邱映芬

摘要：“數(shù)形結(jié)合”是初中學(xué)生必須掌握的一種數(shù)學(xué)解題思想，是學(xué)好初中數(shù)學(xué)的關(guān)鍵所在。運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思路，可以使初中數(shù)學(xué)中的復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象問(wèn)題具體化，不僅能提高教學(xué)質(zhì)量，還能提高學(xué)生學(xué)習(xí)能力，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教學(xué);數(shù)形結(jié)合;幾何

八年級(jí)的數(shù)學(xué)，學(xué)習(xí)內(nèi)容相對(duì)七年級(jí)更多更難了。八年級(jí)上學(xué)期，需要學(xué)習(xí)三章幾何，兩章代數(shù)。在幾何的學(xué)習(xí)中，沒(méi)有一章的內(nèi)容是簡(jiǎn)單的，八年級(jí)的幾何學(xué)習(xí)，需要更多的邏輯推理和空間想象，才能在遇到幾何綜合題時(shí)，能分析條件，找到條件和結(jié)論的關(guān)系，做輔助線解題;代數(shù)知識(shí)也比七年級(jí)的更加難，八年級(jí)上學(xué)期會(huì)結(jié)束有理式的學(xué)習(xí)、冪的運(yùn)算、乘法公式和因式分解、分式的運(yùn)算。為了讓學(xué)生更好的掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的解題思想很重要。

什么是數(shù)形結(jié)合思想？

數(shù)，指的就是代數(shù);形，一般指的是圖形，也就是幾何圖形，常說(shuō)的幾何圖形有直線、三角形等?！皵?shù)”和“形”是數(shù)學(xué)中最基本的概念，也是最古老的研究對(duì)象，它們既是對(duì)立的，又是統(tǒng)一的，在一定條件下是完全可以互相轉(zhuǎn)化的。

數(shù)形結(jié)合就是指通過(guò)數(shù)和形的聯(lián)系來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，也就是將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言、數(shù)量關(guān)系和直觀的幾何圖形、位置關(guān)系巧妙的結(jié)合起來(lái)，既分析其數(shù)量關(guān)系，又揭示其幾何意義。在解決代數(shù)問(wèn)題的時(shí)候，利用圖形找到解題思路;或者在研究圖形時(shí)，利用代數(shù)的性質(zhì)，解決幾何的問(wèn)題，使復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象的問(wèn)題具體化，是一種優(yōu)化解題過(guò)程的重要途徑，是一種基本的數(shù)學(xué)方法。

著名的數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛;數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微;數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬(wàn)事非;切莫忘，幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠(yuǎn)聯(lián)系切莫分離?！边@充分說(shuō)明了數(shù)形結(jié)合在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中是非常重要的。

我們可以從“以數(shù)助形”和“以形助數(shù)”兩種情形來(lái)全面理解數(shù)形結(jié)合思想。

一、以數(shù)助形

“以數(shù)助形”就是借助數(shù)的精確性來(lái)闡明形的某些屬性，也就是給一些過(guò)于簡(jiǎn)單、找不出規(guī)律的圖形賦值，這樣的話，有助于學(xué)生找到一些隱含的條件，利用這種隱含的條件找到解題思路。

（1）數(shù)軸、直角坐標(biāo)系

數(shù)軸在數(shù)學(xué)教學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，數(shù)軸上的點(diǎn)和數(shù)是一一對(duì)應(yīng)的，可以幫助學(xué)生快速的分析數(shù)量之間的關(guān)系。利用數(shù)軸可以分析絕對(duì)值的概念、相反數(shù)的概念、有理數(shù)的加減乘除等運(yùn)算。

例如華師版八年級(jí)數(shù)學(xué)上典型題：

已知實(shí)數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖所示，且|a|=|b|，化簡(jiǎn)

解析：a<0，a+b>0，c-a<0，c<0，原式=-a+a+b-c-a-2c=-a+b-3c

零的左邊就是負(fù)數(shù)，右邊就是正數(shù);相反數(shù)就是在原點(diǎn)兩旁到原點(diǎn)距離相等的兩個(gè)點(diǎn)所表示的數(shù)，零的相反數(shù)就是零的本身，也就是原點(diǎn);絕對(duì)值就是這個(gè)數(shù)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離。題目中的圖片，可以讓我們很形象的看出，哪些是正數(shù)，哪些是負(fù)數(shù)，以及數(shù)與數(shù)之間的大小。

這道題目就是通過(guò)數(shù)軸的建立，結(jié)合負(fù)數(shù)、相反數(shù)、絕對(duì)值的概念，通過(guò)數(shù)軸的直觀描述，很容易找出兩點(diǎn)之間到原點(diǎn)的距離大小，找到數(shù)值的正確位置，使問(wèn)題條理分明，印象深刻，極大的減少了學(xué)生學(xué)習(xí)的阻力。不等式也可以通過(guò)數(shù)軸簡(jiǎn)化不等式的解法。

直角坐標(biāo)系在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中也占有非常重要的地位，可以看成是升級(jí)版的數(shù)軸，我們可以通過(guò)直角坐標(biāo)系來(lái)解決一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的難題，將一些復(fù)雜計(jì)算、概念化的問(wèn)題簡(jiǎn)單化。

（1）幾何圖形

我們所看見(jiàn)的一切都是由點(diǎn)、線、面等基本幾何圖形組合而成的，幾何圖形就是實(shí)物中抽象出的各種圖形。幾何知識(shí)的綜合運(yùn)用是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，同學(xué)們往往不知道如何分析條件，如何找到條件和結(jié)論的關(guān)系?！耙詳?shù)助形“就是合理利用角度、距離、面積等幾何數(shù)據(jù)來(lái)解決幾何問(wèn)題，例如利用勾股定理來(lái)證明垂直關(guān)系，就是一種比較常見(jiàn)的“以數(shù)助形”的方法。

例如經(jīng)典案例題：

若等邊三角形的邊長(zhǎng)是2，求此等邊三角形的面積。

解析：如圖，等邊三角形ABC，AD垂直BC于D，因?yàn)榈冗吶切蔚走吷系母吲c底邊上的中線相互重合，所以BD=1/2BC，所以BD=1;在直角三角形ABD中，AB2=AD2+BD2，AD2=AB2-BD2=4-1=3，所以AD=， S?ABC=1/2*BC*AD=

由于缺少我們求三角形面積熟悉的高，我們可以先在圖上虛構(gòu)一條輔助線，作為一條邊上的高，再跟進(jìn)面積公式求值。其實(shí)也就是利用勾股定理，用數(shù)形結(jié)合的思維推導(dǎo)在幾何圖形中找出隱藏的條件。只要認(rèn)真審題，全面分析，靈活運(yùn)用相關(guān)的判定、性質(zhì)和定理，熟練利用數(shù)形結(jié)合的解題思路，就能夠使相關(guān)幾何問(wèn)題的求解得到極大的簡(jiǎn)化。

二、以形助數(shù)

“以形助數(shù)”就是借助幾何圖形來(lái)闡明數(shù)據(jù)之間關(guān)系，也就是將一些比較單調(diào)或枯燥的數(shù)據(jù)置于圖形中研究。

一次函數(shù)及其圖像是初中代數(shù)的重要內(nèi)容，是八年級(jí)教學(xué)本里非常難的一章，也是中考的重點(diǎn)考察內(nèi)容。解函數(shù)題的關(guān)鍵就是要懂得看圖，一般就是自己能畫(huà)一個(gè)草圖來(lái)整理自己的思路，理解題目的意思，然后解答問(wèn)題。

例如八年級(jí)期末備考經(jīng)典題：

如圖，一次函數(shù)y=ax+b的圖象經(jīng)過(guò)A/B兩點(diǎn)，則關(guān)于x的不等式ax+b<0的解集是？

解析：考查一次函數(shù)與不等式。Ax+b<0，即當(dāng)x取何值時(shí)，函數(shù)值y<0;由圖象知，當(dāng)x<2時(shí)，函數(shù)值y<0，即ax+b<0的解集為：x<2

這道題目就是一次函數(shù)?？嫉念愋?，是很明顯的看圖得信息。只要知道橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)分別代表什么，就可以得出答案了。一次性函數(shù)題目，一般都是借助圖象來(lái)求函數(shù)的解析式或交點(diǎn)的坐標(biāo)，或者與坐標(biāo)軸的面積。只要合理利用“以形助數(shù)”的思路來(lái)解題，就會(huì)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)其實(shí)也并沒(méi)有想象的那么難。

八年級(jí)上學(xué)期學(xué)習(xí)了一次函數(shù)之后，下學(xué)期會(huì)開(kāi)始接觸反函數(shù)、二次函數(shù)，相對(duì)一次函數(shù)而言，題型會(huì)更復(fù)雜一點(diǎn)，但是如果掌握了數(shù)形結(jié)合的解題思路，學(xué)會(huì)分析題目、比較歸納，自我總結(jié)思路畫(huà)圖，充分利用幾何圖形的直觀形象，理解代數(shù)方法的一般性，從數(shù)與形的聯(lián)系中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，了解代數(shù)知識(shí)的幾何背景，解題的過(guò)程中想必也不會(huì)有什么困難了。

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