摘? 要：就最近提出的λ-粗糙集進行變精度的擴展，更加精確地解決實際問題。首先給出變精度λ-近似空間以及對應上下近似的具體定義，其次給出變精度λ-近似空間重要的性質(zhì)以及與λ-近似空間的不同之處，最后利用變精度粗糙集的優(yōu)勢，給出一個具體的實例，呈現(xiàn)它在決策中的實際應用，并說明變精度λ-粗糙模型的優(yōu)越性。

關(guān)鍵詞：λ-粗糙集;變精度;決策

中圖分類號：TP18? ? ? ?文獻標識碼：A 文章編號：2096-4706（2019）23-0005-04

Variable Precision λ-Rough Set Model and Its Application in Decision-making

WU Mengxuan

（Renmin University of China，Beijing? 100872，China）

Abstract：This paper extends the variable precision of the recently proposed λ-rough sets to solve practical problems more accurately. Firstly，the definitions of variable precision λ-approximation space and corresponding upper and lower approximation are given，and the important properties of variable precision λ-approximation space and the differences between variable precision λ-approximation space and λ-approximation space are given. Finally，by using the advantages of variable precision rough set，a concrete example is given to show its practical application in decision-making，and the advantages of variable precision λ-rough model are illustrated.

Keywords：λ-rough set;variable precision;decision-making

0? 引? 言

粗糙集理論（RS）最初是由Pawlak提出的，它是軟計算中的一個重要工具。粗糙集理論中的關(guān)鍵概念是近似算子。然而Pawlak近似算子的定義依賴于等價關(guān)系，這對于應用領(lǐng)域來說過于嚴格。為此，許多學者提出了更為廣義的粗糙集模型。粗糙集理論的普及程度可以通過它在各個領(lǐng)域的應用來衡量，如醫(yī)學診斷、機器學習、模式識別、基于案例的推理和數(shù)據(jù)挖掘等領(lǐng)域。

遵循Pawlak使用等價關(guān)系的粗略近似公式，一種常用的定義廣義粗糙近似的方法是基于信息系統(tǒng)中一組局部對象上定義的相似關(guān)系。這種方法的一個基本困難是，部分定義的相似關(guān)系不能真實、充分地反映信息系統(tǒng)中提供的可用部分知識，類似的方法是用部分對象描述屬性。這種方法也有一些缺點。文獻[1]對傳統(tǒng)的方法進行了一些改進，在廣義不可分辨關(guān)系和大數(shù)據(jù)相關(guān)性兩個方面進行了分析：（1）從廣義不可分辨關(guān)系的角度，對可用對象具有相同描述的屬性稱為λ-不可區(qū)分。作者通過所有對象（而不是部分對象）正確地描述屬性。對象越多，描述屬性就越準確。因此，證明了λ-不可分辨關(guān)系的存在性;（2）從大數(shù)據(jù)相關(guān)性的角度來看，谷歌流感趨勢（GFT）是大數(shù)據(jù)在公共衛(wèi)生領(lǐng)域的首次應用。GFT于2009年在線開放，立即引起了全世界的關(guān)注。隨著大數(shù)據(jù)的發(fā)展，在其核心相關(guān)性量化了兩個變量之間的統(tǒng)計關(guān)系。強相關(guān)性意味著當一個變量發(fā)生變化時，另一個變量也很可能發(fā)生變化;弱相關(guān)是指當一個變量發(fā)生變化時，另一個變量可能發(fā)生變化，也可能不發(fā)生變化。

相關(guān)性不能預測未來，它們只能用一定的可能性來預測未來，但這種能力是非常有價值的。基于相關(guān)性的預測是大數(shù)據(jù)的核心。決策過程（DM）可以被看作是一個從集合中選擇或排序備選方案的過程，基于行為條件下的決策信息。群體決策（GDM）試圖提供解決這些復雜現(xiàn)實問題的解決方案。然而，在現(xiàn)實生活中，管理科學、運籌學和工業(yè)工程實踐中的許多決策問題往往需要同時解決多屬性決策問題。因此，多重屬性組決策（MAGDM）在涉及存在沖突和交互標準的情況下，由一組可行的備選方案進行選擇或排序。許多研究人員已經(jīng)通過MAGDM進入這個領(lǐng)域。最近，Mardani等人在文獻[2]中回顧了1994～2014年基于模糊集理論的MAGDM方法。但由于在現(xiàn)實中遇到的問題的復雜性，一個獨特的不確定性模型并不能很好地處理這些問題。并且，粗糙集理論被用于開發(fā)解決實際問題的決策方法。但是原始的粗糙集有一些缺點：（1）原始的粗糙集方法不能確定備選方案的優(yōu)先順序;（2）對多屬性或多標準決策方法的研究，只利用現(xiàn)有數(shù)據(jù)，不考慮屬性的知識，不考慮屬性之間的關(guān)系對決策結(jié)果的影響;（3）基于GFT的思想，預測精度對于大多數(shù)潛在應用來說都太低了。

文獻[1]利用TOPSIS的方法幫助決策者組織問題，并對備選方案進行分析、比較和排名;且利用λ-粗糙集可以建立利用屬性知識進行決策的模型。文獻[1]推廣了不可區(qū)分關(guān)系，并定義了屬性之間的相似關(guān)系。在新的粗糙集模型下，下近似算子和上近似算子分別體現(xiàn)了屬性的支撐性和可預測性。從理論意義上，λ-粗糙集模型既存在經(jīng)典粗糙集的特征，又具備調(diào)整的新特征。在決策過程中，憑借屬性相關(guān)關(guān)系的預測可能性的能力，可以從原始信息系統(tǒng)上衍生出預測可能性信息系統(tǒng)，剛好補充了決策過程的不足，而粗糙集理論為處理原始信息系統(tǒng)提供了方法?？偠灾?，此粗糙集模型不僅擴充了粗糙集的理論，而且使得粗糙集的應用結(jié)合大數(shù)據(jù)，讓粗糙集的實際價值凸顯得更明確。

鑒于粗糙集模型的可推廣性，Ziarko于1993年在文獻[3]中首次提出變精度粗糙集（VPRS）模型，作為經(jīng)典粗糙集模型的重要擴展之一。在給定閾值β的情況下，VPRS模型引入了部分分類的概念，從而允許在給定的較低近似值下對對象進行分類時出現(xiàn)一些錯誤。這與經(jīng)典的RS模型形成了對比，后者分類精度嚴格，不允許出現(xiàn)錯誤。當應用于數(shù)據(jù)集中包含錯誤和不確定信息的實際復雜問題時，VPRS模型具有優(yōu)越的性能。

本文基于λ-粗糙集，對其進行變精度的擴展，更加精確地解決實際問題。本文的結(jié)構(gòu)如下：第一部分給出粗糙集以及信息系統(tǒng)需要的預備知識，第二部分引入變精度λ-粗糙集的定義并且給出重要的性質(zhì)，第三部分結(jié)合實際例子說明變精度λ-粗糙集的應用并且說明變精度粗糙集的優(yōu)越性，第四部分對文章進行總結(jié)。

1? 預備知識

粗糙集理論中的知識表達方式一般采用信息表或信息系統(tǒng)的形式。信息系統(tǒng)（或知識表示系統(tǒng)）是一個有限的表，其中的行由對象標記，而列是由屬性標記的，表的條目是屬性值。因此，信息系統(tǒng)可以看作是由屬性值描述的對象的集合。下面給出了信息系統(tǒng)的正式定義。

信息系統(tǒng)是一個四元組S=（U，Q，V，f），其中U是非空有限對象集，被稱為值域;Q是一個非空有限屬性集;V=∪q∈QVq，Vq是一個屬性q的值;f：U×Q→V是一個信息函數(shù)，使信息值f（x，q）∈Vq，其中q∈Q，x∈U。

在信息系統(tǒng)中，對象用有限的屬性來表示，即對象可以通過屬性來進行評價或者排序，也稱為對象決策。而且，如果所有對象都可以評價或排序，并且存在一個最優(yōu)的對象，則稱為對象的最優(yōu)排序或最優(yōu)決策。在實際生活中，學生成績、超市促銷明細、員工考核明細，病人的體檢明細、股票風險分析因素、個人關(guān)系等等都是信息系統(tǒng)。

定義1：設S=（U，Q，V，f）是一個信息系統(tǒng)，A?Q且x，y∈U。定義x和y被A不可區(qū)分的如果對于任意的a∈A，有f（x，a）=f（y，a）成立。

因此，每個A在U上生成一個二元關(guān)系，稱為不可區(qū)分關(guān)系，用IND（A）表示。對于每個A?Q，IND（A）顯然是一個等價關(guān)系。任何等價關(guān)系IND（A）產(chǎn)生Q的一個劃分，為方便起見，[x]A代表x∈U相對于IND（A）的等價類。[4]

定義2：設S=（U，Q，V，f）是一個信息系統(tǒng)且A?

Q，X?U。X的A-下近似和A-上近似被分別記為 （X）和 （X），且被定義為 （X）=∪{x∈X|[x]A?X}和 （X）=∪{x∈X|[x]A∩X≠?}。

子集X是可定義的當且僅當 （X）=（X）;子集X是不可定義的當且僅當 （X）≠ （X），即X是粗糙集。根據(jù)以上定義，下近似也稱為X關(guān)于A的正域，它可以解釋為由那些根據(jù)現(xiàn)有知識判斷出肯定屬于X的對象組成的最大的集合。上近似可以解釋為由那些根據(jù)現(xiàn)有知識判斷出可能屬于X的對象組成的最小集合。[4]

定義3：設S=（U，Q，V，f）是一個信息系統(tǒng)且a，b∈Q，λ∈（0，1]。定義a和b是λ-不可區(qū)分，如果且，其中Ja={x∈U|f（x，a）= 1}，Jb={x∈U|f（x，b）=1}。

顯然λ-不可區(qū)分關(guān)系滿足自反性和對稱性，但不滿足傳遞性。如果λ=0，則發(fā)現(xiàn)所有屬性之間都存在λ-不可區(qū)分關(guān)系，這樣就失去了實際的意義。同時，如果λ越趨近1，則屬性之間的不可區(qū)分度就越高，也就是說，λ越大，分類要求越嚴格。

記[a]λ為Q中與aλ-相關(guān)的所有元素組成的集合。即[a]λ 為下面這個形式：[a]λ=。[1]

定義4：設S=（U，Q，V，f）是一個信息系統(tǒng)。三元組（Q，f，λ）被稱為S的λ-近似空間，其中λ∈（0，1]。對任意的A?Q，A的下λ-近似和上λ-近似分別被定義為：

， 。[1]

2? 信息系統(tǒng)的變精度λ-近似空間

本節(jié)在文獻[1]的基礎上引入變精度粗糙集，給出變精度λ-近似空間以及一個集合的上下近似，進而給出變精度λ-近似空間的重要性質(zhì)。

定義5：設S=（U，Q，V，f）是一個信息系統(tǒng)。四元組（Q，f，λ，β）被稱為S的變精度λ-近似空間，其中λ∈（0，1]，β∈（0.5，1]。對任意的A?Q，A的β-下λ-近似和β-上λ-近似分別被定義為：

， 。

性質(zhì)1：如果β=1，則 （A，f，λ，β）=（A，f，λ），（A，f，λ，β）=（A，f，λ）。

證明：當β=1時，

即 （A，f，λ，β）= （A，f，λ）。

同理得 （A，f，λ，β）=（A，f，λ）。

性質(zhì)2：設S=（U，Q，V，f）是一個信息系統(tǒng)，0≤ λ≤1且0.5<β1≤β2≤1。則對于任意的A?Q，有 （A，f，λ，β2）? （A，f，λ，β1），（A，f，λ，β1）?（A，f，λ，β2）。

證明：設0.5<β1≤β2≤1。對于任意的a∈Q，若? ? ? ?，則有? 。即 （A，f，λ，β2） ?

（A，f，λ，β1）。若，則有 ，即 （A，f，λ，β1）?（A，f，λ，β2）。

性質(zhì)3：設（Q，f，λ，β）是S的變精度λ-近似空間。設A，B?Q，則以下幾點成立：

（1）（A，f，λ，β）?（A，f，λ）?（A，f，λ）?（A，f，λ，β）;

（2）（?，f，λ，β）=（?，f，λ，β）=?;

（3）（Q，f，λ，β）=（Q，f，λ，β）=Q;

（4）（A∩B，f，λ，β）?（A，f，λ，β）∩（B，f，λ，β）;

（5）（A∩B，f，λ，β）?（A，f，λ，β）∩（B，f，λ，β）;

（6）（A∪B，f，λ，β）?（A，f，λ，β）∪（B，f，λ，β）;

（7）（A∪B，f，λ，β）?（A，f，λ，β）∪（B，f，λ，β）;

（8）如果A?B，則 （A，f，λ，β）? （B，f，λ，β），且 （A，f，λ，β）?（B，f，λ，β）;

（9）（A，f，λ，β）=（ （AC，f，λ，β））C且 （A，f，λ，β）=（（AC，f，λ，β））C。

證明：由于證明過程相似，在此只證明（1）。由性質(zhì)1知，（A，f，λ，1）=（A，f，λ），（A，f，λ，1）=（A，f，λ）。由性質(zhì)2知，（A，f，λ，β）?（A，f，λ）且 （A，f，λ）?（A，f，λ，β）。顯然 （A，f，λ）?（A，f，λ）。

定理1：設S=（U，Q，V，f）是一個信息系統(tǒng)，0≤λ ≤1且0.5<β1≤β2≤1。則對于任意的A?Q，則以下幾點成立：

（1）（A，f，λ，β1∨β2）=（A，f，λ，β1）∩（A，f，λ，β2）;

（2）（A，f，λ，β1∨β2）=（A，f，λ，β1）∪（A，f，λ，β2）;

（3）（A，f，λ，β1∧β2）=（A，f，λ，β1）∪（A，f，λ，β2）;

（4）（A，f，λ，β1∧β2）=（A，f，λ，β1）∩（A，f，λ，β2）。

證明：由于證明過程相似，在此只證明（1）。設0.5< β1≤β2≤1。則β1∨β2=β2。由性質(zhì)2知 （A，f，λ，β2）? （A，f，λ，β1）。即 （A，f，λ，β1∨β2）=（A，f，λ，β1）∩（A，f，λ，β2）。

3? 變精度λ-粗糙集在決策中的應用

在現(xiàn)實生活中，決策問題變得越來越重要。決策是指為了實現(xiàn)一定的目標，決策主體對多個備選方案進行評價，并從中選擇令決策者滿意的方案的過程。決策的本質(zhì)是為了未來目的做出的選擇，為了解決決策問題，人們提出了許多方法。粗糙集理論已經(jīng)被證明是一種非常有用的處理幾種類型的決策問題的方法。為了說明變精度λ-近似空間在決策中的應用，提供了以下的示例：

假設S=（U，Q，V，f）是幾個學生的成績表，如表1所示，其中U=（x1，x2，x3，x4，x5）是五個學生的集合，Q=（a1，a2，a3，a4，a5，a6）是六個學科的集合。由表1可知，這五個學生的總成績是一樣的。李老師需要根據(jù)學生各科的成績來做一個排名，排名要求能反映學生的潛力。

評價學生的成績好壞一般是通過計算各科目的總成績，總分越高，就認為學生越優(yōu)秀，但是當總成績相同的時候，這個方法就失效了。接下來，本文使用變精度λ-粗糙集給出的一種方法做出一個排名，這個排名可以反映學生的潛力。

假設信息系統(tǒng)S=（U，Q，V，f），其中U=（x1，x2，x3，x4，x5）是對象集，Q=（a1，a2，a3，a4，a5，a6）是屬性集。

決策方法：

第一步：輸入信息系統(tǒng)S=（U，Q，V，f）;

第二步：根據(jù)定義3、定義5以及最優(yōu)決策目的，確定β和λ值;

第三步：計算β-下λ-近似 （Oi，f，λ，β）和β-上λ-近似（Oi，f，λ，β），其中Oi={a∈Q|f（xi，a）=1}，xi∈U;

第四步：

（1）對于每一個候選對象，都可以得到與Oi的下相似度 ;

（2）對于每一個候選對象，都可以得到與Oi的上相似度 ;

第五步：

（1）根據(jù)? 的大小，確定每個對象xi在所有對象中的升序的排列的位置? ;

（2）根據(jù)? 的大小，確定每個對象xi在所有對象中的升序的排列的位置? ;

第六步：建立排序的直角坐標系，其中，x軸表示? ，y軸表示? ，即xi在坐標系中x0y中的坐標為（? ，? ）;

第七步：計算偏角θi=arctan ，并根據(jù)θi的大小，從大到小輸出xi。

計算偏角的過程中，偏角越大說明排序的偏差越大，也就是潛力越大。

基于算法的模擬實驗：首先根據(jù)表1建立信息系統(tǒng)。如果學生xi的學科成績aj在85到100之間，則認為這個學生掌握了這個學科，記作f（xi，aj）=1;否則，f（xi，aj）=0。得到信息系統(tǒng)S=（U，Q，V，f），如表2所示。

第一步：輸入信息系統(tǒng)S=（U，Q，V，f），如表2所示;

第二步：根據(jù)定義3、定義5，確定β=0.75和λ=0.6;

第三步：計算β-下λ-近似 （Oi，f，λ，β）和β-上λ-近似 （Oi，f，λ，β），其中Oi={a∈Q|f（xi，a）=1}，xi∈U，同時得到? 和? ，如表3所示。

以及 ，

第四步：根據(jù)? 的大小，排列為x3

第五步：在排序的直角坐標系中，其中，x1的坐標為（2，2），x2的坐標為（4，3），x3的坐標為（1，4），x4的坐標為（3，2），x5的坐標為（4，1）;

第六步：計算偏角θ1=45.00，θ2=36.87，θ3=75.96，θ4=33.82°，θ5=14.04°。從大到小輸出為x3，x1，x2，x4， x5。即排序為x3>x1>x2>x4>x5。

為了顯示變精度粗糙集的優(yōu)越性，下面給出在沒有變精度的時候的對比實驗。把上述實驗的閾值β去掉，可以得到如表4所示的內(nèi)容。

根據(jù)? 的大小，排列為x3

由此得出：由于變精度λ-粗糙集模型把集合的上近似集合變大，下近似集合變小，這樣使得邊界增大。在上述應用中，變精度λ-粗糙集模型的這種不準確性反而使得結(jié)果更加清晰，和單純的λ-粗糙集模型相比，更容易得出想要的結(jié)果。這使得變精度λ-粗糙集模型的優(yōu)越性更加明顯。

4? 結(jié)? 論

變精度粗糙集由于允許一定錯誤的存在，反而在實際生活中的應用更加廣泛，在解決實際問題時優(yōu)越性更加明顯。本文在λ-粗糙集模型的基礎上進行變精度的擴展，使得λ-粗糙集模型的應用更加實際、可操作，也擴充了λ-粗糙集模型以及變精度粗糙集的理論以及實際應用。后續(xù)會更加深入地研究λ-粗糙集模型的更多擴展，使得此模型更加完善，也在完善中增加它的應用價值。

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作者簡介：吳夢軒（1993.06-），男，漢族，河南平頂山人，研究生在讀，研究方向：數(shù)理統(tǒng)計、大數(shù)據(jù)。