李 翔,朱東方,胥 彪, 聶欽博

(1. 南京航空航天大學 航天學院·南京·210016；2. 上海航天控制技術(shù)研究所·上?！?01109)

0 引 言

火星是距離地球最近的類地行星,對火星的探索研究對人類了解宇宙及開發(fā)外太空資源具有重要意義?；鹦翘綔y代表了行星際太空探索和技術(shù)的頂峰,是未來深空探測領(lǐng)域的最大熱點,也是各個航天大國行星探測的首個目標。美國和歐盟都宣布計劃2030年左右實現(xiàn)載人登火,而我國也明確指出在2020年左右完成對火星無人探測的環(huán)繞、著陸與巡視三個任務(wù)指標[1]。

火星探測器的安全著陸是探測任務(wù)完成最為重要的保障,然而技術(shù)難度極高,在以往的火星著陸任務(wù)中成功次數(shù)不足一半。因此探測器進入、下降、著陸(Entry, Decent, Landing,EDL)過程是未來火星探測任務(wù)的關(guān)鍵技術(shù)之一,而大氣進入段的環(huán)境最為惡劣,受到火星大氣模型不確定、氣動環(huán)境復雜、強非線性、強耦合等問題的影響,對著陸精度的影響很大。為了提高探測器在有較高科學價值的特定區(qū)域精確著陸的能力,可以利用文獻[2]中總結(jié)的自主導航方法的優(yōu)勢,在進入段對火星探測器進行制導策略的設(shè)計。進入制導包括縱向制導和橫向制導,縱向制導是更為重要的方面,目前這個階段制導律設(shè)計主要有兩種方法:標稱軌跡制導法和預測校正制導法[3]。標稱軌跡法就是事先按照要求設(shè)計好一條標稱軌跡,存儲在器載計算機中,然后根據(jù)實時跟蹤誤差設(shè)計制導律來跟蹤這條軌跡。預測校正法是在每個制導周期內(nèi)根據(jù)當前狀態(tài)預測出終端狀態(tài)值,與期望值對比產(chǎn)生誤差信號,最后通過控制器生成控制信號實現(xiàn)對飛行軌跡的控制。這兩種方法各有利弊,前者算法簡單易于實現(xiàn),但其對初始誤差和外部擾動敏感而造成該方法的制導精度較低,需要高性能的控制器去改善缺點。后者較前者對外界干擾具有更好的自適應能力,但其預測過程依賴于精確的動力學模型。盡管預測校正法的制導精度更高,但由于模型精度不高以及器載計算機性能很難滿足計算要求,導致這種方法很難在工程實際中得到有效應用。因此標稱軌跡法仍然是近年來火星探測任務(wù)設(shè)計中優(yōu)先考慮的方法,所以進一步提高其自適應能力和魯棒性尤為重要。阻力加速度跟蹤方法是一種很成熟的標稱軌跡制導法,在航天飛機和好奇者號任務(wù)中都得到成功應用。航天飛機中采用了傳統(tǒng)的比例、積分、微分控制方法[4],雖然技術(shù)比較成熟,但是在一些線性假設(shè)條件下求得的,且增益系數(shù)的整定比較麻煩。文獻[5]運用反饋線性化(Feedback Linearization, FL)方法設(shè)計了標稱軌跡跟蹤控制,證明了該方法的優(yōu)越性。文獻[6]設(shè)計了對低升阻比航天器適用的魯棒制導律。文獻[7]運用了非線性預測控制的方法設(shè)計跟蹤控制器,提高了制導精度,但增大了計算負擔。文獻[8]對于火星大氣進入段軌跡跟蹤控制,設(shè)計了基于連續(xù)有限時間滑?？刂破?具有較高的魯棒性。文獻[9]利用滑?？刂品椒▉硐薪鐢_動的影響,并利用基于徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法用來逼近未知擾動。文獻[10]為了減小大氣密度和空氣動力學系數(shù)的有界誤差的影響,使用了基于命令生成跟蹤器的模型參考自適應方法。文獻[11]結(jié)合軌跡在線更新策略和動態(tài)逆方法,給出了一種再入飛行器閉環(huán)穩(wěn)定的魯棒跟蹤方法。文獻[12]針對再入飛行器設(shè)計了具有前向補償?shù)闹茖Э刂埔惑w化系統(tǒng),具有良好的制導性能和魯棒性。

預測-校正制導算法需要精確的動力學模型來預測最終的狀態(tài)變量,而由于火星大氣環(huán)境的復雜多變,存在各種不確定性,難以得到精確的模型,限制了這種方法的應用。故本文采用經(jīng)典的基于阻力加速度跟蹤的標稱軌跡制導方法。反饋線性化方法在解決非線性系統(tǒng)控制律設(shè)計方面表現(xiàn)出了一定的優(yōu)越性,但不確定因素很大程度上影響了其在進入制導段的跟蹤效果。雖然非線性預測控制和基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的控制方法能有效提高制導精度,但其計算量較大,器載計算機處理能力有限,所以在實際應用中存在一定的困難。由于滑動模態(tài)控制(Sliding Mode Control, SMC)對系統(tǒng)參數(shù)變化及擾動不靈敏,具有較強的魯棒性,而且控制器設(shè)計簡單易于實現(xiàn),可靠性較高,因此,本文基于反饋線性化的思想,設(shè)計了一種將滑模控制與擴張狀態(tài)觀測器(Extended State Observer, ESO)結(jié)合的方法來得出跟蹤制導律,可利用觀測器估計出系統(tǒng)模型不確定性導致的總體誤差,并對控制系統(tǒng)實時進行補償,以得到更加精確有效的控制量,減小跟蹤誤差。

1 系統(tǒng)建模

1.1 動力學建模

本文將火星探測器看作一個質(zhì)點,在整個大氣進入過程中,只受到氣動力和火星引力的作用,且探測器的質(zhì)量恒定不變。本文采用雙錐體探測器外部構(gòu)型[13],使質(zhì)心偏離對稱中心軸線來獲得升力,通過改變升力的大小或調(diào)整升力的方向來控制探測器的飛行軌跡。探測器的受力示意圖如圖1所示,O為探測器質(zhì)心,R為作用在探測器上的氣動力,可分解為氣動升力L和氣動阻力D。G為火星的引力。飛行過程中配平攻角為15°,并假設(shè)無側(cè)滑角。σ為滾轉(zhuǎn)角,即探測器關(guān)于速度矢量的轉(zhuǎn)動角,Lx(Lsinσ)為升力沿著橫向的分量,Ly(Lcosσ)為縱向分量。通過改變探測器滾轉(zhuǎn)角的大小可以調(diào)整縱向分量的大小,從而改變其縱向運動。滾轉(zhuǎn)角的符號并不影響縱向分量的大小,故可通過改變滾轉(zhuǎn)角的符號對探測器的橫向運動進行控制。

(a)側(cè)面

(b)背面圖1 探測器受力示意圖Fig.1 Force acting on the probe

為了簡化運動方程計算,將火星看作一個標準球體,且不考慮其自轉(zhuǎn)及表面風力的影響?；谌杂啥鹊幕鹦谴髿膺M入段動力學模型如下式

(1)

式中，r為探測器質(zhì)心到火星質(zhì)心的距離,V為探測器速度,φ為緯度,θ為經(jīng)度。γ是飛行路徑角,即速度和當?shù)厮矫娴膴A角。ψ是飛行方向角,即速度在水平面上的投影和正東方向之間的夾角。g為重力加速度,為了便于計算,L和D重新定義為氣動升力加速度和阻力加速度,可由式(2)計算得到,

(2)

其中m=2802kg為探測器質(zhì)量,S=15.9m2為探測器參考面積。升力系數(shù)CL和阻力系數(shù)CD為氣動系數(shù),升阻比CL/CD小于0.25。本文采用簡化的指數(shù)大氣密度模型,

(3)

其中ρ為高度h=r-r0處的大氣密度,r0=3396.2km為火星半徑,hs為火星高度參數(shù),取9354m,ρ0為火星表面的標準大氣密度,取0.0158kg/m3。

1.2 動力學分析

因為在進入大氣過程中,探測器處于無動力飛行狀態(tài),滿足能量守恒定律,其能量可以由下式表示

(4)

(5)

其中Ei為初始能量,Ef為終端能量。標準能量取值范圍為0到1。

由航程的定義知,當以時間為變量時,探測器航程只與速度有關(guān)。而由能量變化率可知,當以能量作為自變量時,探測器的航程由阻力加速度的大小唯一確定,所以只要能夠跟蹤上探測器的阻力加速度,就能跟蹤其軌跡路線,這就將軌跡跟蹤的問題轉(zhuǎn)化為了阻力加速度跟蹤的問題。故本文以阻力加速度作為跟蹤變量,以標準能量作為自變量進行探測器運動狀態(tài)的分析。

2 制導律設(shè)計

進入制導策略包括縱向制導和橫向制導。由于假設(shè)攻角為配平攻角,故兩個通道均是將滾轉(zhuǎn)角作為唯一的控制變量。為了實現(xiàn)縱向制導和橫向制導的解耦,分別采用控制滾轉(zhuǎn)角大小和符號的策略。滾轉(zhuǎn)角的大小直接與探測器升力在縱平面的投影相關(guān),而其符號則會改變探測器的航向,所以縱向制導策略就是通過控制滾轉(zhuǎn)角的大小來調(diào)整縱程,橫向制導策略則是通過改變滾轉(zhuǎn)角的符號來修正探測器的橫程偏差。

2.1 縱向制導律設(shè)計

根據(jù)前文可知,縱向制導采用跟蹤阻力加速度的方法,因控制變量為滾轉(zhuǎn)角,首先要得到阻力加速度和滾轉(zhuǎn)角的顯性關(guān)系。由式(1)和式(2)計算出阻力加速度的一階導,如下式所示

(6)

繼續(xù)對上式求導,得阻力加速度二階導和滾轉(zhuǎn)角的關(guān)系式

(7)

其中u=cosσ,a和b是各狀態(tài)量的非線性函數(shù)形式,如下式

(8)

(9)

由式(7)可知,對阻力加速度求二階導后,表達式中顯含控制量u,所以系統(tǒng)相對階數(shù)為2,可用下式表示

(10)

其中D的一階和二階導數(shù)為狀態(tài)變量,輸入變量為u,輸出變量為D。

考慮到在實際大氣進入時存在模型誤差,記氣動系數(shù)誤差為ΔCL、ΔCD,大氣密度誤差為Δρ,則實際阻力加速度和升力加速度可由下式得到

(11)

(12)

將Ds,Ls代入表達式(8)和(9)中得非線性函數(shù)a和b的實際值as=a+Δa,bs=b+Δb。則式(10)可寫成

=a+Δa+(b+Δb)u=a+bu+Δa+Δbu

(13)

由于文獻[14]中只將as作為不確定量,沒有考慮第二項bsu的影響,所以本文更進一步地令受控系統(tǒng)的總不確定量為Δa+Δbu=w(t),則控制系統(tǒng)可寫成

(14)

(15)

對系統(tǒng)(15)利用直接反饋線性化理論,其基本思路就是選擇虛擬控制量,從而抵消原系統(tǒng)中的非線性因素, 使系統(tǒng)實現(xiàn)線性化。把式(14)右邊用一個函數(shù)N代表,即

a+bu+w(t)=N(t)

(16)

那么相對于輸入量N,非線性系統(tǒng)(15)就轉(zhuǎn)化成了一個線性受控系統(tǒng)

(17)

N就稱為原系統(tǒng)的虛擬控制輸入量,可按照線性系統(tǒng)控制律設(shè)計方法求出。

控制系統(tǒng)的目的是調(diào)整控制量u使輸出變量阻力加速度Ds能夠跟蹤上期望的阻力加速度Dr,定義跟蹤誤差

(18)

(19)

對于系統(tǒng)(19),定義滑模面

s=c1e1+c2e2

(20)

利用二次型性能指標最優(yōu)法[15]選取滑模面系數(shù)c1、c2。首先將方程寫成如下狀態(tài)空間形式

(21)

可知系統(tǒng)滿足可控性。式(21)的二次型最優(yōu)性能指標為

(22)

eTQe=e1Q11e1+e2Q21e1+e1Q12e2+e2Q22e2

(23)

(24)

則性能指標變?yōu)?/p>

(25)

且有如下方程

(26)

其中

(27)

故可得

(A12P+Q12)e1+Q22e2=0

(28)

由此可取滑模面系數(shù)c1=A12P+Q12、c2=Q22。選取合適的Q陣,得c1=0.05、c2=1。

為改善滑?？刂葡到y(tǒng)到達段的品質(zhì),采用如下趨近律

(29)

選取合適的參數(shù)α可保證當系統(tǒng)狀態(tài)遠離滑動模態(tài)即滑模面s時,能以較大速度趨近于滑模面,系統(tǒng)狀態(tài)趨近于滑模面時,能保持較小的控制增益,有效降低抖振。這里其值取為0.85。參數(shù)k取為0.038。

下面證明控制律的穩(wěn)定性。取李雅普諾夫函數(shù)Vs=s2/2,顯然在原點鄰域內(nèi)Vs>0,且

(30)

由式(20)和式(29)可得出,

=-k|s|αsgn(s)

(31)

結(jié)合式(17)可得虛擬控制輸入量N的表達式

(32)

代入式(16)可得控制律

(33)

式中a和b由式(8)和(9)計算得到。

對于式(33)中的未知不確定量w(t),本文通過設(shè)置一個擴張狀態(tài)觀測器對其數(shù)值大小進行估計,實現(xiàn)對控制系統(tǒng)的動態(tài)補償。將不確定量看作一個未知狀態(tài)變量x3,其導數(shù)為h(t),則控制系統(tǒng)(15)變換為

(34)

由于傳統(tǒng)的利用非線性函數(shù)設(shè)計的ESO參數(shù)較多,且其整定大多依靠經(jīng)驗,故本文采用只有一個可調(diào)參數(shù)的線性擴張狀態(tài)觀測器(Linear Extended State Observer, LESO),利于實際工程應用[16]。其三階形式如下

(35)

其中z1和z2為對狀態(tài)變量x1和x2的估計量,z3為對不確定量w(t)的估計量。eo1為觀測誤差,l1,l2,l3為觀測器增益。下面給出增益系數(shù)的整定方法,令式(35)減去式(34)得,

(36)

令狀態(tài)誤差向量eo=[eo1,eo2,eo3]T,則有

(37)

如果矩陣Ao的特征值全部在左半復平面,且h(t)是有界的,則可使系統(tǒng)(36)均對原點穩(wěn)定,LESO就能跟蹤式(34)中的擴張狀態(tài)。這里不確定量w(t)及其導數(shù)h(t)都是有界的。將Ao的特征值全部設(shè)為-ωo,則其特征方程與期望的特征多項式相等,即

λo(s)=|sI-Ao|=(s+ωo)3

(38)

最后將利用LESO得到的對未知不確定量的估計值z3代入控制輸入u中,即引入相應補償,抑制模型參數(shù)不確定變化導致的影響,最終得到縱向制導律為

(39)

2.2 橫向制導律設(shè)計

由第一章動力學模型可知,通過改變滾轉(zhuǎn)角符號,Lx(Lsinσ)的符號也隨之反轉(zhuǎn),探測器的升力指向縱平面的另一側(cè),這樣探測器的航向角速度便會反向。本文橫向制導律的設(shè)計就是根據(jù)這個特點,設(shè)計一個與探測器橫向運動有關(guān)的邊界區(qū)間,使探測器在此區(qū)間范圍內(nèi)飛行,當橫程超出邊界時,滾轉(zhuǎn)角反號,調(diào)整橫向運動,使得探測器到達開傘點的橫向距離偏差盡可能小。本文設(shè)計的橫向制導律如下

(40)

(41)

3 仿真結(jié)果及分析

本節(jié)采用第一節(jié)給出的結(jié)構(gòu)參數(shù)及動力學模型(1)進行仿真計算。仿真的初始條件和開傘點參數(shù)參考文獻[18]。具體數(shù)據(jù)如下表1和表2所示。

表1 仿真初始參數(shù)

表2 終端參數(shù)

根據(jù)開傘之后著陸段的初始狀態(tài)要求,當探測器速度達到400m/s或飛行高度低于8km時,探測器降落傘打開,此時大氣進入段制導過程結(jié)束。

將本文基于反饋線性化理論的滑模控制與LESO結(jié)合的方法與文獻[18]給出的反饋線性化方法進行仿真對比,兩種方法的橫向制導均采用本文設(shè)計的制導律。首先在無模型不確定性情況下分別用兩種方法進行仿真。如圖2所示為阻力加速度跟蹤曲線,圖3為探測器經(jīng)緯度曲線,根據(jù)具體結(jié)果可計算得反饋線性化方法的最終開傘點位置偏差為770m,本文方法的偏差為451m,這表明在不存在模型誤差的情況下,兩種方法均能實現(xiàn)對參考軌跡的良好跟蹤。

圖2 阻力加速度曲線Fig.2 Drag acceleration profile

圖3 經(jīng)緯度曲線 Fig.3 Latitude and longitude profile

由于在實際火星大氣進入段存在著模型不確定性,對制導精度有重要影響,所以通過人為施加誤差,將兩種方法進行仿真對比,來驗證本文設(shè)計的縱向制導律有更好的魯棒性。本文假設(shè)的誤差如下表3所示。

表3 模型誤差

在存在模型誤差即氣動系數(shù)誤差及大氣密度誤差的情況下,利用上述兩種方法對標準軌跡進行跟蹤。由于事先已經(jīng)知道施加的參數(shù)誤差大小,故可通過模型計算出總體誤差量的大小,與實際對不確定量w(t)的估計值進行對比來評估觀測器的觀測效果。

首先考慮氣動正拉偏的情況,從阻力加速度跟蹤結(jié)果圖4看出,在整個進入階段,本文方法設(shè)計的縱向制導律對阻力加速度的跟蹤效果優(yōu)于反饋線性化方法。仿真結(jié)果圖5和圖6分別是滾轉(zhuǎn)角變化曲線和漏斗邊界,從圖中能夠看出,在橫 向制導律的作用下,探測器的滾轉(zhuǎn)角在大氣進入過程中進行了數(shù)次變號,調(diào)整橫向運動方向,使得探測器在漏斗區(qū)間內(nèi)飛行,能夠保證最終橫程誤差在很小范圍內(nèi)。探測器飛行高度變化曲線如圖7所示,兩種方法的最終開傘點位置的高度均大于8km,滿足終端條件約束。圖8所示的經(jīng)緯度曲線表明,相比于反饋線性化方法,利用SMC結(jié)合LESO方法的探測器最終開傘點經(jīng)緯度位置離期望點更近,精度明顯更高。圖9為LESO對未知不確定量的估計曲線,與實際誤差量進行對比,能夠看出觀測器變量z3的估計誤差較小,觀測器表現(xiàn)出了良好的性能。

圖4 阻力加速度曲線Fig.4 Drag acceleration profile

圖5 滾轉(zhuǎn)角曲線Fig.5 Bank angle profile

圖6 漏斗邊界Fig.6 Funnel boundary

圖7 高度曲線Fig.7 Altitude profile

圖8 經(jīng)緯度曲線 Fig.8 Latitude and longitude profile

圖9 LESO估計曲線Fig.9 LESO estimation profile

在氣動負拉偏情況下的阻力加速度跟蹤效果如圖10所示。可以看出,相比反饋線性化方法,本文方法的跟蹤效果同樣更好。

圖10 阻力加速度曲線Fig.10 Drag acceleration profile

存在模型誤差情況下,開傘點位置的具體仿真結(jié)果對比如表4所示。

表4 仿真結(jié)果

以上仿真結(jié)果的對比表明,在存在模型誤差的情況下,反饋線性化方法對參數(shù)變化比較敏感,制導精度不高。本文設(shè)計的方法在縱向制導方面具有更優(yōu)越的抗不確定性干擾能力,結(jié)合橫向制導律的作用,表現(xiàn)出很好的軌跡跟蹤效果,使得開傘點誤差保持在較小的范圍。

4 結(jié) 論

本文針對火星探測器大氣進入段,利用直接反饋線性化理論對跟蹤模型進行線性化,設(shè)計了一種滑動模態(tài)控制結(jié)合線性擴張狀態(tài)觀測器的縱向跟蹤制導律,利用滑?？刂品椒敯粜暂^高的特點以及通過對不確定量進行實時補償來提高制導精度。此外,還給出了橫向制導律以減小探測器的橫向偏差。在存在氣動參數(shù)和大氣密度誤差的情況下進行仿真,并與反饋線性化方法進行比較,仿真結(jié)果表明,觀測器實現(xiàn)了對不確定量的良好估計并實時對滑模控制律進行精確補償,增強了制導律對模型參數(shù)不確定性的魯棒性,使得開傘點位置精度更高。故所設(shè)計的制導方法有效地改善了探測器大氣進入階段的制導性能,從而減小了開傘點偏差,并為探測器最終安全著陸到預期位置提供了保障。