徐志剛

摘? 要：解析幾何是高中數(shù)學(xué)教學(xué)當(dāng)中的重難點(diǎn)內(nèi)容，也是高中數(shù)學(xué)教學(xué)當(dāng)中的重要組成部分之一。解析幾何要求學(xué)生在解題的過程當(dāng)中，能夠以平面直角坐標(biāo)系為基礎(chǔ)，充分利用數(shù)形結(jié)合方法，通過代數(shù)方式來解決問題。除此之外，高中解析幾何的教學(xué)方法要求數(shù)學(xué)教師具備更高的專業(yè)素養(yǎng)和能力。在進(jìn)行解析幾何的教學(xué)之前，教師首先應(yīng)充分理解有關(guān)解析幾何的相關(guān)知識和深刻內(nèi)涵，并充分考慮到學(xué)生的接受能力與學(xué)習(xí)能力，選擇最合適的教學(xué)模式，提升學(xué)生的邏輯思維能力。

關(guān)鍵詞：解析幾何;數(shù)學(xué)教學(xué);高中數(shù)學(xué)

【中圖分類號】G633.6??? 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A?????? 【文章編號】1005-8877（2019）19-0003-02

在新課改后，有關(guān)部門將解析幾何納入了重點(diǎn)教學(xué)內(nèi)容。學(xué)生在剛剛開始學(xué)習(xí)有關(guān)解析幾何的知識時(shí)，首先應(yīng)該掌握圓錐曲線和圓的方法以及在平面直角坐標(biāo)系當(dāng)中怎樣用方程來表達(dá)直線。在掌握了這些代數(shù)的基礎(chǔ)知識之后，學(xué)生才能借助其開展對于幾何問題的進(jìn)一步研究，進(jìn)而深刻領(lǐng)會(huì)數(shù)形結(jié)合思想的重要性。在此基礎(chǔ)之上，學(xué)生便可以熟練掌握方程與曲線之間的關(guān)系，并熟練運(yùn)用三角函數(shù)以及平面向量等知識點(diǎn)。只有做到了上述幾點(diǎn)，才能更好地為通過解析幾何知識解決實(shí)際問題奠定基礎(chǔ)，進(jìn)而提高高中學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率。因此本文將淺談筆者對于解析幾何教學(xué)的一些感悟。

1.高中解析幾何教學(xué)中的數(shù)學(xué)思想

（1）?????? 運(yùn)用坐標(biāo)法解決數(shù)學(xué)難題。高中階段的幾何思想主要體現(xiàn)在運(yùn)用坐標(biāo)法解決數(shù)學(xué)難題上，而要高效運(yùn)用幾何思想應(yīng)該做到以下幾點(diǎn)：第一，正確選擇坐標(biāo)軸;第二，利用代數(shù)與曲面以及曲線之間的關(guān)系和本質(zhì)明確表達(dá)題意;第三，借助代數(shù)知識解答幾何問題。在解題的過程當(dāng)中坐標(biāo)的選擇是其中的重點(diǎn)內(nèi)容。若能選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)軸，可以在很大程度上簡化學(xué)生的分析過程與計(jì)算過程。其中應(yīng)該注意的是，選取不同的坐標(biāo)軸并不會(huì)改變圖形本身的性質(zhì)。以幾何圖形橢圓來說明，例如，一個(gè)圓經(jīng)過橢圓x2/16+y2/4=1的三個(gè)頂點(diǎn)，且圓心在x軸的正半軸上，則求該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。這種題目有坐標(biāo)法是最好的求解方法，首先根據(jù)橢圓的方程可以求出三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，（4，0）、（0，-2）、（0.2），并且圓心在x軸正半軸，設(shè)圓心的坐標(biāo)為（a，0），則圓的半徑為4-a，可以得到（4-a）2=a2+22，那么可以解出a=3/2，所以得到橢圓的方程為（x-3/2）2+y2=25/4。在此題中，主要是通過坐標(biāo)之間的關(guān)系來建立等式，利用圓的半徑均相等來建立恒等式。這三種建立坐標(biāo)系的方法，橫軸的位置并無區(qū)別，主要在于縱軸位置與原點(diǎn)位置的選取。在教學(xué)時(shí)教師可以分別使用這三種方法建立直角坐標(biāo)系，并計(jì)算，引導(dǎo)學(xué)生感受這三種方法在計(jì)算過程當(dāng)中的差異，進(jìn)而幫助學(xué)生深刻領(lǐng)會(huì)到利用直角坐標(biāo)系來解決問題的巧妙作用。

（2）運(yùn)用數(shù)形結(jié)合來解決數(shù)學(xué)難題。高中數(shù)學(xué)解析幾何首先要借助代數(shù)初步了解幾何圖形的表達(dá)方式通過將圖形反映到坐標(biāo)系上，然后將圖形轉(zhuǎn)換成代數(shù)問題進(jìn)行解決，也就是說計(jì)算出圖形的坐標(biāo)方程。例如，兩條平行直線可以通常兩個(gè)方程來求解，判斷解的情況，進(jìn)而判斷直線是否平行，從而將幾何問題轉(zhuǎn)換為代數(shù)問題;再有，通過計(jì)算代數(shù)式，理清代數(shù)與幾何圖形之間的關(guān)系;最后，將所得出的答案轉(zhuǎn)化成為題目所需的幾何問題的答案。例如，求解離心率的問題，已知A，B為雙曲線E的左右頂點(diǎn)，點(diǎn)M在E上，三角形ABM為等腰三角形，且頂角為120°，則求雙曲線E的離心率。解題時(shí)，首先要有清晰的解題思路，然后通過圖形以及坐標(biāo)的方式來求解答案。本題可以通過設(shè)雙曲線的方程為x2/a2-y2/b2=1（a>0，b>0），如下圖所示，AB=BM，角ABM=120°，過點(diǎn)M做MN垂直于x軸，垂足為N，在直角三角形BMN中，BN=a，MN= a，可以得到M點(diǎn)坐標(biāo)為（2a， a），代到雙曲線方程得到c2=2a2。所以求得離心率e=_________________ .

2.高中數(shù)學(xué)解析幾何教學(xué)中的主要問題

（1）?????? 高中生缺乏較強(qiáng)的數(shù)形結(jié)合能力。高中生剛剛接觸復(fù)雜、抽象的幾何問題，因而大多數(shù)高中生都不具備較強(qiáng)的數(shù)形結(jié)合能力，他們在解決幾何問題的時(shí)候無法充分發(fā)掘題目當(dāng)中的隱藏條件，進(jìn)而無法正確畫出題目所需的幾何圖形。多數(shù)學(xué)生在多次讀題后仍然無法正確畫出圖形，進(jìn)而無法順利證明題目所需的條件或者無法求出題目所需的數(shù)值。

（2）?????? 高中生缺乏較強(qiáng)的逆向思維能力。在學(xué)習(xí)有關(guān)解析幾何的內(nèi)容時(shí)，要求學(xué)生具備幾何圖形當(dāng)中的信息轉(zhuǎn)化成為代數(shù)表達(dá)式的能力。這項(xiàng)工作看似只是將相同的條件用兩種不同的方式表達(dá)出來，實(shí)則條件的轉(zhuǎn)換會(huì)直接影響到解題的過程與結(jié)果。我們在高中階段常說的逆向思維是指以代數(shù)知識為基礎(chǔ)，根據(jù)題目所給的條件推算出代數(shù)關(guān)系式。而高中學(xué)生才剛剛接觸到有關(guān)幾何的知識，因而大部分高中生并不具備逆向思維的能力。正是由于逆向思維能力的缺失為學(xué)生學(xué)習(xí)有關(guān)解析幾何的知識帶來了極大的阻礙。

（3）高中生不具備較強(qiáng)的計(jì)算能力。在高中解析幾何當(dāng)中，需要將圖形語言轉(zhuǎn)化成為數(shù)學(xué)語言，且計(jì)算量較大。而高中教師在教學(xué)的過程當(dāng)中大多數(shù)都過于重視學(xué)生思維模式的訓(xùn)練，卻忽視了對于學(xué)生計(jì)算能力的培養(yǎng)，因而大多數(shù)高中學(xué)生都不具備較強(qiáng)的計(jì)算能力。因此在解析幾何教學(xué)過程當(dāng)中常常會(huì)出現(xiàn)學(xué)生思維正確，但是最終計(jì)算結(jié)果錯(cuò)誤的現(xiàn)象，極大降低了學(xué)生解題的正確率。

3.高中數(shù)學(xué)解析幾何中的教學(xué)方法

（1）貫穿數(shù)學(xué)文化，提升學(xué)習(xí)興趣。在高中數(shù)學(xué)過程中，老師要靈活運(yùn)用課本，不能將其作為教學(xué)依賴，應(yīng)豐富其課堂形式，從而培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣?，F(xiàn)階段，在高中教材當(dāng)中有關(guān)解析幾何的教學(xué)內(nèi)容容量較大。比如，在學(xué)習(xí)“平面解析幾何初步”這一章節(jié)的內(nèi)容時(shí)，要求學(xué)生能夠同時(shí)掌握根據(jù)圓解方程、根據(jù)直線解方程以及建立空間直角坐標(biāo)系等多種解題方式。教師在進(jìn)行解析幾何教學(xué)時(shí)應(yīng)巧妙地將數(shù)學(xué)史融合在其中，這樣不僅能夠提升學(xué)生的解題與學(xué)習(xí)能力，還能夠培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)的喜好。比如，老師在講解坐標(biāo)系時(shí)，可以將數(shù)學(xué)史穿插到課堂授課當(dāng)中，可以給學(xué)生講講與坐標(biāo)系相關(guān)的數(shù)學(xué)史，引起學(xué)生學(xué)生興趣。老師可以在講解該章節(jié)的內(nèi)容之前先查閱一些有關(guān)笛卡爾的事跡以及思想。在正式上課之前先給學(xué)生普及這些小知識數(shù)學(xué)故事，從而激發(fā)學(xué)生對解析幾何的學(xué)習(xí)熱情與興趣。

（2）強(qiáng)調(diào)坐標(biāo)地位，熟練建立坐標(biāo)。高中學(xué)生在學(xué)習(xí)有關(guān)解析幾何的內(nèi)容時(shí)，平面直角坐標(biāo)系的建立會(huì)在其中起到非常重要的作用。這是因?yàn)榻⒅苯亲鴺?biāo)系可以將代數(shù)和幾何這兩個(gè)毫無關(guān)系的數(shù)學(xué)元素結(jié)合起來，取長補(bǔ)短，進(jìn)而有效解決數(shù)學(xué)難題。此外，高中學(xué)生最先是通過直角坐標(biāo)系來理解幾何圖形的，因而教師在進(jìn)行解析幾何教學(xué)時(shí)應(yīng)強(qiáng)調(diào)坐標(biāo)系的重要性，教師在教學(xué)時(shí)可以從以下幾個(gè)方面入手：首先，教師在講述該章節(jié)的內(nèi)容時(shí)一定要強(qiáng)調(diào)坐標(biāo)系對于解析幾何的重要性，并明確建立直角坐標(biāo)系和解題的具體步驟，幫助學(xué)生明確思路，建立解題框架。一是，學(xué)生在拿到題目之后應(yīng)該先審題，然后根據(jù)題意和幾何圖形的性質(zhì)建立合適的直角坐標(biāo)系，并借助方程式或者是坐標(biāo)軸將幾何圖形中的條件用代數(shù)式表達(dá)出來。二是，學(xué)生要用課本上所講到的代數(shù)知識解答代數(shù)問題，并得出正確的答案。三是，學(xué)生應(yīng)合理分析代數(shù)結(jié)果，最后將其與幾何圖形的基本性質(zhì)相結(jié)合，得出最終的結(jié)論。

其次，教師在講授解析幾何章節(jié)內(nèi)容時(shí)應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想，并引導(dǎo)學(xué)生使用數(shù)形結(jié)合的思想解決幾何問題。只有這樣學(xué)生在遇到復(fù)雜的幾何問題時(shí)才會(huì)明確思路，通過建立直角坐標(biāo)系來解決該類題型，進(jìn)而讓學(xué)生領(lǐng)會(huì)到使用坐標(biāo)法解決幾何問題的簡易型和高效性。比如，在證明三角形或者四邊形的性質(zhì)時(shí)，單純地依靠幾何當(dāng)中的定理與性質(zhì)是很難得出正確答案的，這個(gè)時(shí)候就需要學(xué)生建立直角坐標(biāo)系，采用代數(shù)的方法來證明，可以極大提高解題效率。例如，若雙曲線的方程為x2/a2-y2/b2=1（a>0，b>0）的一條漸近線唄圓（x-2）2+y2=4的弦長為2，求曲線C的離心率。在求解本題時(shí)，可以通過坐標(biāo)系來求解，可以在坐標(biāo)系中畫出圓的方程，然后通過一直關(guān)系來構(gòu)造等式。由幾何關(guān)系可以得到x2/a2-y2/b2=1（a>0，b>0），雙曲線的漸近線方程為bx+ay=0或bx-ay=0，圓心的坐標(biāo)為（2，0），到漸近線的距離為 ，則點(diǎn)（2，0）到漸近線bx+ay=0的距離為2b/c= ，則c2=4a2，，所以求得離心率e為2

（3）注重引發(fā)思考，提升思考能力。數(shù)形結(jié)合思想是在解析幾何教學(xué)當(dāng)中常用的思維模式，但高中學(xué)生想要培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的思維模式若是僅僅依靠教師的課堂講解是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，更重要的是學(xué)生應(yīng)該樹立主動(dòng)思考的意識。學(xué)生在仔細(xì)審題并獨(dú)立思考之后提取題目當(dāng)中抽象化的知識點(diǎn)，然后借助所提取的這些信息解決幾何問題，并通過練習(xí)大量的幾何難題培養(yǎng)屬于自己的獨(dú)特的思維模式和解題思路。因此教師在講述解析幾何章節(jié)內(nèi)容時(shí)應(yīng)正確引導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考的能力，并將教材當(dāng)中的知識點(diǎn)轉(zhuǎn)化成問題，根據(jù)教學(xué)進(jìn)度逐條提出這些問題，引導(dǎo)學(xué)生自主思考、尋求答案，最終找到解題的新思路、新方法。

（4）關(guān)注學(xué)生特點(diǎn)，安排針對教學(xué)。從學(xué)生本身來說，每一道數(shù)學(xué)題都會(huì)包含多個(gè)不同的數(shù)學(xué)知識點(diǎn)。若是將這些知識點(diǎn)區(qū)分開來，分條講解，學(xué)生大多都能熟練掌握并學(xué)會(huì)運(yùn)用，但若是將這些知識點(diǎn)綜合在一起，學(xué)生將會(huì)無法區(qū)分進(jìn)而出現(xiàn)解題障礙。所以高中教師在開展數(shù)學(xué)教學(xué)的時(shí)候不能強(qiáng)行灌輸，而應(yīng)結(jié)合實(shí)際情況，根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力與接受能力，按照順序依次將這些問題拋出來，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生解決數(shù)學(xué)難題的綜合能力。

4.結(jié)束語

綜上所述：在高中數(shù)學(xué)教學(xué)的過程當(dāng)中解析幾何占據(jù)著異常重要的地位。由于本文篇幅有限，并不能詳細(xì)列出所有的教學(xué)方法，還有很多教學(xué)方法是筆者未寫道的、未發(fā)現(xiàn)的，還等著高中數(shù)學(xué)教師在日常教學(xué)當(dāng)中不斷創(chuàng)新、深入探索。為了進(jìn)一步提高高中數(shù)學(xué)的教學(xué)質(zhì)量，幫助學(xué)生更好地掌握解析幾何這個(gè)難點(diǎn)內(nèi)容、提高高中學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力、應(yīng)用能力，高中數(shù)學(xué)教師還應(yīng)不斷完善自己，提高自己的專業(yè)能力與素養(yǎng)，提升自己的數(shù)學(xué)能力為解析幾何教學(xué)提升貢獻(xiàn)自己的力量。

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