馬信欣 袁波 尹浩熹 何海玉 鄭勇

摘 要：振動控制是解決大跨輕質(zhì)人行天橋舒適度的關(guān)鍵問題之一。通常會采用調(diào)諧質(zhì)量阻尼器（TMD）進(jìn)行減振，可以有效降低橋梁在行人激勵下的振動反應(yīng)。將行人激勵簡化為移動簡諧荷載，建立人群-人行橋-TMD振動系統(tǒng)，推導(dǎo)在勻速移動人行荷載下，人群-人行橋-TMD振動系統(tǒng)的運動微分方程。并結(jié)合某一人行天橋?qū)嵗?，對該人行天橋進(jìn)行添加TMD后的Simulink仿真分析，與Ansys建模分析的結(jié)果進(jìn)行對比，說明Simulink仿真分析的正確性。采用中國規(guī)范進(jìn)行舒適度分析，選取一定范圍人行荷載的頻率，并用Simulink對此簡支梁橋進(jìn)行定質(zhì)量TMD與變質(zhì)量TMD的減振分析，分析結(jié)果表明變質(zhì)量TMD減振效果優(yōu)于定質(zhì)量TMD減振效果。

關(guān)鍵詞：SIMULINK仿真系統(tǒng);變質(zhì)量動力吸振器;振動控制;人行橋;TMD

中圖分類號：U441+.3

文獻(xiàn)標(biāo)識碼： A

隨著我國的經(jīng)濟增長和城市交通的不斷建設(shè)，人行橋也正向大跨度輕柔低阻尼的方向發(fā)展，人們對人行橋的舒適度要求更加嚴(yán)格，對大跨度人行天橋施加多人行走的人行荷載，如果荷載頻率與橋梁的自振頻率相同時，就會發(fā)生共振，則橋梁的響應(yīng)將被不斷增大，輕則會使人心理上產(chǎn)生不舒適感，嚴(yán)重時會使橋梁發(fā)生破壞[1-2]，本文研究多人同頻率勻速通過橋梁時的最大動力響應(yīng)，并對橋梁添加TMD[3-6]阻尼器進(jìn)行減振控制，因常用的有限元軟件建模分析時間較長，采用較高效的Simulink軟件進(jìn)行減振分析，首先推導(dǎo)人群-橋-TMD的動力方程，然后在Simulink中依據(jù)運動方程建立仿真模塊，進(jìn)行動力仿真分析。得出橋梁撓度最大點在仿真分析與有限元軟件分析下的加速度與位移時程曲線，并對兩種軟件的結(jié)果進(jìn)行對比，證明仿真的準(zhǔn)確性。運用變質(zhì)量TMD[7]，并對定質(zhì)量TMD與變質(zhì)量TMD進(jìn)行仿真對比分析并得出結(jié)論。

1?運動方程的建立

1.1?結(jié)構(gòu)分析模型

本文分析的結(jié)構(gòu)模型如圖1所示，人行荷載簡化為一移動簡諧荷載，n個等間距的行人以速度v陸續(xù)從左至右通過長度為L的簡支梁橋，主梁為等截面均勻簡支梁，抗彎剛度為EI，單位長度質(zhì)量為m，在橋梁中間布置TMD阻尼器，c、k分別為TMD阻尼和剛度，y以靜平衡位置為原點，u（v，t）為橋梁撓度，在TMD下的初始撓度u（0）忽略不計。

1.2?運動方程建立

在勻速移動簡諧荷載作用下的簡支梁及定質(zhì)量TMD[8-10]系統(tǒng)的運動方程分別為：

m2u（x，t）t2+EI4u（x，t）x4+csu（x，t）t+mTy¨δ（x-l/2）=∑ni=0δ（x+i-vt）Pi（t）（1）

mTy¨+c（y·-u·|l2）+k（y·-u·|l2）=0（2）

式中，m單位長度質(zhì)量;EI為截面抗彎剛度;U（x，t）為距梁端點x、時間t時的豎向撓度;g為重力加速度;δ為Dirac函數(shù);P（t）為簡化的人行荷載;cs為阻尼系數(shù);c為TMD阻尼;k為TMD剛度;mT為TMD的質(zhì)量

將式（2）導(dǎo)入式（1）中得下式（3）

m2u（x，t）t2+EI4u（x，t）x4+csu（x，t）t-k（y-ul2）+c（y·-u·l2）δ（x-l/2）=∑ni=0δ（x+i-vt）Pi（t）（3）

利用分離變量法，令

u（x，t）=∑SymboleB@

n=1φn（x）qn（t）（4）

式中，φn（x）=sinnπl(wèi)x（n=1，2，…）為振動的形狀，不隨時間變化;qn（t）為隨時間變化的振幅

將式（4）代入式（3），可得下式（5）：

m∑SymboleB@

n=12qn（x，t）t2φn（x）+EI∑SymboleB@

n=14φn（x）x4qn（t）+cs∑SymboleB@

n=1qn（x，t）tφn（x）-k（y-ul2）+c（y·-u·l2）

δ（x-l/2）=∑ni=0δ（x+i-vt）Pi（t）（5）

由式（5）兩邊同時乘上φn（x），再（0，l）內(nèi)積分，利用振型正交性可得式（6）

Mnq¨n（t）+2ξnωnMnq·n（t）+ω2nMnqn（t）-

φn（l/2）k（y-ul2）+c（y·-u·l2）=Pn（t）（6）

式中第n階頻率ωn、振型質(zhì)量Mn、振型力Pn（t）、振型阻尼比ξn表達(dá)式如下，令ξ1=ξ2=0.02：

ωn=n2π2l2EIm;Mn=∫l0[φn（x）]2mdx=mL/2;

Pn（t）=∑ni=0∫l0φn（x）δ（x-i-vt）Pi（t）dx

=∑ni=0φn（vt-i）Pi（t）

a=2ω1ω2（ξ1ω2-ξ2ω1）ω22-ω21

=0.032π2l2EIm;

b=2（ξ2ω2-ξ1ω1）ω22-ω21

=0.08l2π2mEI;

ξn=a2ωj+bωj2=0.016j2+0.04j2

背戶一登在文獻(xiàn)[11]確定的動力吸振器的最佳阻尼條件和最佳調(diào)諧條件由式（7）和式（8）確定。

ζopt=3μ8（1+μ）3（7）

λopt=11+μ（8）

其中，質(zhì)量比μ=mT/M， mT為TMD質(zhì)量，M是結(jié)構(gòu)模態(tài)質(zhì)量，μ取1%-5%。根據(jù)ω2=k/mT經(jīng)過數(shù)學(xué)推導(dǎo)得出最優(yōu)阻尼比Copt與最優(yōu)剛度比kopt，如式（9）與式（10）示。

copt=2ζoptλoptωmT（9）

kopt=λopt2ω2mT（10）

振型力Pn（t）矩陣形式如下：

P=∑ni=0φ1（vt-i）Pi（t）∑ni=0φ2（vt-i）Pi（t）∑ni=0φn（vt-i）Pi（t）0

TMD的振動方程為：

mTy¨+cy·+ky-c∑SymboleB@

n=1φnl2q·n（t）-

k∑SymboleB@

n=1φnl2qn（t）=0（11）

為了進(jìn)行矩陣求解，將所有振型的運動方程聯(lián)合上式的TMD振動方程，統(tǒng)一寫為

MX¨（t）+CX·（t）+KX（t）=P（12）

式中，模態(tài)質(zhì)量M、剛度矩陣K與阻尼矩陣C如下所示，根據(jù)文獻(xiàn)[5]可知，f1≥1.4 Hz的簡支人行橋，僅取第一階模態(tài)即可準(zhǔn)確計算出跨中加速度的動力反應(yīng)。

M=M1MnmT

C=2ξ1ω1M1+∑nicφ21l2…∑nicφ1l2φ2l2-φ1l2c對稱2ξnωnMn+cφ2nl2-φnl2cc

K=ω21M1+∑nikφ21l2…∑nikφ1l2φ2l2-φ1l2k

ω2nMn+kφ2nl2-φnl2kk

2?Simulink動態(tài)仿真設(shè)計

進(jìn)行Simulink仿真，首先在matlab[12]中輸入初始參數(shù)，計算橋梁固有頻率與阻尼比，然后在

Simulink建模窗口中建模，并進(jìn)行各模塊參數(shù)的設(shè)置，其次仿真調(diào)試階段，檢查模塊連接。最后進(jìn)行仿真設(shè)置，并運行仿真;輸出運算結(jié)果到workspace。根據(jù)式（12）的動力微分方程在Simulink中建立模塊，并進(jìn)行動態(tài)仿真分析[13]。仿真框圖見圖2。

3?Ansys結(jié)果對比分析

3.1??算例

為了驗證上述理論分析的正確性，引用文獻(xiàn)[14]中的算例，該人行天橋的人流量在30人/分鐘左右，可以計算出同時在橋上的人數(shù)為17人，17人以勻速v從左向右陸續(xù)通過該人行天橋。此橋梁的基頻f1為2.5625 rad/s，人行荷載頻率同基頻f1。主梁為等截面均勻簡支梁，圖3為梁橫截面圖，主梁采用單箱單室鋼箱梁，梁高為1.8米，腹板厚25毫米，頂板寬度4.7米，底板寬2.7米。抗彎剛度為EI，單位長度質(zhì)量為m，結(jié)構(gòu)的基本參數(shù)見表1。

3.2?Ansys結(jié)果對比

分析在正常步行荷載頻率2 Hz～3 Hz范圍內(nèi)，上述算例中定質(zhì)量TMD的參數(shù)根據(jù)公式（7）-（10）進(jìn)行計算，得出定質(zhì)量TMD的參數(shù)取值如下表2所示。17人列隊過橋時Simulink與Ansys分析的加速度時程曲線的對比如圖4與表3所示。從圖4與表3可知，兩種軟件分析結(jié)果差值小于9%，故結(jié)構(gòu)仿真正確。當(dāng)行人與橋梁共振時，橋梁

振動響應(yīng)最大，采用質(zhì)量比為0.05的TMD進(jìn)行減振，減振前后時程曲線如圖5所示，此時Simulink減振后峰值加速度為0.28 m/s2小于0.8 m/s2，減振效果為87.27%，滿足規(guī)范[15]要求。

4?變質(zhì)量TMD與定質(zhì)量TMD對比分析

人的步行頻率不是一個固定值，步行荷載頻率一般在2～3 Hz頻率范圍內(nèi)，定質(zhì)量TMD只對某一頻率減振效果明顯，而變質(zhì)量TMD能夠根據(jù)步行荷載頻率變化而調(diào)節(jié)吸振器質(zhì)量來進(jìn)行減振，其減振頻率范圍較寬。為了分析變質(zhì)量TMD與定質(zhì)量TMD的減振效果，同樣采用3.1中的算例。變質(zhì)量TMD的阻尼與剛度與3.2中定質(zhì)量TMD參數(shù)相同，變質(zhì)量TMD的定質(zhì)量部分mT的取值根據(jù)公式mT=k/（λopt2πf（max））2確定。變質(zhì)量TMD的變質(zhì)量塊mV的最大值根據(jù)公式mV（max）= k/（λopt2πf（min））2-mT，變質(zhì)量TMD的參數(shù)如表4所示，Simulink的分析結(jié)果如圖6所示。

5?結(jié)論

（1）本文推導(dǎo)了人群-人行橋-TMD的運動方程，根據(jù)運動方程建立了Simulink仿真框圖，并對簡支梁橋進(jìn)行了動力仿真分析，仿真結(jié)果與Ansys建模分析結(jié)果進(jìn)行對比。當(dāng)17人勻速同頻率通過橋梁時，兩種程序?qū)Σ煌诵泻奢d頻率的減振結(jié)果表明，峰值加速度最大相差9%，證明Simulink仿真方法的準(zhǔn)確性。

（2）變質(zhì)量TMD減振效果要優(yōu)于定質(zhì)量TMD減振效果，定質(zhì)量TMD只對2.2～2.9 Hz范圍內(nèi)的步行頻率進(jìn)行減振，而變質(zhì)量TMD對正常步行頻率范圍內(nèi)都有減振效果。

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（責(zé)任編輯：江?龍）

Vibration Reduction Analysis of Simply Supported

Beam Under Moving Load

MA Xinxin， YUAN Bo*， YIN Haoxi， HE Haiyu， ZHENG Yong

（Space Structures Research Center of Guizhou University ，Guiyang 550025）

Abstract：

Vibration control is one of the key issues to solve the comfort of a large span lightweight pedestrian bridge. The tempered mass damper （TMD） is usually used for vibration reduction， which can effectively reduce the vibration response of the bridge under pedestrian excitation. The pedestrian excitation is simplified to the mobile harmonic load， and the crowd￣footbridge￣TMD vibration system was established. The differential equations and state equations of the crowd￣footbridge￣TMD vibration system under the uniform moving pedestrian load were derived. Combined with a pedestrian bridge instance， the Simulink simulation analysis of the pedestrian bridge after adding TMD was compared with the results of Ansys modeling analysis. The accuracy of Simulink simulation analysis was illustrated. The Chinese standard was used for comfort analysis， the frequency of a certain range of pedestrian loads is selected， and the vibration reduction analysis of the traditional TMD and the variable mass TMD was carried out on the simply supported beam bridge by Simulink. The analysis results show that the variable mass TMD damping effect is better than the traditional TMD vibration reduction effect.

Key words：

SIMULINK simulation system; variable mass dynamic vibration absorber; vibration control;footbridge;TMD