鐘高介

摘要：在高中函數(shù)教學(xué)中，二元函數(shù)是一類常見的問題，求解二元函數(shù)最值的主要方法為導(dǎo)數(shù)或不等式的方法進(jìn)行處理，本文將從高中的不同知識維度中尋求解決一類二元函數(shù)最值問題的方法與技巧，利用導(dǎo)數(shù)，不等式，不定方程，三角換元，線性規(guī)劃，向量，極坐標(biāo)等不同知識維度對其進(jìn)行分析，從而有效的解決一類二元函數(shù)的最值問題。

關(guān)鍵詞：二元函數(shù);最值問題;方法技巧.

在高中教學(xué)中，處理函數(shù)的最值是常見的一種問題，處理一元函數(shù)最值問題常會在定義域內(nèi)研究函數(shù)的單調(diào)性來確定函數(shù)的最值，或者借助基本不等式、柯西不等式等的取等條件求函數(shù)最值，但對于二元函數(shù)，有哪些處理的方法，是否還可以借用一元函數(shù)的方法，可以從哪些方面思考，本文將結(jié)合高中不同知識維度進(jìn)行分析。

這是一道圓錐曲線中常見的共焦點(diǎn)的交點(diǎn)三角形問題，問題的特點(diǎn)是橢圓和和雙曲線共焦點(diǎn)且橢圓和雙曲線的交點(diǎn)與焦點(diǎn)構(gòu)成的焦點(diǎn)三角形是求解圓錐曲線的離心率關(guān)聯(lián)的橋梁，我們可以作如下的探究求得到兩者離心率之間滿足的數(shù)量關(guān)系。

（六）利用導(dǎo)數(shù)求解

本問題是有條件的二元函數(shù)的最值問題，也會想到通過消元將二元函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)進(jìn)行求解，利用到導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)而求出函數(shù)的最值，故產(chǎn)生以下解法，

三、結(jié)束語

本文中涉及的問題的為一類有條件的二元函數(shù)最值問題，條件的特征為二次齊次式，可以聯(lián)系到圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，柯西不等式，向量的模長，二元二次方程，從不同的聯(lián)系，可以得到不同維度的思路出發(fā)點(diǎn)，再聯(lián)系到結(jié)論的二元一次齊次形式，可以將問題聯(lián)系直線方程，柯西不等式，向量數(shù)量積，二元一次方程，進(jìn)而從已知和結(jié)論的思考中產(chǎn)生了圓錐曲線中用參數(shù)方程進(jìn)行三角換元，聯(lián)立方程組求直線與曲線的交點(diǎn)，柯西不等式進(jìn)行放縮，轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積，線性規(guī)劃并數(shù)形結(jié)合的方法，若直接用條件方程進(jìn)行消元，則將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)，可用導(dǎo)數(shù)求得最值。

在利用各種維度知識解題時，也各有優(yōu)缺點(diǎn)，本問題用柯西不等式的方法來解，求最值和取得最值的條件都能比較容易求出，但消元為一元函數(shù)再利用到求最值時，方法的思路簡單，求導(dǎo)難度相對較大，轉(zhuǎn)化為圓錐曲線再用方程思想聯(lián)立也是順理成章的方法，雖然計算求最值容易，但是求最值取得的條件稍顯麻煩，若是如果用橢圓的參數(shù)方程進(jìn)行三角換元，容易求得最值，但取得最值的條件難求，通過坐標(biāo)變換轉(zhuǎn)化為圓與直線的關(guān)系時計算量相對較小，但是思維難度相對較大，若再轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積理解，其計算會變得更簡單，如果把圓的方程用圓的參數(shù)方程表示帶入目標(biāo)函數(shù)求解也較為簡單，又或者用把問題轉(zhuǎn)化到極坐標(biāo)系下，圓的方程更為簡化，目標(biāo)函數(shù)即轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值，解題難度大大降低，故在解答數(shù)學(xué)問題時應(yīng)該結(jié)合題目條件，依據(jù)結(jié)論選擇合適的知識維度，把問題分解為多個部分，從單維度或多維度綜合的角度去思考并解答問題是重要的策略。

同時不同知識維度之間有著背后的關(guān)聯(lián)性，如柯西不等式的證明方法中有一種就來源于向量的數(shù)量積的定義，所以此問題會有向量的方法和柯西不等式的方法，看似不同的兩個維度，實(shí)質(zhì)在背后有重要的關(guān)聯(lián)，又如圓錐曲線與直線的位置關(guān)系的問題，常常會用到聯(lián)立方程組轉(zhuǎn)化為方程的問題進(jìn)行求解，把一次方程看成是直線還是二元一次方程，在思考上就會出現(xiàn)不同，前者可以數(shù)形結(jié)合，再聯(lián)系線性規(guī)劃的知識理解最值取得的條件，后者即為討論不定方程組解的問題，兩者看似方向不同，但方程與曲線本來就有著數(shù)與形相互完美的結(jié)合，只不過在形與數(shù)結(jié)合時通過坐標(biāo)變換可以把把數(shù)變得更簡潔，形變得更優(yōu)美。

參考文獻(xiàn)：

1.【數(shù)學(xué)解題學(xué)引論】羅增儒著陜西師大出版社.

2.【解題研究】單墫著上海教育出版社.

3.【高中數(shù)學(xué)教材】，選修2-1，人民教育出版社.