馮玉蘭

[摘 ?要：分類討論思想，是根據(jù)數(shù)學(xué)的根本屬性的相同點(diǎn)以及不同點(diǎn)，將數(shù)學(xué)漸漸地分為不同的種類的一種有效的數(shù)學(xué)思想。對于學(xué)生來說，就是使用分類討論思想將不能夠統(tǒng)一方法解答的問題，劃為不同的模塊，學(xué)生在通過分塊來實(shí)現(xiàn)問題的求解，體現(xiàn)出學(xué)生對數(shù)學(xué)問題的解題能力以及學(xué)生對數(shù)學(xué)問題的分析能力。這種數(shù)學(xué)思想，也是高中數(shù)學(xué)中一項(xiàng)重要的考查項(xiàng)目。本文在此基礎(chǔ)上主要分析了分類討論思想在高中數(shù)學(xué)解題中應(yīng)用的相關(guān)內(nèi)容。

關(guān)鍵詞：分類討論思想;高中數(shù)學(xué);解題;應(yīng)用]

1引言

分類討論思想存在于生活中的各個(gè)學(xué)科、領(lǐng)域中，是自然學(xué)科以及所有社會學(xué)科的基本邏輯方法，不單用于數(shù)學(xué)教學(xué)中。高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，分類的思想體現(xiàn)在多種方面，例如，代數(shù)與幾何的分類、方程和函數(shù)的分類等，通過合理分類這些問題，有效降低了學(xué)生的解題難度?？v觀歷年的數(shù)學(xué)高考試題，分類討論解題方法常常出現(xiàn)在高考解題當(dāng)中。伴隨素質(zhì)教育的推進(jìn)、新課程改革的實(shí)施，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該做到在“授人以魚”的同時(shí)“授人以漁”。讓學(xué)生在解題中學(xué)會分類討論思想，這不僅有助于解題能力的提升，也有助于數(shù)學(xué)思維能力的發(fā)展。

2分類討論思想的解題策略

分類討論思想是指當(dāng)某類數(shù)學(xué)問題不能以統(tǒng)一空間形式作答時(shí)，首先，需要選定適當(dāng)?shù)臉?biāo)準(zhǔn);然后，根據(jù)上述標(biāo)準(zhǔn)將問題劃分為若干子空間;最后針對問題空間進(jìn)行逐一討論，進(jìn)而使問題獲得解決。分類討論思想解題的關(guān)鍵是找清分類的動機(jī)與策略，即弄清“為何”、“如何”。根據(jù)分類討論思想的定義與關(guān)鍵要素，本文確定分類討論思想的四個(gè)操作步驟。

3分類討論思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

3.1數(shù)列中的分類討論思想

證明某些邏輯命題時(shí)，由于此類證明命題的特殊性，在論證過程中需要根據(jù)不同情景或原理，將這些復(fù)雜的、抽象的命題解剖為若干個(gè)具體的子命題。分解子命題時(shí)需要建構(gòu)相關(guān)的論證要素，只要把相關(guān)的論證要素全部逐一的建構(gòu)，就足以徹底地去證明原命題。例1：若{an}是由非負(fù)整數(shù)組成的無窮數(shù)列，把此類數(shù)列前n項(xiàng)的最大值記為An，同時(shí)把第n項(xiàng)之后各項(xiàng)an+1，an+2，……，的最小值記為Bn。命dn=An-Bn其中n=1，2，3，……，求證：當(dāng)a1=2，dn=1時(shí)，則{an}的項(xiàng)是1或2，而且有無窮多項(xiàng)為1。剖析：

（1）當(dāng)數(shù)列{an}的某項(xiàng)ai=0時(shí)，則有d1=a1-ai=2-0=2，這與dn=1矛盾，所以數(shù)列{an}中所有的項(xiàng)都不為0。

（2）當(dāng)數(shù)列{an}的項(xiàng)大于2時(shí)，記其中第一個(gè)大于2的項(xiàng)為ai，因?yàn)閿?shù)列{an}中一定存在項(xiàng)1，否則這與d1=1矛盾。當(dāng)n>i時(shí)，則有an≥2，否則這與di=2相矛盾。故數(shù)列中存在最大的項(xiàng)m在2與i-1之間，使得am=1。此時(shí)dm=Am-Bm=2-Bm≤2-2=0，這與題設(shè)dn=1相矛盾。所以數(shù)列{an}中的項(xiàng)不能超過2，只能是1或2。

（3）當(dāng)數(shù)列{an}中只有有限項(xiàng)為1時(shí)，記al為最后一個(gè)1，那么al的后邊各項(xiàng)的最小值為2，此時(shí)dl=Al-Bl=2-2=0與題設(shè)dn=1相矛盾。所以數(shù)列中有無窮多項(xiàng)為1。綜上三種情況可知，命題獲證。

3.2概率中的分類討論思想

在高中數(shù)學(xué)概率解題當(dāng)中應(yīng)用分類討論思想，可以對問題要求進(jìn)行分類，更好地得到最終的答案。對于高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)當(dāng)中，概率所占的學(xué)習(xí)地位非常重要，也是高考時(shí)的重要考點(diǎn)之一。對于解答概率相關(guān)的問題的時(shí)候，學(xué)生可以對題目當(dāng)中已知的條件進(jìn)行編排，然后學(xué)生在利用分類討論思想研究對象當(dāng)中的變量的可能數(shù)值進(jìn)行假設(shè)，要最終確定合理的選擇。最終，通過分類討論之后，得到最終的結(jié)果，這樣就能夠解決高中數(shù)學(xué)當(dāng)中遇到的概率問題，還能夠更好地節(jié)約時(shí)間以及提高學(xué)生解決問題的效率。

3.3不等式中的分類討論思想

例2：設(shè)k∈N，求滿足不等式|m|+|n|

4分類討論思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用策略

分類討論思想是現(xiàn)在教學(xué)方式中比較先進(jìn)的一種，合理的運(yùn)用可以取得良好的教學(xué)效果，事半功倍，但選擇這類教學(xué)方式需要摒棄其中的一些思想誤區(qū)，并加以完善。第一，將學(xué)生進(jìn)行不同層次與能力的分類分類討論思想應(yīng)該側(cè)重于學(xué)生之間的個(gè)體差異，不應(yīng)側(cè)重于對問題進(jìn)行分類。在進(jìn)行教學(xué)之前，根據(jù)學(xué)生的理解能力、知識掌握程度、獨(dú)立思考能力等進(jìn)行合理分類，仔細(xì)考查每一名學(xué)生的情況，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行問題的總結(jié)分類，確保讓學(xué)生充分掌握的前提下進(jìn)行學(xué)習(xí)。但在進(jìn)行分類時(shí)，確保這種分類形式不帶歧視性眼光，以及足夠的公平公正，同時(shí)到學(xué)生的理解。第二，將相關(guān)性與難度系數(shù)進(jìn)行結(jié)合來分類問題。同一類型的相關(guān)性問題也是有難易之分的，因此，在進(jìn)行歸納分類時(shí)，不能忽略這個(gè)問題。數(shù)學(xué)教師應(yīng)該首先考慮對學(xué)生等級分類，然后再進(jìn)行知識點(diǎn)的分類，最后把已經(jīng)分類的問題按照難度系數(shù)進(jìn)行更加細(xì)化的分類，針對不同學(xué)生進(jìn)行不同的使用類別。

5結(jié)束語

在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，需要將蘊(yùn)涵在數(shù)學(xué)知識背后的數(shù)學(xué)思想方法“挖掘”出來，既要掌握數(shù)學(xué)知識，又要領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法。學(xué)生的分類綜合思維能力的培養(yǎng)需要一個(gè)長期的過程，需要在實(shí)踐和訓(xùn)練中得到發(fā)展，可以通過經(jīng)常性的思維訓(xùn)練去提高學(xué)生的綜合能力。

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