朱廣科

摘? ? 要：數(shù)學教學只有回歸生活數(shù)學本原，才能挖掘激發(fā)數(shù)學課堂活力，教學才有力量;數(shù)學教學只有回歸類比生成本味，才能自然爆發(fā)數(shù)學課堂效力;數(shù)學教學只有回歸人文教育本真，才能完美散發(fā)數(shù)學課堂魅力.

關(guān)鍵詞：本原問題;平面向量;課堂活力

“平面向量的實際背景及其基本概念”是人教版高中數(shù)學必修4第二章第一節(jié)的教學內(nèi)容，是平面向量的起始課，概念多，起點低，篇幅少，“可講性”不高，不容易教出新意.如何設(shè)計，才能直擊向量的本質(zhì)？通過實踐檢驗，“回歸數(shù)學本質(zhì)”的觀點和做法對于提高數(shù)學教育教學質(zhì)量、提升教研實效性具有十分重要的指導意義.

一、教學分析

（一）教材分析

本節(jié)是“平面向量”這一章的起始課，對后續(xù)學習三角函數(shù)、解析幾何、立體幾何等相關(guān)知識具有開天辟地的作用.向量概念引入后，全等、平行、平移、相似、垂直、面積、夾角、距離、勾股定理等幾何問題就可以轉(zhuǎn)化為向量的加（減）法、數(shù)乘向量、向量的數(shù)量積等運算（運算律），從而把圖形的幾何性質(zhì)轉(zhuǎn)化為向量的運算體系.向量是溝通代數(shù)、幾何、三角的重要橋梁，本節(jié)的重點是通過豐富的實際背景，抽象出兼具有“數(shù)、形”二相性的向量.

（二）學情分析

在學習本節(jié)課之前，學生已經(jīng)在物理中學習了既有大小又有方向的量——矢量，同時學生非常熟悉實數(shù)的相關(guān)知識，而本節(jié)課完全可類比實數(shù)來學習向量的相關(guān)知識，這些就為學生學習本節(jié)課奠定了良好的基礎(chǔ).由于我們的學生對一些數(shù)學思想方法掌握不牢固、應(yīng)用不靈活，同時大部分學生的數(shù)學能力還沒有達到較高的水平，這又成為學生學習本節(jié)課的一個阻礙.所以為了更好地達到本節(jié)課的學習效果，學生需要提前預習，找出本節(jié)課與其他知識的聯(lián)系，結(jié)合實際加以理解.

（三）教學目標

1.了解向量的實際背景，理解平面向量的概念和表示;掌握向量的模、零向量、單位向量、平行向量、相等向量、共線向量等基本概念.

2.通過實際背景領(lǐng)悟向量的來源，類比實數(shù)學習向量，讓學生初步領(lǐng)會類比推理的數(shù)學思想方法;通過幾何畫板演示實驗，讓學生領(lǐng)會數(shù)形結(jié)合、抽象歸納和從特殊到一般的數(shù)學思想方法.

3.培養(yǎng)學生認識客觀事物的數(shù)學本質(zhì)的能力;培養(yǎng)學生的科學精神和人文素養(yǎng).

二、教學實踐

（一）情境引入，感知向量

情景一：如圖1，以A點為參照點，你能確定B點的位置嗎？確定位置需要哪些關(guān)鍵要素？

情景二：如圖2，指路牌上有哪些關(guān)鍵信息能幫助我們確定位置？

問題1：上面兩個問題有什么共同特征？體現(xiàn)了哪些關(guān)鍵因素？

學生：都是實際生活問題，其中，方向和距離是兩個最關(guān)鍵的要素.

【設(shè)計意圖】本章章頭圖就是一幅交通圖，但對我們的學生來說還不夠“身臨其境”.為了創(chuàng)設(shè)真實的教學情境，激發(fā)學生的求知欲，我們就以賽課地點重慶市第十一中學校為目的地，通過事先查看地圖，并以問題為先導，利用“B點在A點的什么位置”啟發(fā)學生從地圖上抽象出圖中的“方向和大小”兩個要素，接著再從指路牌上抽象出現(xiàn)實中的“方向和大小”兩個要素，讓學生從實際背景中初步感知向量的真實存在性，真切領(lǐng)會數(shù)學與現(xiàn)實生活的密切聯(lián)系.這樣，既理解、尊重了教材，又沒有拘泥于教材，而且創(chuàng)新利用了教材.

問題2：現(xiàn)實世界中還存在像這樣既有大小又有方向的量嗎？請同學們舉例說明.

眾生：F、S、V、a等都是既有大小又有方向的量.

教師：物理中這些既有大小又有方向的量統(tǒng)稱矢量，相應(yīng)的，如溫度、時間、路程等這些只有大小沒有方向的量統(tǒng)稱標量.

【設(shè)計意圖】讓學生開放式列舉，分類，對比分析，進一步感知向量的普遍存在性，領(lǐng)會數(shù)學與其他學科的密切聯(lián)系.

問題3：這些量與我們學過的實數(shù)有什么區(qū)別？

學生：實數(shù)只有大小，沒有方向.

教師：對，數(shù)學中把這種與眾不同的“既有大小又有方向的量稱為向量”.兩種量的對應(yīng)關(guān)系是：矢量——向量，標量——數(shù)量.

【設(shè)計意圖】對比數(shù)量看向量，形成認知沖突，自然生成向量概念.同時，類比實數(shù)，聯(lián)想向量，為揭示向量的本質(zhì)及表示埋下伏筆.

（二）揭示本質(zhì)，生成向量

問題4：類比實數(shù)可以用阿拉伯數(shù)字和數(shù)軸上的點表示，向量如何表示呢？請按照要求畫出物體所受到的力.

眾生活動：借助物理情景，學生很容易找到各力的大小和方向并正確畫出圖形.

教師：現(xiàn)在，我們完全拋開一切具體的物理背景，只探究其大小和方向，能看到什么？發(fā)現(xiàn)什么呢？

教師：很好！我們進一步剝?nèi)ニ鼈兊奈锢硗庖拢浔举|(zhì)就是一條光光的有向線段，它既非常簡潔地刻畫出向量的“數(shù)、形”二相性，又形象直觀地反映出向量的本質(zhì).

學生：物體可抽象成質(zhì)點，力可抽象成有向線段.

內(nèi)涵：向——方向，量——大小.因此，向量將是我們學習數(shù)學常用的有力工具.

【設(shè)計意圖】類比力的表示，層層剝離，逆向回歸，揭示本質(zhì)，形象地展示出向量的生成過程，抽象出向量表示的合理性、必要性、科學性、工具性.

（三）理解概念，構(gòu)建向量

眾生活動：回歸教材，討論交流，理解概念，建構(gòu)體系.

1.向量的幾何表示：用? ? ?表示向量，記作：? ? .

2.向量的符號表示：也可以用字母? ? ? 表示.

3.向量的模：向量[→][AB]的大小，就是向量[→][AB]的長度，記作：? ? .

問題5：向量有幾種表示？它們的關(guān)系是什么？

【設(shè)計意圖】借助三種語言理解向量的概念，建構(gòu)平面向量的語言體系.

問題6：類比實數(shù)系中的特殊數(shù)0和1，向量中有沒有這樣的特殊成員呢？如果有，模和方向會是怎樣的呢？

眾生回答：有，零向量，單位向量.

教師：什么是零向量？單位向量？怎么理解？怎么表示？

眾生：模為0的向量叫零向量，模為1的向量叫單位向量.

教師：對，這是用模長定義的，它們的方向呢？

眾生：沒有方向??？任意方向？！規(guī)定方向？

教師：看來這個問題很有必要深入思考討論，看誰又能說服誰？

眾生活動：思考、交流、討論、爭論.肯定應(yīng)該有方向，沒有方向怎么成為向量呢？！但關(guān)鍵是怎么確定它們的方向呢？

教師：誰都不能說服誰了吧！好，我們一起來做一個小實驗.請一位同學上來，聽我口令：立正！向右轉(zhuǎn)！向右轉(zhuǎn)！向右轉(zhuǎn)！向右轉(zhuǎn)！請問：他在旋轉(zhuǎn)一周的過程中，位移改變了嗎？方向改變了嗎？

眾生：位移始終沒改變，方向一直在改變.

教師：哦，按照定義“模為0的向量叫零向量”，在旋轉(zhuǎn)一周的過程中所產(chǎn)生的都是零向量，由此看來，零向量不僅有方向，而且方向還是任意的！這就是零向量的特殊性.

學生：類似地，單位向量的終點構(gòu)成單位圓！

教師：對，但必須共起點.由圖3可知，一個確定的單位向量方向是唯一確定的.

【設(shè)計意圖】類比實數(shù)系中的0和1探究零向量和單位向量，初步建構(gòu)平面向量的運算體系.借助實驗活動，讓學生親身經(jīng)歷感受零向量和單位向量方向的特殊性.

問題7：類比實數(shù)間的相等或不等關(guān)系，向量間會有什么關(guān)系呢？

教師活動：借助幾何畫板動畫演示，展現(xiàn)向量之間的平移、重合、相反關(guān)系，引導學生抽象得出：

（1）平行向量：方向相同或相反的非零向量，記作[a]//[b]，平行向量也叫共線向量.特別地：零向量與任一向量平行.

（2）相等向量：模相等且方向相同的向量，記作[a]=[b].

【設(shè)計意圖】類比實數(shù)的相等或不等關(guān)系，通過平移重合抽象出共線向量和相等向量，初步建構(gòu)平面向量的推理體系.

（四）鞏固概念，運用向量

1.判斷下列說法是否正確？

（1）單位向量都相等;（? ?）

（2）若[a=b]，則[a=b];（? ? ）

（3）若[a=b]，[b=c]，則[a=c];（? ?）

（4）若[a]//[b]，[b]//[c]，則[a]//[c].（? ?）

2.如圖4，設(shè)O是正六邊形的中心，分別寫出圖中與向量[→][OA]，[→][OB]，[→][OC]相等的向量和共線向量.

【設(shè)計意圖】通過問題判斷，澄清是非，鞏固概念;尤其是（4）中，學生極易忽視零向量，即使個別學生想到了零向量，但教師還應(yīng)追問：誰為零向量？通過寫出正六邊形中的相等向量和共線向量，運用向量實行數(shù)形結(jié)合.

（五）歸納提升，回味向量

師生互動：課堂小結(jié).

1.數(shù)學知識：向量的背景與概念;向量的表示;向量間的基本關(guān)系.

2.數(shù)學方法：抽象歸納;類比推理;數(shù)形結(jié)合.

3.數(shù)學感悟：人生猶如向量，我們既要有強大的動力支撐，更要有正確的方向保證，二者不可或缺！

【設(shè)計意圖】總結(jié)知識，提升方法，感悟思想，激發(fā)學生的情感態(tài)度價值觀.

三、教學感悟

（一）讓學科數(shù)學回歸到生活數(shù)學本原，挖掘激發(fā)數(shù)學課堂活力

數(shù)學源于生活.脫離生活實際的數(shù)學課是枯燥干癟的，缺乏活力的，也是沒有生命力的.為了直觀簡捷地讓學科數(shù)學回歸到生活數(shù)學本原，教師要根據(jù)本課教學目的、學生的認識規(guī)律和知識的內(nèi)部聯(lián)系，創(chuàng)設(shè)一種教學中的問題情境，以引起學生內(nèi)部的認知矛盾沖突，激起學生求知欲，激發(fā)課堂活力.本課通過創(chuàng)設(shè)真實情景，啟發(fā)學生首先從地圖上抽象出圖示中的“方向和大小”兩個要素，再從指路牌上抽象出現(xiàn)實中的“方向和大小”兩個要素.這樣讓學生從圖示回歸到現(xiàn)實，初步感知向量的真實存在性，真切領(lǐng)會數(shù)學與現(xiàn)實生活的密切聯(lián)系，充分挖掘出數(shù)學課堂在實際背景中的活力.

（二）讓數(shù)學教學回歸到類比生成本味，自然迸發(fā)數(shù)學課堂效力

在數(shù)學教學過程中，觀察、分析、比較、類比、歸納、抽象、概括等各種思維形式隨時都在發(fā)揮作用.為了突出向量的理解這一重點，本課著重組織了三次類比教學：一是類比實數(shù)的表示探究向量的表示;二是類比實數(shù)系中的0和1探究零向量和單位向量;三是類比實數(shù)關(guān)系探究向量關(guān)系.這樣，讓學生自然而然地去感受、體會、學會類比學習的方法，潛移默化中滲透出數(shù)學的本味.值得一提的是教師隨機應(yīng)變，臨時采取“緊急措施”，請學生原地打轉(zhuǎn)，親身經(jīng)歷感受零向量方向的特殊性，輕松自然地突破了零向量的方向這一難點.

向量的生成是本課的關(guān)鍵.“數(shù)學教育的學科定位一定要強調(diào)它的跨學科特征”.因此，本課借助物理情景，將具體的物體抽象成點，將力抽象成有向線段，逐層剝離，其本質(zhì)就是一條光光的有向線段，它既簡潔地刻畫出向量的“數(shù)、形”二相性，又形象直觀地反映出向量的本質(zhì)內(nèi)含：向——方向，量——大小.這樣形象地展示出向量的生成過程，使我們看到生成向量的合理性，從而讓學生更容易接受并喜歡向量，變乏味教學為趣味教學.這不正是教材編寫的意圖嗎！

數(shù)學教育心理學認為，學生學習數(shù)學是“接受—建構(gòu)”式的，它既是接受已有數(shù)學知識的過程，同時也是自主建構(gòu)數(shù)學體系的過程，二者相輔相成.在這一理論指導下，本課按照循序漸進的原則，依次進行了三重建構(gòu)：一是借助三種語言建構(gòu)平面向量的語言體系;二是抽象出零向量和單位向量建構(gòu)平面向量的運算體系;三是抽象出共線向量和相等向量建構(gòu)平面向量的推理體系.這三大建構(gòu)最終將直接支撐起整個向量體系，實現(xiàn)從概念化數(shù)學到系統(tǒng)化數(shù)學的第二次轉(zhuǎn)變，也讓我們看到引進向量的科學性、系統(tǒng)性.因此，本課通過三重建構(gòu)，實現(xiàn)三大體系，水到渠成地實施了有效教學，自然將會迸發(fā)出深遠的課堂效力.

（三）讓數(shù)學教育回歸到人文教育本真，完美散發(fā)數(shù)學課堂魅力

教育的本真是立德樹人.教師的本職是激人奮進，助人成功.教師既是知識的傳授者，同時又是人格的塑造者.因此，教師要善于挖掘數(shù)學內(nèi)容所蘊含的育人資源，以提高數(shù)學素養(yǎng)，發(fā)展思維能力，培養(yǎng)理性精神，使學生在掌握數(shù)學知識的過程中學會思考.本課最后雖寥寥數(shù)語，但畫龍點睛，我們既要有強大的動力支撐，更要有正確的方向保證，二者不可或缺.這既是對向量本質(zhì)的領(lǐng)悟，更是對學生心靈的啟迪，是數(shù)學與人文的回歸融合，是數(shù)學課堂魅力的完美展現(xiàn).

實踐證明，回歸數(shù)學的本原、本味、本真，才能更好體現(xiàn)課堂教學的活力、效力、魅力.[□][◢]