摘要：為了得到更高精度的GPS衛(wèi)星在任意時刻的位置信息，需要利用合適的數(shù)學模型去內(nèi)插精密星歷。首先，說明廣義延拓逼近法、拉格朗日多項式插值法及切比雪夫擬合法的原理，然后分別利用這三種方法處理GPS精密星歷，通過對比分析三種方法所得結(jié)果誤差的最大值與平均值發(fā)現(xiàn)：使用廣義延拓逼近法所得結(jié)果的精度略高于拉格朗日多項式插值法和切比雪夫多項式擬合法。

關鍵詞：廣義延拓逼近法;GPS衛(wèi)星;精密星歷;內(nèi)插精度分析

中圖分類號：P228.4 文獻標志碼：A

Abstract： In order to obtain higher-precision position information of GPS satellites at any time， it is necessary to use proper mathematical models to interpolate the precise ephemeris. Firstly， the principles of generalized extended approximation method， Lagrange polynomial interpolation method and Chebyshev fitting method are explained. Then， these three methods are used to process GPS precise ephemeris respectively. The maximum and average values of the error results of the three methods are compared and analyzed. It is found that the results precision of generalized extended approximation is a little higher than that of Lagrange polynomial interpolation method and Chebyshev polynomial fitting method.

Key words： generalized extended approximation method; GPS satellites; precise ephemeris; interpolation precision analysis

0? 引言

在處理GPS衛(wèi)星定位數(shù)據(jù)時，常需要任意時刻的衛(wèi)星坐標，但是其精密星歷僅提供15min或5min時間間隔的離散衛(wèi)星坐標，因此需要插值法和擬合法對精密星歷進行內(nèi)插處理，這兩類方法都有自身的優(yōu)勢和不足。常用的插值法和擬合法分別為Lagrange多項式插值法和切比雪夫多項式擬合法。

本文將獲取的GPS精密星歷作為原始數(shù)據(jù)，采用另一種結(jié)合了插值法與擬合法特點的數(shù)學方法——廣義延拓逼近法，分別采用該法與Lagrange多項式插值法、切比雪夫多項式擬合法對1顆GPS衛(wèi)星精密星歷內(nèi)插，將內(nèi)插結(jié)果與已知數(shù)據(jù)對應求差，并統(tǒng)計誤差結(jié)果的最大值與平均值，以此研究該法相對于插值法和擬合法是否具有更高的插值精度。

4? 滑動式插值算法

所謂滑動式算法，就是通過不斷地移動插值區(qū)間，使待插值點始終位于插值區(qū)間的中心。例如采用Lagrange多項式插值法，第一次選取插值點1～10 ，構(gòu)造9 階的Lagrange多項式 ，則待插值點處于第5個和第6個插值點之間;第二次選取插值點2～11，構(gòu)造9 階的Lagrange多項式，則待插值點處于第6個和第7個插值點之間。在本文中，三種插值方法均采用滑動式。

5? GPS精密星歷算例分析

從網(wǎng)址ftp：//cddis.gsfc.nasa.gov/pub/gps/products/下載了2018年 12月29日的GPS精密星歷文件，該文件包含了32顆MEO衛(wèi)星，并以15min為采樣時間間隔，其采樣區(qū)間為0：0：0～23：45：0。將時的衛(wèi)星坐標作為已知的插值節(jié)點，分別采用滑動式廣義延拓逼近法、滑動式Lagrange多項式插值法、滑動式切比雪夫多項式擬合法內(nèi)插出時的衛(wèi)星坐標 ，并與精密星歷中的衛(wèi)星坐標對應求差，統(tǒng)計誤差最大值和平均值，從而分析插值精度。

本算例隨機選取了其中的1號GPS衛(wèi)星的精密星歷進行內(nèi)插處理分析。表1、表2、表3分別是利用廣義延拓逼近法、Lagrange多項式插值法、切比雪夫多項式擬合法對1號GPS衛(wèi)星精密星歷內(nèi)插的結(jié)果，因文章空間限制，表1，表2，表3中僅列舉部分有代表性的統(tǒng)計結(jié)果。

由表1知，r，t，s有許多不同組合，取值不同的r，t，s，其插值精度也有所不同。當r，t，s的值較小時，例如當r=2，t=3，s=4時，誤差最大值達千米級，插值精度非常差。隨著r，t，s取值的增大，在一定范圍內(nèi)誤差隨之減小，當r=14，t=22，s=23，插值精度達到最高，這時X，Y，Z坐標誤差最大值分別為3.3mm，6.5mm，2.9mm，平均值分別為0.6mm，0.9mm，0.6mm。此后再增加r，t，s的值，插值精度反而會降低，即存在使插值精度最高的最優(yōu)r，t，s組合值。

表2中，插值多項式階數(shù)較小時，誤差比較大，隨著階數(shù)的增加，其插值精度隨之提高。當階數(shù)為12時，誤差最大值均達到毫米級，插值精度相對比較高。插值精度最高時的X，Y，Z坐標誤差最大值分別為4.1mm，6.1mm，2.5mm。階數(shù)達到23后再提高階數(shù)，其插值精度并沒有很明顯提高。

表3中同樣可看出，當擬合多項式階數(shù)較小時，誤差較大，在一定范圍內(nèi)，增加擬合多項式的階數(shù)會提高擬合精度，當階數(shù)為12時，誤差最大值均達毫米級，但是階數(shù)增大到一定程度后，誤差反而會增大，擬合精度降低。當X，Y，Z坐標誤差最大值分別為4.2mm，6.2mm，2.6mm時，插值精度相對最高，此時階數(shù)達到27左右。這時，三種方法所得結(jié)果誤差的平均值差別不大。因此通過比較分析，當處理的數(shù)據(jù)相對較少時（1顆GPS衛(wèi)星精密星歷），廣義延拓逼近法所能達到的最高內(nèi)插精度略高于切比雪夫多項式擬合法和Lagrange多項式插值法。

6? 結(jié)束語

本文采用了三種不同的內(nèi)插方法，對比分析了1顆GPS衛(wèi)星的精密星歷內(nèi)插精度，經(jīng)算例分析可以得到以下結(jié)論：

1）進行數(shù)據(jù)處理時，為了得到理想精度的計算結(jié)果，往往需要選擇合適的方法模型，因此面對不同的實際問題，就要具體分析。

2）在處理1顆GPS衛(wèi)星的精密星歷時，使用廣義延拓逼近法所得結(jié)果的精度略高于Lagrange多項式插值法和切比雪夫擬合法。

參考文獻：

[1] 徐煒，賈雪，嚴超，等.滑動式與非滑動式GPS精密星歷內(nèi)插方法比較分析[J].全球定位系統(tǒng)，2017，42（2）：15-20.

[2] 吳偉，任超，王文杰，等.基于滑動式算法的IGS精密星歷內(nèi)插與擬合精度[J].地理空間信息，2013，11（2）：69-70，73.

[3] 趙娜.一種新的GPS精密星歷插值方法[J].北京測繪，2018，32（02）：186-189.

[4] 雷雨，趙丹寧，高玉平.基于滑動式Lagrange插值方法的GPS精密星歷內(nèi)插分析[J].測繪工程，2013，22（2）：34-36.

[5] 嚴麗，李萌.切比雪夫多項式擬合衛(wèi)星軌道與鐘差的精度分析[J].測繪科學，2013，38（3）：59-62.

[6] 彭小強，高井祥.基于滑動式切比雪夫方法的廣播星歷插值分析[J].煤炭技術(shù)，2015，34（6）：104-106.

[7] 劉翔，時振偉.IGS精密星歷內(nèi)插及外推方法比較分析[J].全球定位系統(tǒng)，2013，38（2）： 70-73，81.

[8] 陳鵬.廣義延拓插值法在GPS數(shù)據(jù)處理中的應用研究[D].中南大學，2009.

[9] 史衛(wèi)平，劉翔.廣義延拓法在IGS精密星歷插值中的應用[J].測繪與空間地理信息，2014，37（11）：143-145.

[10] 蘭孝奇，李森，段兵兵.基于廣義延拓的GPS精密星歷插值方法[J].測繪工程，2010，19（03）：1-3.

[11] 施滸立，顏毅華，徐國華.工程科學中的廣義延拓逼近法[M].北京：科學出版社，2005.

[12] 李慶揚，王能超，易大義.數(shù)值分析[M].武漢：華中科學大學出版社，2006.

[13] 王興，高井祥，王堅，等.利用滑動式切比雪夫多項式擬合衛(wèi)星精密坐標與鐘差[J].測繪通報，2015（5）：6-8，16.

作者簡介：黃馨婭（1998-），女，漢族，山東菏澤人，本科在讀，主要研究方向：數(shù)學與應用數(shù)學.

詳細地址：甘肅省蘭州市安寧區(qū)培黎街道西北師范大學? 郵編：730070

單位地址：甘肅省蘭州市安寧區(qū)安寧東路967號西北師范大學