馬明霞

眾所周知，近幾年高考正在由能力立意向核心素養(yǎng)導(dǎo)向轉(zhuǎn)變，如何在高三復(fù)習(xí)課中落實(shí)核心素養(yǎng)？這就要改變課堂的教學(xué)方法與學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，凸顯學(xué)生的主體地位。而高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的一貫?zāi)Ｊ街粫寣W(xué)生處于題海之戰(zhàn)的疲憊狀態(tài)，久而久之，一些學(xué)生對數(shù)學(xué)失去興趣，更談不上核心素養(yǎng)的提升與落實(shí)。究其因，題型雜而無形，方法零散不能融會貫通。面對這一現(xiàn)狀，筆者在一次復(fù)習(xí)課上，作了如下探究性教學(xué)嘗試。

問題：已知拋物線 的焦點(diǎn)為 ， 為拋物線上兩動點(diǎn)，且 ，過 兩點(diǎn)分別作拋物線的切線，設(shè)交點(diǎn)為 。

（1）證明： 為定值；（2）略。

1.問題的分析與求解

圓錐曲線問題是每年高考必考內(nèi)容，又是學(xué)生復(fù)習(xí)的難點(diǎn)，題目一給出，學(xué)生開始畫圖分析，試圖盡快得出答案。思考之后，初步探索出解題思路。

生1：可先特殊化，當(dāng) 時(shí)， ，得 =0.實(shí)質(zhì)是證明 =0.

師：由特殊向一般過渡，這種分析問題的思路很好，關(guān)鍵如何做一般性證明？

同學(xué)們都紛紛演算，片刻后。

生2：設(shè)出 兩點(diǎn)坐標(biāo)，由 ，用 可表示 兩點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系（思索），想辦法求出 點(diǎn)坐標(biāo)，利用數(shù)量積證明。

師：那你怎樣求出 點(diǎn)坐標(biāo)？

生2：設(shè)拋物線兩切線方程并聯(lián)立，求 點(diǎn)坐標(biāo)。

教室內(nèi)展開激烈討論。

生3：設(shè)切線方程還得求斜率，由 知 是一個(gè)二次函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)法求曲線上點(diǎn) 處切線斜率，從而寫切線方程，聯(lián)立兩切線方程求 點(diǎn)坐標(biāo)。

師：生3分析的很好，請這位同學(xué)上黑板板書過程。

生3：證明：由題意 設(shè) ，由 得，

，

將（1）式兩邊平方并把 代入得：

解（2），（3）式得： ，且有： 。

拋物線方程為 ， ，

所以過 兩點(diǎn)的拋物線的切線方程分別為：

，

聯(lián)立求解得 點(diǎn)坐標(biāo)為 ，

=（ ，

故 =0.

生4：老師，我由 看出 共線，這樣可設(shè)過焦點(diǎn)的直線方程求解 坐標(biāo)關(guān)系。

師：生4說的對，可以拋開 來證明 =0.

生4：由 知 共線，設(shè)過焦點(diǎn) 的直線方程為：

由 ，設(shè) ，則 。

求 點(diǎn)坐標(biāo)與生3相同，即 ，以下證明與生3同。

師：這位同學(xué)分析很精彩，將直線與圓錐曲線的常規(guī)解法引用進(jìn)來，韋達(dá)定理用的很巧妙。

生5：老師生4解答不完整，對直線斜率不存在的情形未分析。

我結(jié)合學(xué)生的討論，對解題中的細(xì)節(jié)做了重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)，并指出同學(xué)們易忽視的問題。接著針對

這道題的求解提出如下問題：

（1）根據(jù)本題，對拋物線 ，兩切線交點(diǎn) 的坐標(biāo)是？點(diǎn) 的位置？

（2）直線 與 的位置關(guān)系如何？

（3）探究 是否為定值？

（4）此問題結(jié)論是什么？對其他形式的拋物線成立嗎？

在學(xué)生自主探究，討論反思的基礎(chǔ)上，得到答案。

生6：（1）點(diǎn) 的坐標(biāo)是 ，點(diǎn) 在拋物線的準(zhǔn)線上；

（2）由上述解題易證 ；（略）

（3）在上面題目中， =-3，對拋物線 ， ；

（4）結(jié)論：過拋物線 焦點(diǎn) 的直線交拋物線于 兩點(diǎn)，過 兩點(diǎn)作拋物線的切線，兩切線相交于點(diǎn) ，則：

①點(diǎn) 在準(zhǔn)線上；② =0.；③ ；④ ；⑤結(jié)論對其他形式拋物線也成立。

師：總結(jié)很到位，在高三復(fù)習(xí)中就應(yīng)該象這樣去分析每一道試題，才有收獲。我趁機(jī)提出本節(jié)課復(fù)習(xí)的一個(gè)知識點(diǎn)――――拋物線焦點(diǎn)弦的性質(zhì)。

2.拋物線焦點(diǎn)弦性質(zhì)探究

2.1提出問題串，創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)情景

設(shè) 是拋物線 的焦點(diǎn)弦，且 ，

問題1 ？， ？

問題2 弦長 =？，若已知直線 的傾斜角為 ，則弦長 =？

問題3 三角形 的面積怎樣表示？

問題4 能否為定值？

問題5 以弦 為直徑的圓與準(zhǔn)線的位置關(guān)系是怎樣的？

問題6 以焦半徑 或 為直徑的圓與 軸的位置關(guān)系怎樣？

問題7 記 兩點(diǎn)在準(zhǔn)線上的身影為 兩點(diǎn)，則

問題8 以 為直徑的圓與弦 的切點(diǎn)是？

對于這些問題，學(xué)生熱情很高，在前面問題解答的基礎(chǔ)上，有些學(xué)生化一般為特殊，有些學(xué)生設(shè)方程聯(lián)立，有些學(xué)生用幾何方法，同學(xué)們相互討論，相互交流，自主探究，逐步形成了自己的思維方法，提高了分析問題和解決問題的能力。

2.2反思結(jié)論，歸納總結(jié)

在學(xué)生探索證明的基礎(chǔ)上，我叫個(gè)別學(xué)生講述了證明思路（略）并總結(jié)拋物線焦點(diǎn)弦性質(zhì)。

生7：性質(zhì)：（1） ， ；

（2） 為直線 的傾斜角）；

（3） （ 為直線 的傾斜角）；

（4） 為定值 ；

（5）以弦 為直徑的圓與準(zhǔn)線相切；

（6）以焦半徑 或 為直徑的圓與 軸相切；

（7） ；

（8）以 為直徑的圓切 于點(diǎn) 。

從一道高考試題筆者引導(dǎo)學(xué)生探討了與拋物線焦點(diǎn)弦有關(guān)的問題，作為復(fù)習(xí)，時(shí)間有限，到此已經(jīng)很完美了，可學(xué)生問題又來了。

生8：把上面題中拋物線換成橢圓，兩切線的交點(diǎn) 好像也在準(zhǔn)線上，且 =0，是不是這個(gè)結(jié)論對三種圓錐曲線都成立呢？

師：既然有同學(xué)把這個(gè)問題提出來，咱們一起探究吧。

3.拓展延伸

師：我們以橢圓為例證明，設(shè)橢圓 ，過右焦點(diǎn) 的直線與橢圓交于 兩點(diǎn)，過 兩點(diǎn)分別作橢圓的切線，設(shè)交點(diǎn)為 。試證：點(diǎn) 在準(zhǔn)線上，且 =0。

生9：結(jié)論成立，但拋物線方程 表示函數(shù)，可用導(dǎo)數(shù)法求切線斜率，而橢圓 表示的不是函數(shù)關(guān)系，這類問題以前沒見過，太難不會證啊。

一些同學(xué)陷入了深深的思考中，一些同學(xué)想通過直線與橢圓相切的條件化簡，但半途而廢。

師：能不能將方程 變成函數(shù)關(guān)系？

生3：可以，依然用拋物線中的方法研究，就是運(yùn)算量大些（部分學(xué)生有一定的類比遷移能力，但還需要引導(dǎo)與培養(yǎng)）。

在生3的提示下，同學(xué)們開始揮筆運(yùn)算了，個(gè)別學(xué)生還在鉆研自已的方法，幾分鐘后，生5上黑板證明。

生5：證明：由 ，

當(dāng) 時(shí)， ，① ，

當(dāng) 時(shí)， ，② ，

不妨設(shè) ，則過 兩點(diǎn)的橢圓的切線方程分別為：

，即 ；

，即 。

聯(lián)立兩方程解得： ，③

運(yùn)算到此，生5頓感式子很繁瑣，看不出結(jié)果，有些喪氣，看到學(xué)生能有如此運(yùn)算能力，我很欣慰，及時(shí)給予鼓勵(lì)，同時(shí)，生3給他幫助。

生3：由 共線得， ，有 ，④

將①②④式代入③作如下轉(zhuǎn)化：

，

（教室掌聲四起，生3的這種靈活轉(zhuǎn)化，使得點(diǎn) 的位置關(guān)系一目了然。）

點(diǎn)在右準(zhǔn)線上。

，

。命題得證。

師：這道題的解答充分展示了我們同學(xué)有能力學(xué)好解析幾何，也表現(xiàn)出同學(xué)們強(qiáng)有力的分析解決問題，探究問題的能力。

學(xué)生們熱情不減，還得出在橢圓里， 與 一般情況不垂直等結(jié)論。

生10：（總結(jié)）設(shè)橢圓 ，過右焦點(diǎn) 的直線與橢圓交于 兩點(diǎn)，過 兩點(diǎn)分別作橢圓的切線，設(shè)交點(diǎn)為 。則：

（1） 點(diǎn)在右準(zhǔn)線上；（2） =0；（3） 與 一般情況不垂直。

生11：可以用同樣的方法研究在雙曲線中的情形。

師：同學(xué)們已掌握了解題方法，下去自己總結(jié)歸納。

4.再思考與提升

為進(jìn)一步拓展學(xué)生的發(fā)散思維，，也為不斷提升其核心素養(yǎng)，提出以下問題供學(xué)生繼續(xù)探究：

（1）過拋物線 上任意兩個(gè)動點(diǎn) 的直線，若滿足 ，則動直線 恒過定點(diǎn)_____。

（2）對橢圓 與雙曲線 又分別恒過定點(diǎn)_____。

課程進(jìn)行到此，同學(xué)們紛紛驚嘆試卷中的解析幾何試題都能解決了，總結(jié)出問題的多樣性和解法的相對穩(wěn)定性的結(jié)論。至此，同學(xué)們對 “定值定點(diǎn)”問題的分析方法和解題思路都能基本掌握。

5.教學(xué)反思

（1）本節(jié)課以問題為導(dǎo)向，通過學(xué)生的自主性學(xué)習(xí)，對圓錐曲線中“定值定點(diǎn)”作了初步探討，教學(xué)過程的組織尚存不足，但學(xué)生興趣濃厚，對解析幾何交匯處的問題形成解題思路，不僅從方法上給予指導(dǎo)，而且從不同的角度落實(shí)邏輯推理素養(yǎng)，數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，對學(xué)生所學(xué)的知識進(jìn)行了鞏固與提升，達(dá)到一定的效果。最重要的是學(xué)生體會到高三的復(fù)習(xí)不是機(jī)械的記憶與接受，要對已學(xué)的知識與經(jīng)驗(yàn)實(shí)施“深加工”，使之更進(jìn)一步充實(shí)、完善、提高方能進(jìn)入最佳應(yīng)試狀態(tài)。

（2）對老師而言，我們不可忽視課堂是提升核心素養(yǎng)的主渠道，基于問題驅(qū)動的課堂才是真正的數(shù)學(xué)課堂。課堂上不僅選題要精，同時(shí)要精心設(shè)計(jì)具有啟發(fā)性的問題。引導(dǎo)學(xué)生合理復(fù)習(xí)，最大限度調(diào)動其主觀能動性。力求通過不同形式的自主學(xué)習(xí)和探究活動，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，不僅使其綜合能力得到提升，又使數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)得以落實(shí)，從而更好的培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力。

參考文獻(xiàn)：

[1] 羅增儒.基于核心素養(yǎng)的教學(xué)研修.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上旬），2018（9）.

[2] 馬佑軍.基于核心素養(yǎng)的問題探究歷程.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上旬），2018（7）.

（作者單位：寶雞中學(xué)）