陳小慶

【摘要】高考中，“帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)”往往是學(xué)生比較害怕的問(wèn)題，其中有一類(lèi)很常見(jiàn)的題目，很多資料上命名為“放縮圓”問(wèn)題.本文總結(jié)了學(xué)生比較容易接受的標(biāo)準(zhǔn)解題步驟，并且把“放縮圓”問(wèn)題細(xì)分成兩類(lèi)，在做題的時(shí)候要認(rèn)真區(qū)分，否則很容易出錯(cuò)。

【關(guān)鍵詞】帶電粒子;勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng);放縮圓

帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，這一節(jié)的知識(shí)在高考中既是重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，對(duì)學(xué)生的物理和數(shù)學(xué)能力都有較高的要求，往往學(xué)生面對(duì)這一節(jié)的題目會(huì)產(chǎn)生畏懼心理。其中有一類(lèi)比較常見(jiàn)的題目，很多資料上命名為“放縮圓”，或者“膨脹圓”問(wèn)題。

一、什么是“放縮圓”問(wèn)題？

我們先來(lái)看一個(gè)例題1：如圖，寬度為d，足夠長(zhǎng)的帶狀區(qū)域內(nèi)有垂直于直面向內(nèi)的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，帶電量+q，質(zhì)量m的粒子以垂直于左邊界的速度進(jìn)入磁場(chǎng)，磁感強(qiáng)度大小為B，不計(jì)粒子重力，則粒子速度大小滿(mǎn)足什么條件時(shí)，能夠從右邊界穿出？

分析：粒子進(jìn)磁場(chǎng)后，受到向上的洛倫茲力，若速度比較小，則圓周運(yùn)動(dòng)的半徑也比較小，由于初速度與左邊界垂直，所以粒子在磁場(chǎng)中劃出一個(gè)半圓后，從左邊界穿出。若初速度大一點(diǎn)，則圓周半徑也大一點(diǎn)，于是可以畫(huà)出一系列的圓弧，容易看出，當(dāng)圓周半徑大到一定程度時(shí)，粒子才能從右邊界穿出。圖中有一個(gè)半圓用加粗線(xiàn)表示，這是粒子從左邊界穿出和從右邊界穿出的一個(gè)臨界值。這個(gè)臨界圓的半徑等于磁場(chǎng)兩邊界間距d，對(duì)應(yīng)粒子速度大小為，所以當(dāng)粒子速度大于這個(gè)值的時(shí)候，粒子就會(huì)從右邊界穿出。

從這個(gè)例題可以總結(jié)出所謂“放縮圓”問(wèn)題：帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，磁場(chǎng)保持不變，粒子速度方向不變而速度大小改變，導(dǎo)致粒子軌跡圓弧半徑隨之而改變。

二、“放縮圓”問(wèn)題的特點(diǎn)

這類(lèi)問(wèn)題有著幾個(gè)共同特點(diǎn)：

①由于粒子初速度方向不變，所有放縮圓的圓心都在同一條直線(xiàn)上，這條直線(xiàn)與初速度垂直。

②粒子運(yùn)動(dòng)的圓軌跡半徑R=，所以半徑與粒子初速度大小成正比，也就是說(shuō)初速度越大，軌跡半徑越大。

③粒子運(yùn)動(dòng)的周期T=，與粒子速度無(wú)關(guān)，所以粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t只取決于軌跡對(duì)應(yīng)的圓周角。

三、求解“放縮圓”問(wèn)題的基本步驟

第一步，用左手定則畫(huà)出粒子進(jìn)磁場(chǎng)時(shí)所受洛倫茲力的方向，所有放縮圓的圓心都在該力的方向上，不至于搞錯(cuò)圓心位置，以及粒子偏轉(zhuǎn)方向。第二步，畫(huà)出一系列半徑不同的圓.第三步，找出符合題目條件的臨界圓。第四步，找?guī)缀侮P(guān)系，列出方程，求解。

例題2：如圖，一足夠長(zhǎng)的矩形區(qū)域abcd內(nèi)充滿(mǎn)方向垂直紙面向里的、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，在ad邊中點(diǎn)，方向垂直磁場(chǎng)向里射入一速度方向跟ad邊夾角θ= 30°、大小為v0的帶正電粒子，已知粒子質(zhì)量為m，電量為+q，ad邊長(zhǎng)為L(zhǎng)，ab邊足夠長(zhǎng)，粒子重力不計(jì)，求：粒子能從ab邊上射出磁場(chǎng)的速度v0大小范圍。

分析：先畫(huà)出洛倫茲力方向，再畫(huà)一系列圓，很容易確定出兩個(gè)臨界圓（左上圖實(shí)線(xiàn)圓），分別與上邊界和下邊界相切.這些都是畫(huà)在草稿紙上的，而只在試卷上留下兩個(gè)臨界圓（如由上圖）。由幾何關(guān)系列方程：600，600

得到，

結(jié)合得到兩個(gè)臨界速度大小為，

所以滿(mǎn)足條件的粒子速度為。

四、放縮圓的時(shí)間

粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t= T，其中θ指的是粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡圓弧對(duì)應(yīng)的圓心角，T是粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的周期，由于放縮圓的周期都一樣，所以粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間僅僅取決于圓心角。

再回到剛才的例題2，增加一個(gè)問(wèn)題：如果粒子從不同邊界飛出，則粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間分別在什么范圍內(nèi)？

粒子可能從左邊界，上邊界，或者下邊界穿出。如果從左邊界穿出，則圓心角都相同，都是300°，則時(shí)間是個(gè)定值：T;如果從上邊界穿出，則圓心角介于150°到240°之間，則時(shí)間介于T到T之間;如果從下邊界穿出，則圓心角小于60°，時(shí)間小于T。

五、另一類(lèi)放縮圓問(wèn)題

如果粒子速度v0不變，僅改變磁感強(qiáng)度的大小，這種情況造成的粒子圓半徑變化稱(chēng)為第二類(lèi)放縮圓問(wèn)題.這種放縮圓問(wèn)題有兩個(gè)特點(diǎn)：

①軌跡圓半徑R與磁感強(qiáng)度大小成反比，磁感強(qiáng)度變小時(shí)，軌跡圓隨之而膨脹。

②由于磁感強(qiáng)度發(fā)生了變化，導(dǎo)致粒子圓周運(yùn)動(dòng)的周期也隨之而改變，所以粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間不僅僅取決于圓心角，還取決于周期。

平時(shí)常見(jiàn)的放縮圓問(wèn)題都是由于粒子初速度大小改變而引起的半徑變化，也有少數(shù)時(shí)候磁場(chǎng)變化引起半徑變化，一般學(xué)生都沒(méi)有注意到兩者是有區(qū)別的。這兩類(lèi)放縮圓問(wèn)題如果只是涉及到粒子的軌跡，那么做題步驟沒(méi)有什么區(qū)別，但如果涉及到粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，就要非常小心了，因?yàn)榇艌?chǎng)變化不僅僅導(dǎo)致圓半徑變化，也會(huì)導(dǎo)致粒子周期改變。

其實(shí)做第二類(lèi)放縮圓問(wèn)題的時(shí)候，周期用另一個(gè)公式會(huì)更方便：T=，由于粒子的速度大小不變，所以粒子的周期正比于圓半徑。另外，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t=，其中l(wèi)是粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡弧長(zhǎng)，用這樣兩個(gè)公式做第二類(lèi)放縮圓的問(wèn)題，更加直觀(guān)和方便。

再回到剛才的例題2，假如題目改為粒子的速度大小v不變，而磁感強(qiáng)度大小發(fā)生變化而導(dǎo)致放縮，那么從左邊界穿出的粒子，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是個(gè)定值，還是個(gè)范圍呢？

在這種情況下，從左邊界飛出的粒子，雖然它們?cè)诖艌?chǎng)中運(yùn)動(dòng)的圓心角都一樣，但是周期卻都不同了，那么時(shí)間就不再是個(gè)定值，而是個(gè)范圍。由于粒子的速度大小不變，所以時(shí)間正比于粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡弧長(zhǎng)，很容易看出，最長(zhǎng)的弧就是與上邊界相切的，上面已經(jīng)求出這種情況下的半徑R=，所以從左邊界飛出的粒子，時(shí)間小于。

總結(jié)一下，帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，一直都是高中物理的一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)問(wèn)題，本文分析了常見(jiàn)的一種情況。有不少資料上分析過(guò)放縮圓問(wèn)題，但基本上都是講粒子速度大小改變而導(dǎo)致的圓半徑改變，很少有講到磁場(chǎng)變化引起的放縮，這兩種情況在計(jì)算粒子軌跡的時(shí)候方法類(lèi)似，但涉及到粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間的時(shí)候，就一定要非常小心了。

參考文獻(xiàn)：

[1]嚴(yán)江勇，盧巧玲.利用動(dòng)態(tài)圓巧解帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的極值問(wèn)題[J].中學(xué)物理教學(xué)參考，2010（3）：32-34.

[2]明翔宇.巧用幾何畫(huà)板動(dòng)態(tài)分析磁場(chǎng)“縮放圓”和“旋轉(zhuǎn)圓”問(wèn)題[J].物理教學(xué)探討：中學(xué)教學(xué)教研版，2017（35）：54.

[3]奚發(fā)建.淺談如何利用動(dòng)態(tài)圓來(lái)處理帶電粒子在電磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題[J].新課程（中學(xué)），2017（4）.