王守峰 趙金星

摘要：伴隨矩陣法是矩陣求逆的兩種基本方法之一.本文從培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力和創(chuàng)新意識(shí)的角度，給出了矩陣求逆的“伴隨矩陣法”的一個(gè)較為自然的講授設(shè)計(jì).

關(guān)鍵詞：矩陣;矩陣的逆;伴隨矩陣

中圖分類號(hào)：O151.2 ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ?文章編號(hào)：1673-260X（2019）12-0008-02

1 引言

矩陣?yán)碚撌蔷€性代數(shù)的重要內(nèi)容之一，而可逆矩陣是一類重要的特殊矩陣.如何判斷一個(gè)矩陣可逆？如何求可逆矩陣的逆矩陣？現(xiàn)行的高等代數(shù)教材，例如文獻(xiàn)[1-4]，一般介紹兩種方法，即伴隨矩陣法和初等變換法，文獻(xiàn)[5]還討論了伴隨矩陣的原矩陣的問(wèn)題.本文主要探討矩陣求逆的“伴隨矩陣法”的講授方法和講授設(shè)計(jì).在當(dāng)前的教材中，這一內(nèi)容的講授設(shè)計(jì)大致如下：首先提出可逆矩陣的定義，然后定義方陣A的伴隨矩陣A*最后利用行列式按行按列展開(kāi)式證明如下事實(shí)：方陣A可逆當(dāng)且僅當(dāng)|A|≠0，此時(shí)有A-1=A*.

上述講授設(shè)計(jì)，論證上嚴(yán)密的，邏輯上是清晰的.但仔細(xì)考慮的話，會(huì)給人一種不太自然的感覺(jué).例如，如何想到利用方陣的各元素的代數(shù)余子式來(lái)定義其伴隨矩陣？這一問(wèn)題對(duì)剛剛接觸高等代數(shù)的大一新生來(lái)說(shuō)是有疑惑的.因此，設(shè)計(jì)一個(gè)讓初學(xué)者感到自然的講授模式是必要和有益的.本文的目的是給出筆者在講授矩陣求逆的“伴隨矩陣法”時(shí)經(jīng)常用的一個(gè)較為自然的講授設(shè)計(jì).

2 一個(gè)講授設(shè)計(jì)

在現(xiàn)行教材中（例如文獻(xiàn)[1-4]），一般是先講方程組的Cramer法則，然后再講逆矩陣.基于這一事實(shí)，可以對(duì)矩陣求逆的“伴隨矩陣法”的講授作一個(gè)較為自然的設(shè)計(jì).首先回憶Cramer法則.

以下給出矩陣求逆的“伴隨矩陣法”的一個(gè)講授設(shè)計(jì).首先，通過(guò)類比，引入可逆矩陣的概念.容易看出，求解一元一次方程ax=b的本質(zhì)是找數(shù)字c使得ca=1，此時(shí)就有x=cg.類比這一事實(shí)，對(duì)任意n階方陣A，B，若存在n階方陣C使得CA=E（AC=E），則可解矩陣方程AX=B（XA=B），此時(shí)有X=CB（X=BC）.容易看出，并不是對(duì)任意n階方陣A，都存在矩陣C使得CA=E=AC.于是，有必要引入以下概念：稱方陣A可逆，若存在矩陣C使得CA=E=AC.容易驗(yàn)證，若方陣A可逆，則其逆唯一，記之為A-1.一個(gè)自然的問(wèn)題是，如何判斷一個(gè)方陣是否可逆？可逆時(shí)如何求起逆？先從探索必要條件開(kāi)始.設(shè)A可逆.則AA-1=E.兩邊取行列式知|A||A-1|=1.這表明矩陣可逆的必要條件是其行列式不等于零.行列式不等于零是否是其可逆的充分條件呢？設(shè)|A|≠0，A=（aij）n×n.我們想知道，能否找到方陣X=（xij）n×n使得AX=E=XA.設(shè)AX=E.則有

參考文獻(xiàn)：

〔1〕王萼芳，石生明.高等代數(shù)[M].3版.北京：高等教育出版社，2013.268-269.

〔2〕郭聿琦，岑嘉評(píng)，王正攀.高等代數(shù)教程[M].北京：科學(xué)出版社，2014.90-91.

〔3〕姚慕生，吳泉水，謝啟鴻.高等代數(shù)學(xué)[M].3版.上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，2014.71-75.

〔4〕丘維聲.高等代數(shù)[M].2版.北京：高等教育出版社，2002.128-129.

〔5〕黃艷寧，胡志廣.實(shí)伴隨矩陣的原矩陣[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2015，31（4）：87-89.