描述為：一個(gè)具有施加任意方向脈沖能力的航天器，在單脈沖機(jī)動(dòng)下所有可能到達(dá)的位置點(diǎn)構(gòu)成的集合。顯然，該可達(dá)范圍在慣性空間中為一個(gè)三維區(qū)域，航天器的空間可達(dá)范圍也可描述為一系列軌道的集合。為了便于描述航天器的空間可達(dá)范圍，引入了空間曲面包絡(luò)的概念[12]，航天器的可達(dá)范圍為該空間內(nèi)外包絡(luò)所圍成的區(qū)域構(gòu)成，如圖2所示。目前，關(guān)于航天器單脈沖空間可達(dá)范圍的計(jì)算已有較為成熟的方法[10-12,14-15,17]。

圖2 航天器空間可達(dá)范圍示意圖Fig.2 Diagram of reachable domain for spacecraft

航天器的空間可達(dá)范圍描述了單脈沖軌道機(jī)動(dòng)在慣性空間中的覆蓋區(qū)域；如果航天器為軌道攔截器，則其可達(dá)范圍即為攔截航天器在慣性空間中的攻擊覆蓋范圍。當(dāng)給定一條目標(biāo)軌道時(shí)，若攔截航天器的可達(dá)范圍與目標(biāo)軌道存在交集，則表明攔截航天器可對(duì)目標(biāo)軌道特定區(qū)域?qū)崿F(xiàn)覆蓋。攔截航天器的可達(dá)范圍與目標(biāo)軌道的交集用命中區(qū)來(lái)進(jìn)行描述，該命中區(qū)為目標(biāo)航天器軌道上的一段或兩段弧段。下面將結(jié)合具體的目標(biāo)軌道分析攔截航天器對(duì)給定目標(biāo)軌道的可達(dá)性，并給出攔截航天器對(duì)目標(biāo)軌道命中區(qū)的計(jì)算方法。

攔截航天器的命中區(qū)計(jì)算實(shí)際上是在航天器的空間可達(dá)范圍的基礎(chǔ)上進(jìn)一步考慮了目標(biāo)軌道約束，所以需要首先給出空間包絡(luò)方程和目標(biāo)軌道方程的參數(shù)化表達(dá)形式。下面首先定義計(jì)算需要用到的坐標(biāo)系。

慣性坐標(biāo)系OE-xyz的定義：以地心OE為坐標(biāo)原點(diǎn)，x軸方向與初始軌道偏心率矢量方向e0一致，z軸垂直于初始軌道面并指向角動(dòng)量方向，y軸由右手法則確定。該坐標(biāo)系用于描述航天器空間可達(dá)范圍包絡(luò)在慣性空間中的位置，如圖3所示。

圖3 Q點(diǎn)在坐標(biāo)系中的位置表示Fig.3 The position of point Q in the coordinate system

地心慣性系OE-XIYIZI的定義：以地心OE為坐標(biāo)原點(diǎn)，基本平面為J2000.0地球平赤道面，XI軸在基本平面內(nèi)由地球質(zhì)心指向J2000.0的平春分點(diǎn)，ZI軸為基本平面的法向，指向北極方向，YI軸由右手法則確定。

設(shè)攔截航天器可達(dá)范圍外包絡(luò)上的一點(diǎn)為Q，如圖3所示，則Q點(diǎn)在慣性坐標(biāo)系OE-xyz下的描述為

(1)

式(1)中，rq為Q到地心的距離，其表達(dá)式為[15,22]

(2)

式(2)中，Δφ為轉(zhuǎn)移軌道面內(nèi)的地心轉(zhuǎn)移角，其表達(dá)式為[15,22]

(3)

式(3)中，μ表示地球引力常數(shù)，h表示轉(zhuǎn)移軌道角動(dòng)量，ξ、η表示Q點(diǎn)的方位角，α表示脈沖在轉(zhuǎn)移軌道面內(nèi)的投影矢量的方位角，v1r和v1f分別為航天器在被施加脈沖后的徑向速度和周向速度，可表示為α的函數(shù)，Δi表示初始軌道面和轉(zhuǎn)移軌道面之間的夾角。

根據(jù)幾何關(guān)系tanη=sin(ξ-f0)tanΔi和cosΔφ=cos(ξ-f0)cosη，對(duì)式(3)消去ξ、η，可得

(4)

式(4)中，f0表示脈沖施加點(diǎn)的真近點(diǎn)角。

記攔截航天器的軌道根數(shù)為[a0,e0,i0,Ω0,ω0,f0]，其含義分別為半長(zhǎng)軸、偏心率、軌道傾角、升交點(diǎn)赤經(jīng)、近地點(diǎn)輻角和真近點(diǎn)角。點(diǎn)Q在地心慣性系OE-XIYIZI下的描述為

(5)

(6)

另一方面，記目標(biāo)軌道上一點(diǎn)的軌道根數(shù)為[at,et,it,Ωt,ωt,ft]，則目標(biāo)軌道上任意一點(diǎn)在地心慣性系OE-XIYIZI下的描述為

(7)

式(7)中，rt表示地心距。

(8)

定義狀態(tài)變量X=[Δi,α,ft]T，令

(9)

則目標(biāo)軌道與攔截航天器可達(dá)范圍的外包絡(luò)交點(diǎn)在F(X)=0時(shí)取得，可通過(guò)牛頓迭代法求解該方程組，即可得到命中區(qū)在目標(biāo)軌道上的邊界值。圖4給出了外包絡(luò)地心距與目標(biāo)軌道地心距交集的示意圖。從圖4可以看出，該場(chǎng)景下的航天器單脈沖空間可達(dá)范圍包絡(luò)與目標(biāo)軌道存在4個(gè)交點(diǎn)，從而構(gòu)成了2個(gè)命中區(qū)(I和II)。利用點(diǎn)到點(diǎn)的最小能量攔截軌道計(jì)算方法[23]，以命中區(qū)內(nèi)的點(diǎn)為目標(biāo)點(diǎn)進(jìn)行遍歷求解攔截航天器初始點(diǎn)到目標(biāo)點(diǎn)的最小攔截能量Δvmin，得到的結(jié)果如圖5所示。從圖5可以看出，在每一個(gè)命中區(qū)內(nèi)均存在一個(gè)最小攔截能量點(diǎn)，計(jì)算表明該最小攔截能量點(diǎn)與兩軌道面交叉點(diǎn)幾乎一致。這是由于當(dāng)預(yù)設(shè)命中點(diǎn)為兩軌道面的交叉點(diǎn)時(shí)，攔截航天器對(duì)目標(biāo)軌道的攔截為共面變軌，從而可以節(jié)省改變軌道傾角的大量燃料。從節(jié)省燃料的角度考慮，兩軌道面交叉點(diǎn)是一個(gè)較好的預(yù)設(shè)命中點(diǎn)。

圖5 命中區(qū)內(nèi)最小攔截能量變化示意圖Fig.5 Diagram of minimum intercept energy in the hit region

3 基本攔截問(wèn)題

前文在考慮脈沖大小的約束下、結(jié)合航天器空間可達(dá)范圍給出了攔截命中區(qū)的計(jì)算方法，并且發(fā)現(xiàn)兩軌道面交叉點(diǎn)為較省燃料的命中點(diǎn)。若以?xún)绍壍烂娼徊纥c(diǎn)為預(yù)設(shè)命中點(diǎn)，則攔截策略可簡(jiǎn)化為共面變軌攔截問(wèn)題。在脈沖推力軌道攔截任務(wù)中，最為常見(jiàn)且最為簡(jiǎn)單的是初始軌道和目標(biāo)軌道均為圓軌道的情形，后續(xù)分析將基于圓軌道進(jìn)行假設(shè)，僅考慮命中點(diǎn)為兩軌道面交叉點(diǎn)的情況，考慮能量、時(shí)間及交會(huì)角約束分析可攔截區(qū)和可發(fā)射區(qū)的求解方法。

根據(jù)軌道攔截任務(wù)可達(dá)范圍的定義，在已知攔截航天器初始狀態(tài)和命中點(diǎn)的前提下求解攔截任務(wù)可攔截區(qū)和可發(fā)射區(qū)(以下統(tǒng)稱(chēng)攔截可達(dá)范圍)，需要分析各種約束對(duì)攔截可達(dá)范圍的影響的特性。

首先，需要分析能量約束對(duì)攔截可達(dá)范圍的影響的特性。最大能量約束決定了航天器的空間可達(dá)范圍，即決定了攔截航天器可否到達(dá)某一高度的目標(biāo)點(diǎn)，可通過(guò)最小能量攔截問(wèn)題進(jìn)行判斷分析；然后，分析時(shí)間約束對(duì)攔截可達(dá)范圍的影響特性。軌道攔截任務(wù)時(shí)間為攔截航天器調(diào)相等待時(shí)間與轉(zhuǎn)移軌道飛行時(shí)間的和，由于最大任務(wù)時(shí)間的限制，攔截航天器需要在能量消耗、調(diào)相等待時(shí)間及轉(zhuǎn)移軌道選擇方面進(jìn)行合理搭配?？赏ㄟ^(guò)最短和最長(zhǎng)時(shí)間攔截問(wèn)題、固定時(shí)間攔截問(wèn)題及能量給定下的最短時(shí)間攔截問(wèn)題，分析轉(zhuǎn)移軌道飛行的時(shí)間特性。通過(guò)能量給定下的最短等待和最長(zhǎng)等待攔截問(wèn)題，以及固定任務(wù)時(shí)間下的最短等待和最長(zhǎng)等待攔截問(wèn)題，分析調(diào)相等待的時(shí)間要求；最后，分析交會(huì)角約束對(duì)可達(dá)范圍的影響特性。交會(huì)角影響了攔截航天器與目標(biāo)航天器之間的視線(xiàn)角度及相對(duì)速度，可通過(guò)固定交會(huì)角攔截問(wèn)題及交會(huì)角與地心轉(zhuǎn)移角之間的關(guān)系進(jìn)行分析。

根據(jù)求解攔截可達(dá)范圍的需要，表1給出了以下8種基本攔截問(wèn)題[22]。

表1 8種基本攔截問(wèn)題

續(xù)表

Q1～Q3均為經(jīng)典的攔截問(wèn)題，文獻(xiàn)[1]和[23]研究了針對(duì)它們的求解方法；Q4～Q8為針對(duì)考慮能量、時(shí)間及交會(huì)角約束下求解攔截可達(dá)范圍而提出的攔截問(wèn)題，文獻(xiàn)[22]對(duì)其求解過(guò)程進(jìn)行了詳細(xì)說(shuō)明。

4 可攔截區(qū)分析

根據(jù)可攔截區(qū)的定義，若給定攔截器初始軌道參數(shù)和目標(biāo)軌道參數(shù)，在考慮能量、時(shí)間和交會(huì)角約束下，可攔截區(qū)由攔截航天器變軌點(diǎn)和命中點(diǎn)的相對(duì)位置決定。為了求解多約束下的可攔截區(qū)，需將求解過(guò)程分為三步：首先，求解點(diǎn)到點(diǎn)的可攔截區(qū)，即給定調(diào)相時(shí)間tw下的可攔截區(qū)；然后，求解可實(shí)施變軌點(diǎn)的集合，即求解調(diào)相時(shí)間范圍。當(dāng)攔截航天器調(diào)相等待時(shí)間在此范圍內(nèi)時(shí)，均存在與之對(duì)應(yīng)的可攔截區(qū)；最后，根據(jù)調(diào)相時(shí)間范圍搜索可攔截區(qū)邊界，即可確定整個(gè)可攔截區(qū)的范圍。

4.1 調(diào)相時(shí)間給定的可攔截區(qū)計(jì)算方法

針對(duì)給定的變軌點(diǎn)和命中點(diǎn)，根據(jù)不同轉(zhuǎn)移軌道飛行時(shí)間可以規(guī)劃出不同的攔截軌道。根據(jù)可攔截區(qū)的定義，在初始軌道參數(shù)、目標(biāo)軌道參數(shù)及約束條件確定之后，可攔截區(qū)只與轉(zhuǎn)移軌道飛行時(shí)間有關(guān)。根據(jù)這個(gè)特點(diǎn)，可以求解調(diào)相時(shí)間給定的可攔截區(qū)。求解方法主要包含三步：首先，分析能量約束下命中點(diǎn)的可達(dá)性；然后，分析在時(shí)間和交會(huì)角約束下的轉(zhuǎn)移軌道飛行時(shí)間范圍；最后，求取飛行時(shí)間的交集，即可得到三個(gè)約束下的實(shí)際飛行時(shí)間范圍。具體的求解流程如下：

步驟1：求解最小能量攔截問(wèn)題Q1，得到最小攔截脈沖的大小ΔvQ1。如果ΔvQ1≤Δvmax，則進(jìn)入步驟2。否則，結(jié)束計(jì)算；

步驟2：求解最短和最長(zhǎng)時(shí)間攔截問(wèn)題Q2，得到最短和最長(zhǎng)飛行時(shí)間Tt min和Tt max。然后，求解時(shí)間區(qū)間[Tt min,Tt max]與(0,Tob-tw]的交集，將其記為[Tt low,Tt up]。如果[Tt low,Tt up]≠φ，則進(jìn)入步驟3。否則，結(jié)束計(jì)算；

步驟3：求解θ=θmax時(shí)的固定交會(huì)角攔截問(wèn)題Q4，得到飛行時(shí)間Tθmin和Tθmax；

步驟4：求解時(shí)間區(qū)間[Tt low,Tt up]與[Tθmin,Tθmax]的交集，將其記為[Tlow,Tup]。如果[Tlow,Tup]≠φ，則進(jìn)入步驟 5。否則，結(jié)束計(jì)算；

步驟5：根據(jù)命中點(diǎn)在目標(biāo)軌道上的相位角φc和任務(wù)總時(shí)間范圍[Tlow+tw,Tup+tw]，可推算初始時(shí)刻目標(biāo)軌道上的弧段區(qū)間[φl(shuí)ow,φup]，該弧段區(qū)間即為可攔截區(qū)。

4.2 調(diào)相時(shí)間范圍的計(jì)算方法

從給定調(diào)相時(shí)間的可攔截區(qū)的計(jì)算部分可以看出，每一個(gè)調(diào)相時(shí)間均對(duì)應(yīng)著一個(gè)可攔截區(qū)，因此調(diào)相時(shí)間范圍直接影響著可攔截區(qū)的范圍。分析調(diào)相時(shí)間范圍的計(jì)算方法，對(duì)于分析可攔截區(qū)的存在性及計(jì)算可攔截區(qū)的大小有著重要作用。由于任務(wù)時(shí)間為有限值，調(diào)相時(shí)間范圍必然也是有限的，而且該范圍必定位于任務(wù)時(shí)間范圍內(nèi)。記調(diào)相時(shí)間的最小值和最大值分別為tw min和tw max，為了降低分析難度，將該問(wèn)題轉(zhuǎn)換為求解能量和時(shí)間約束下的調(diào)相時(shí)間范圍問(wèn)題，以及能量和交會(huì)角約束下的調(diào)相時(shí)間范圍問(wèn)題。然后，求解它們的交集，即可得到三種約束下的調(diào)相時(shí)間范圍。下面分析調(diào)相時(shí)間范圍[tw min,tw max]的求解方法。

(1)能量和時(shí)間約束下的調(diào)相時(shí)間范圍

(a)tw max的求解

由于攔截航天器初始點(diǎn)到命中點(diǎn)的地心角Δfob是確定的，因此攔截軌道地心轉(zhuǎn)移角與調(diào)相等待地心角的大小呈反相關(guān)性，繼而求解最大調(diào)相時(shí)間即可轉(zhuǎn)化為求解攔截軌道地心轉(zhuǎn)移角的最小值。其求解步驟如下：

步驟2：計(jì)算最小地心轉(zhuǎn)移角為Δfmin時(shí)的攔截軌道飛行時(shí)間ΔtE。若ΔtE≤Tob-tEw max，則tw max=tEw max，停止計(jì)算。否則，進(jìn)入步驟3；

(b)tw min的求解

由于最小調(diào)相時(shí)間tw min的最小值可能是0，因此首先需要判斷調(diào)相時(shí)間為0時(shí)是否滿(mǎn)足攔截的要求，若非如此，則分析調(diào)相時(shí)間不為0的情況。由于當(dāng)攔截軌道轉(zhuǎn)移角為最大時(shí)，對(duì)應(yīng)著調(diào)相時(shí)間的最小值，此時(shí)需要求解考慮調(diào)相等待的最大和最小轉(zhuǎn)移角的攔截問(wèn)題。求解步驟如下：

步驟3：求解調(diào)相時(shí)間為tEw min時(shí)的最短飛行時(shí)間Δtmin，令T′ob=Tob；

能量和時(shí)間約束下的調(diào)相時(shí)間范圍計(jì)算流程圖如圖6所示。

圖6 能量和時(shí)間約束下的調(diào)相時(shí)間范圍計(jì)算流程圖Fig.6 Flowchart of calculating the range of phasing time under energy and time constraints

(2) 能量和交會(huì)角約束下的調(diào)相時(shí)間范圍

由于調(diào)相時(shí)間范圍與約束下的攔截軌道地心轉(zhuǎn)移角密切相關(guān)，因此求解能量和交會(huì)角約束下的攔截軌道地心轉(zhuǎn)移角的最大和最小值，即可得到調(diào)相時(shí)間范圍。求解步驟如下：

步驟4：若Δfθmin≤Δfob≤Δfθmax，則在能量和交會(huì)角約束下的最小調(diào)相時(shí)間為tθw min=0，最大調(diào)相時(shí)間為tθw max=(Δfob-Δfθmin)/ni0；

步驟5：若Δfob>Δfθmax(若Δfob<Δfθmin，根據(jù)軌道周期性，可轉(zhuǎn)化Δfob=Δfob+2π，即滿(mǎn)足Δfob>Δfθmax)，最小調(diào)相時(shí)間為tθw min=(Δfob-Δfθmax)/ni0，最大調(diào)相時(shí)間為tθw max=(Δfob-Δfθmin)/ni0。

(3) 求交集

在分別求解得到了能量和時(shí)間約束、能量和交會(huì)角約束下的調(diào)相時(shí)間范圍之后，只需求解它們的交集，即可得到三個(gè)約束下的調(diào)相時(shí)間范圍[tw min,tw max]，即有

(10)

在能量、時(shí)間和交會(huì)角約束下的調(diào)相時(shí)間區(qū)間[tw min,tw max]的基礎(chǔ)上，即可通過(guò)一維搜索算法分別求得可攔截區(qū)的最大值及最小值。

5 可發(fā)射區(qū)分析

根據(jù)可發(fā)射區(qū)的定義，當(dāng)給定攔截航天器的初始軌道和命中點(diǎn)時(shí)，可發(fā)射區(qū)為攔截航天器初始軌道上的一個(gè)弧段，該弧段的大小可由初始軌道上的點(diǎn)相對(duì)于命中點(diǎn)(記相位角為φob)的地心夾角范圍來(lái)描述。為了求解該地心夾角在能量、時(shí)間和交會(huì)角約束下的范圍，結(jié)合能量、時(shí)間和交會(huì)角對(duì)攔截軌道地心轉(zhuǎn)移角的影響特性，下面先分別求解能量和時(shí)間、能量和交會(huì)角約束下的可發(fā)射區(qū)，然后再計(jì)算它們的交集，即可得到三種約束下的可發(fā)射區(qū)。

5.1 能量和時(shí)間約束下的可發(fā)射區(qū)

能量和時(shí)間約束下可發(fā)射區(qū)的計(jì)算步驟如下：

步驟1：計(jì)算最小飛行時(shí)間Δtmin，如果Tob≥Δtmin，則進(jìn)入步驟2。否則，停止計(jì)算，返回可發(fā)射區(qū)為空集；

步驟7：可發(fā)射區(qū)可表示為[φob-Δft max,φob-Δft min]。

5.2 能量和交會(huì)角約束下的可發(fā)射區(qū)

能量和交會(huì)角約束下的可發(fā)射區(qū)的計(jì)算方法與能量和交會(huì)角約束下的調(diào)相時(shí)間的計(jì)算方法的步驟有相似之處，均是需要先求解能量和交會(huì)角約束下的攔截軌道地心轉(zhuǎn)移角的最大和最小值，然后再轉(zhuǎn)化為所需要求解的值。其求解步驟如下：

在分別求得能量和時(shí)間約束、能量和交會(huì)角約束下的可發(fā)射區(qū)之后，只需要求解它們的交集，即可得到三種約束下的可發(fā)射區(qū)。

6 仿真分析

6.1 可攔截區(qū)仿真

假設(shè)攔截航天器的初始軌道高度hi0=400km，初始相位φi0=200(°)；目標(biāo)航天器的軌道高度hob=2000 km，命中點(diǎn)相位φc=0(°)；兩軌道均為圓軌道，軌道面夾角ξ=20(°)；攔截航天器的最大變軌能力為Δvmax=500m/s，最大交會(huì)角約束θmax=20.4(°)，最大任務(wù)時(shí)間約束Tmax=2900s，地球半徑為Re=6378.137km。

利用調(diào)相時(shí)間范圍計(jì)算方法計(jì)算得到調(diào)相時(shí)間的范圍為[0, 480.4075s]；利用可攔截區(qū)計(jì)算方法計(jì)算得到可攔截區(qū)的相位區(qū)間為[223.2056(°), 229.6058(°)]，目標(biāo)軌道上的可攔截區(qū)示意圖如圖7所示。

圖7 可攔截區(qū)示意圖Fig.7 Diagram of intercepting region

圖8給出了調(diào)相時(shí)間范圍為[0, 480.4075s]時(shí)的可攔截區(qū)上下邊界的變化曲線(xiàn)。從圖8中可以看出，隨著調(diào)相時(shí)間tw的增大，可攔截區(qū)上邊界曲線(xiàn)單調(diào)遞減，可攔截區(qū)下邊界曲線(xiàn)先保持不變，然后單調(diào)遞增；兩條曲線(xiàn)的共同作用使得當(dāng)調(diào)相時(shí)間為tw min時(shí)，可攔截區(qū)的范圍最大。當(dāng)調(diào)相時(shí)間為tw max時(shí)，可攔截區(qū)的范圍縮小為一個(gè)點(diǎn)。

圖9給出了調(diào)相時(shí)間與攔截任務(wù)總時(shí)間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。外側(cè)虛線(xiàn)表示不同調(diào)相時(shí)間下能量約束對(duì)攔截任務(wù)總時(shí)間的限制作用，內(nèi)側(cè)實(shí)線(xiàn)分別表示時(shí)間約束和交會(huì)角約束對(duì)攔截任務(wù)總時(shí)間的限制作用。對(duì)比圖8和圖9，可以看出時(shí)間約束邊界對(duì)應(yīng)可攔截區(qū)的下邊界；交會(huì)角約束邊界對(duì)應(yīng)可攔截區(qū)的上邊界，并且當(dāng)調(diào)相時(shí)間較短時(shí)，最大任務(wù)時(shí)間約束對(duì)可攔截區(qū)的下邊界起到了主要的約束作用，從而使得可攔截區(qū)的下邊界在一定調(diào)相時(shí)間范圍內(nèi)可保持不變。

圖8 調(diào)相時(shí)間與可攔截區(qū)的關(guān)系圖Fig.8 Diagram of phasing time and intercepting region

圖9 調(diào)相時(shí)間與任務(wù)總時(shí)間的關(guān)系圖Fig.9 Diagram of phasing time and total task time

6.2 可發(fā)射區(qū)仿真

可攔截區(qū)的仿真條件與前述可發(fā)射區(qū)的仿真條件相同，只是此時(shí)攔截器的初始相位不再是給定值，而是需作為可發(fā)射區(qū)進(jìn)行求解。利用可發(fā)射區(qū)計(jì)算方法計(jì)算得到的可發(fā)射區(qū)的相位區(qū)間為[191.3257(°), 231.1413(°)]，可發(fā)射區(qū)的示意圖如圖10所示。

圖10 可發(fā)射區(qū)示意圖Fig.10 Diagram of launching region

圖11和圖12分別給出了考慮不同約束組合時(shí)的最小能量和最小時(shí)間隨可發(fā)射區(qū)相位角的變化曲線(xiàn)。從圖中可以看出，最大能量、最大時(shí)間和交會(huì)角約束對(duì)可發(fā)射區(qū)均起到了限制作用。隨著可發(fā)射區(qū)相位角的增大，攔截能量也不斷增大。在可發(fā)射區(qū)為180(°)附近，攔截脈沖達(dá)到了最小，但此時(shí)的最小任務(wù)時(shí)間較長(zhǎng)，這與此時(shí)霍曼變軌燃料最為節(jié)省的結(jié)論保持了一致。

圖11 可發(fā)射區(qū)內(nèi)的最小攔截能量Fig.11 Minimum interception energy in the launching region

圖12 可發(fā)射區(qū)內(nèi)的最短攔截時(shí)間Fig.12 Minimum interception time in the launching region

7 結(jié) 論

本文研究了脈沖推力作用下的共面變軌、逆軌攔截任務(wù)航天器的攔截可達(dá)性問(wèn)題。首先，基于航天器單脈沖可達(dá)范圍計(jì)算了燃料約束下攔截器對(duì)目標(biāo)軌道的命中區(qū)。分析結(jié)果表明，兩軌道面交叉點(diǎn)為攔截任務(wù)燃料的最省點(diǎn)；基于此結(jié)論，以軌道面交叉點(diǎn)為命中點(diǎn)分析了共面變軌、逆軌攔截任務(wù)的可攔截區(qū)和可發(fā)射區(qū)的計(jì)算方法，計(jì)算過(guò)程考慮了攔截器的調(diào)相等待，以及燃料、時(shí)間和交會(huì)角約束。通過(guò)求解不同約束的組合問(wèn)題，得到了部分約束下的攔截可達(dá)范圍。然后，計(jì)算了它們的交集，得到了三種約束下的攔截可達(dá)范圍，從而降低了問(wèn)題的求解難度。仿真分析表明了該方法的有效性，本文所考慮的三種約束均對(duì)攔截可達(dá)范圍產(chǎn)生了影響。針對(duì)不同的約束條件，攔截可達(dá)范圍也將發(fā)生變化。該計(jì)算方法能夠用于分析共面變軌、逆軌攔截任務(wù)的攔截可達(dá)范圍，豐富了面向目標(biāo)可達(dá)范圍的應(yīng)用場(chǎng)景。