盛旭然 向前

摘要：數(shù)字信號處理技術(shù)在當(dāng)今信息技術(shù)高速發(fā)展的情況下得到了廣泛的應(yīng)用和發(fā)展，在通信領(lǐng)域、工業(yè)領(lǐng)域、電子信息領(lǐng)域以及圖像處理領(lǐng)域等發(fā)揮著重要作用.其中時頻變換分析在數(shù)字信號處理中的應(yīng)用非常重要，為了保證信號的完整性，往往在時頻變換時需要引入窗函數(shù).對此，文章對數(shù)字信號處理中的窗函數(shù)問題進(jìn)行了簡要地探討和研究，對常見窗函數(shù)的性能做了分析和對比，使我們可以更好地利用窗函數(shù)進(jìn)行信息處理.

關(guān)鍵詞：數(shù)字信號;處理技術(shù);時頻變換;頻譜泄露;窗函數(shù)

中圖分類號：TN911.72 ?文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A ?文章編號：1673-260X（2019）05-0074-03

1 引言

我們在數(shù)字信號處理時，一般需要限制數(shù)字信號的觀察時間，即需要選擇一段時間的數(shù)字信號作為樣本，并對其進(jìn)行分析，得到數(shù)字信號處理結(jié)果.在數(shù)字信號處理過程中，我們所采用的有限個點的數(shù)據(jù)樣本取得過程就是一個將數(shù)字信號數(shù)據(jù)截斷的過程，其結(jié)果等效于對信號進(jìn)行加窗函數(shù)操作，但相較于加窗函數(shù)操作會導(dǎo)致的頻譜泄露，數(shù)字信號數(shù)據(jù)截斷效果更佳.根據(jù)實驗可知，加窗函數(shù)操作的數(shù)據(jù)樣本中完整的頻率數(shù)量越多，越容易得到信噪比好的頻譜信號.除此之外，采樣點數(shù)量的增多也會導(dǎo)致后續(xù)進(jìn)行傅里葉變換的運算量增大，降低運算效率.結(jié)合實際分析，合適的窗函數(shù)能有效地降低頻譜泄露等問題.

2 加窗原理分析

根據(jù)奈奎斯特采樣定律可知，在數(shù)字信號轉(zhuǎn)換過程中，當(dāng)采樣信號頻率大于樣本中信號最高頻率的兩倍時，采樣后的數(shù)字信號完整保留了原始信號信息.當(dāng)采樣頻率高于信號最高頻率的兩倍時稱之為過采樣.通常在實際應(yīng)用中，采樣頻率至少是5～10倍[1].過采樣的同時還需要盡可能保證得到更多個周期的成分，這就加大了運算量，所以不能取無限長的數(shù)據(jù)點.

傅里葉變換是數(shù)字信號處理的主要數(shù)學(xué)工具，是用來研究時間域和頻率域之間關(guān)系的重要工具.在用計算機(jī)實現(xiàn)信號處理領(lǐng)域中，對無限長的信號進(jìn)行測量和運算是不現(xiàn)實的，取其有限的時間序列是常見分析方法，截取有限時間序列的過程叫作信號截斷.信號截斷分為周期截斷和非周期截斷.若截斷后的信號為周期信號則為周期截斷，若截斷后的信號不再是周期信號則為非周期截斷，絕大部分截斷為非周期截斷.以一個正弦波為例，如圖1所示，然后經(jīng)過信號截斷處理的片段進(jìn)行周期延拓處理，可以得到一段虛擬的、無限長的信號，針對這段虛擬信號可以進(jìn)行傅里葉變換等分析處理.

周期延拓的時候會出現(xiàn)一個問題，如果原始信號是一個周期信號，我們得到的頻譜應(yīng)該是一個固定頻率的點，但非周期截斷后，信號不再是一個周期信號，引入了不可預(yù)測的其他頻率成分，頻譜在整個頻帶內(nèi)產(chǎn)生了拖尾現(xiàn)象，頻譜發(fā)生了畸變，之前集中在一個頻率的能量被分散到兩個較寬的頻帶中去了，也就是我們所說的頻率泄漏，是數(shù)字信號處理過程中非常常見的誤差.如圖2所示.

為了減少頻譜能量泄漏，信號截取處理過程中應(yīng)用不同的截取函數(shù)對信號進(jìn)行截斷處理，將此過程中使用的截斷函數(shù)稱為窗函數(shù)，簡稱為窗，例如：矩形窗、平頂窗、漢寧窗、指數(shù)窗等.加窗的實質(zhì)是窗函數(shù)與原始的時域信號相乘的過程，使相乘得到的信號更好地滿足傅里葉變換的周期性要求[2]，如圖3所示.

窗函數(shù)對信號頻譜的影響較大，不同的窗函數(shù)產(chǎn)生泄漏的大小不一樣，頻率分辨能力也不一樣;信號的截斷時必將產(chǎn)生能量泄漏，而用FFT算法計算頻譜又產(chǎn)生了柵欄效應(yīng)，從原理上講這兩種誤差都是不可消除的，但是可以被不同的窗函數(shù)進(jìn)行抑制.不同的時間窗，它的時域形狀和頻域特征是不相同的.

3 常見窗的分析

在時頻變換中有很多的窗函數(shù)可供我們選擇，例如矩形（Rectangle）窗、漢寧（hanning）窗、海明（hamming）窗、平頂（Flap Top）窗、凱塞（Kaiser）窗、高斯（Gaussian）窗等，我們在此分析最常見的矩形窗、漢寧窗、漢寧窗和平頂窗的性能特點，以及應(yīng)用.借助matlab自帶的窗函數(shù)可視化工具wvtool（WindowVector），方便分析幅頻特性和時域特性.

4 窗函數(shù)的選擇與應(yīng)用

單從窗的頻譜他特性上看窗的波形圖顯示了窗本身為一個連續(xù)的頻譜，有一個主瓣，若干旁瓣.旁瓣的高度顯示了加窗函數(shù)對于主瓣周圍頻率的影響.對強正弦信號的旁瓣響應(yīng)可能會超過對較近的弱正弦信號主瓣響應(yīng).通常低旁瓣會減少傅里葉變換的頻譜泄漏，但是會增加主瓣的帶寬.旁瓣的跌落速率是旁瓣峰值的漸進(jìn)衰減速率.增加旁瓣的跌落速率，也可減少頻譜泄漏.所以窗函數(shù)頻譜的主瓣越窄越好，即能量盡可能集中在主瓣內(nèi)，以提高譜估計時的頻域分辨率和減小泄漏[4].

選擇加窗函數(shù)并非易事.每種加窗函數(shù)都有其特征和適用范圍.要選擇加窗函數(shù)，必須先估計信號的頻率成分.

如果信號中干擾頻率分量較強，與感興趣頻率分量相距較遠(yuǎn)，那么就應(yīng)選擇具有高旁瓣下降率的平滑窗.如果強干擾頻率分量與感興趣分量相距較近，那么就應(yīng)選擇具有低最大旁瓣的窗.如果感興趣頻率包含兩種或多種很距離很近的信號，這時我們最好選用具有窄主瓣的平滑窗.如果一個頻率成分的幅值精度比信號成分在某個頻率區(qū)間內(nèi)的位置更重要，選擇主瓣能量集中的窗，如平頂窗.如信號頻譜較平或頻率成分較寬可以不使用窗[5].

5 總結(jié)

窗函數(shù)在信號處理中有著非常重要的地位，它保證了信息的完整性和準(zhǔn)確性，選擇適當(dāng)?shù)拇昂瘮?shù)就顯得尤為重要.文章通過對具體窗函數(shù)的分析比較，說明了窗函數(shù)在實際信號處理中的實現(xiàn)，在對不同窗函數(shù)進(jìn)行比較的過程中總結(jié)窗函數(shù)如何選擇與應(yīng)用.現(xiàn)代工程中加窗的應(yīng)用已經(jīng)十分成熟，但隨著技術(shù)的進(jìn)步和需求的改變，會出現(xiàn)更多針對具體應(yīng)用場景的窗函數(shù).

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