吳長(zhǎng)國

概率論與我們的生活息息相關(guān)。比如：太陽每天都會(huì)東升西落，這件事發(fā)生的概率就是100%或者說是1，因?yàn)樗隙〞?huì)發(fā)生；而太陽西升東落的概率就是0，因?yàn)樗隙ú粫?huì)發(fā)生。但生活中的很多現(xiàn)象是既有可能發(fā)生，也有可能不發(fā)生的，比如某天會(huì)不會(huì)下雨、買東西買到次品等等，這類事件的概率就介于 0和100%之間，或者說0和1之間。在日常生活中無論是股市漲跌，還是發(fā)生某類事故，但凡捉摸不定、需要用“運(yùn)氣”來解釋的事件，都可用概率模型進(jìn)行定量分析。不確定性既給人們帶來許多麻煩，同時(shí)又常常是解決問題的一種有效手段甚至唯一手段。走在街頭，來來往往的車輛讓人聯(lián)想到概率；生產(chǎn)、生活更是離不開概率。在令人心動(dòng)的彩票搖獎(jiǎng)中，概率也同樣指導(dǎo)著我們的實(shí)踐。繼股票之后，彩票也成了城鄉(xiāng)居民經(jīng)濟(jì)生活中的一個(gè)熱點(diǎn)。然而彩票中獎(jiǎng)的概率是很低的。有笑話說全世界的數(shù)學(xué)家都不會(huì)去買彩票，因?yàn)樗麄冎溃谫I彩票的路上被汽車撞死的概率遠(yuǎn)高于中大獎(jiǎng)的概率。隨著科學(xué)的發(fā)展，數(shù)學(xué)在生活中的應(yīng)用越來越廣，生活的數(shù)學(xué)更是無處不在。而概率作為數(shù)學(xué)的一個(gè)重要部分，同樣也在發(fā)揮著越來越廣泛的用處。 抽樣調(diào)查，評(píng)估，彩票，保險(xiǎn)，甚至在日常生活中購買蔬菜水果之類的時(shí)候也經(jīng)常會(huì)遇到要計(jì)算概率的時(shí)候，下面就通過幾個(gè)例子具體看看在這些方面中概率的應(yīng)用。

在水果批發(fā)市場(chǎng)上打算買幾箱蘋果，他詢問賣主所售蘋果的質(zhì)量如何，賣主說一箱里（假設(shè)為100個(gè)）頂多有四、五個(gè)壞的。李老師隨后挑了一箱，打開后隨機(jī)抽取了10個(gè)蘋果，心想這10個(gè)中有不多于2個(gè)壞的就買，可他發(fā)現(xiàn)10個(gè)蘋果中有3個(gè)是壞的。于是李老師對(duì)賣主說，你的一箱蘋果里不止有5個(gè)壞的。賣主反駁說，我的話并沒有錯(cuò)，也許這一箱蘋果中就這3個(gè)壞的，讓你碰巧看見了。李老師的指責(zé)有道理嗎？解：假設(shè)一箱里有100個(gè)蘋果，其中有5個(gè)壞的。我們知道所抽取的10個(gè)中壞蘋果數(shù)等于3的概率為：10C53C100??35P（X=3）=≈0.00625 10 C100同理可以得到：P（X=4）≈0.00038P（X=5）≈0.000003根據(jù)古典概率的定義，抽取10個(gè)中壞蘋果數(shù)大于2的概率 P（X>2）=P（X=3）+P（X=4）+P（X=5）≈0.006633。這表明，一次抽取10個(gè)，發(fā)現(xiàn)多于2個(gè)壞的概率很小，幾乎是不可能的，現(xiàn)在居然發(fā)生了。說明：本例反映了“先嘗后買”中的數(shù)學(xué)道理，即抽樣調(diào)查的方法。先嘗后買決定買不買比不嘗就買的風(fēng)險(xiǎn)要小，但風(fēng)險(xiǎn)依然存在。

同樣的，概率所產(chǎn)生的一些看似不可思議的事實(shí)往往能給人們以啟發(fā)。例如，生日悖論。生日悖論是指，如果一個(gè)房間里有23個(gè)或23個(gè)以上的人，那么至少有兩個(gè)人的生日相同的概率要大于50%。這就意味著在一個(gè)典型的標(biāo)準(zhǔn)小學(xué)班級(jí)（30人）中，存在兩人生日相同的可能性更高。對(duì)于60或者更多的人，這種概率要大于99%。從引起邏輯矛盾的角度來說生日悖論并不是一種悖論，從這個(gè)數(shù)學(xué)事實(shí)與一般直覺相抵觸的意義上，它才稱得上是一個(gè)悖論。大多數(shù)人會(huì)認(rèn)為，23人中有2人生日相同的概率應(yīng)該遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于50%。計(jì)算與此相關(guān)的概率被稱為生日問題，在這個(gè)問題之后的數(shù)學(xué)理論已被用于設(shè)計(jì)著名的密碼攻擊方法：生日攻擊。在《著名的生日悖論》中說道：23個(gè)人里有兩個(gè)生日相同的人的幾率有多大呢？居然有50% 我不能理解，想了半天，都沒有一個(gè)結(jié)果。怪就怪早已把高中的概率知識(shí)忘得一干二凈了，連基本的概率公式都看不懂了。這樣描述：如果一個(gè)房間里有23個(gè)或23個(gè)以上的人，那么至少有兩個(gè)人的生 日相同的概率要大于50%。這就意味著在一個(gè)典型的標(biāo)準(zhǔn)小學(xué)班級(jí)（30人）中，存在兩人生日相同的可能性更高。對(duì)于60或者更多的人，這種概率要大于99%。幾乎把所有的搜索引擎都搜了個(gè)遍，終于有點(diǎn)理解了。不計(jì)特殊的年月，如閏二月。先計(jì)算房間里所有人的生日都不相同的概率，那么：第一個(gè)人的生日是365選365第二個(gè)人的生日是365選364第三個(gè)人的生日是 365選363……第n個(gè)人的生日是365選365-（n-1）所以所有人生日都不相同的概率是：（365/365）×（364/365）×（363/365）×（362/365）×……×（365-n+1/365）那么，n個(gè)人中有至少兩個(gè)人生日相同的概率就是：1-（365/365）×（364/365）×（363/365）×（362/365）×……×（365-n+1/365）所以當(dāng)n=23的時(shí)候，概率為0.507當(dāng)n=100的時(shí)候，概率為0.9999996〔5〕真是不算不知道，一算嚇一跳。

這讓我想起了必修（三）中的一個(gè)很有意思的數(shù)學(xué)題：非洲有個(gè)國王下了一道命令，國內(nèi)所有的臣民如果生了個(gè)兒子，那就不許再生了；如果生了個(gè)女兒，那就可以 接著生，一直生到兒子為止。題目問我們，如果照這樣生下去，這個(gè)王國的男女 比例會(huì)呈現(xiàn)一個(gè)什么樣的趨勢(shì)。 我當(dāng)時(shí)想啊，每對(duì)夫妻總只能生一個(gè)兒子，卻可能生好多女兒，這樣的生育 政策肯定會(huì)導(dǎo)致性別比例嚴(yán)重失調(diào)?？墒呛髞硪凰惆?，答案居然還是正常的男女 性別比例。網(wǎng)上就有人提出用這樣的方式調(diào)節(jié)人口老齡化的問題，感覺很不錯(cuò)哦。那個(gè)人是這樣考慮的：放開二胎不如讓公民可以自由選擇生育抑制：方案：1.父母可以自愿選擇性別生育意愿（生男或者生女）2.一但生育意愿出現(xiàn)滿足則停止生育，反之則可以繼續(xù)生。 比如一對(duì)夫婦懷孕前先登記自己想要男孩還是女孩，比如想要男孩，但是生了女孩就以繼續(xù)生，直到生出男孩或者不想生了為止。想要女孩也是如此處理。理解生日悖論的關(guān)鍵在于領(lǐng)會(huì)相同生日的搭配可以是相當(dāng)多的。如在前面所提到的例子，23個(gè)人可以產(chǎn)生23×22/2=253種不同的搭配，而這每一種搭配都有成功相等的可能。從這樣的角度看，在253種搭配中產(chǎn)生一對(duì)成功的配對(duì) 也并不是那樣的不可思議。換一個(gè)角度，如果你進(jìn)入了一個(gè)有著22個(gè)人的房間，房間里的人中會(huì)和你有 相同生日的概率便不是50：50了，而是變得非常低。原因是這時(shí)候只能產(chǎn)生22 種不同的搭配。生日問題實(shí)際上是在問任何23個(gè)人中會(huì)有兩人生日相同的概率是多少。

下面說說概率的實(shí)際意義生活中有些事件發(fā)生的可能性很小，我們稱之為小概率事件，一般認(rèn)為概率 值小于0.05的事件為小概率事件。對(duì)小概率事件，人們往往不太重視。關(guān)于小概 率事件，有兩個(gè)結(jié)論可用于指導(dǎo)我們的生活。第一個(gè)稱為實(shí)際推斷原理，即小概率事件在一次試驗(yàn)中實(shí)際上是幾乎不發(fā)生的。如果出現(xiàn)概率很小的事件在只進(jìn)行一次試驗(yàn)時(shí)竟然發(fā)生了，那我們有理由懷疑假設(shè)前提的正確性。例如學(xué)校剛剛舉行的高中英語競(jìng)賽考試是全校檢驗(yàn)學(xué)生英語理解應(yīng)用水平的一種選拔性考試，具有很高難度，包括聽力、語法結(jié)構(gòu)、閱讀理解、填空、寫作等。除寫作15分外，其余85道題是 單項(xiàng)選擇題，每道題有A、B、C、D四個(gè)選項(xiàng)，這種情況使個(gè)別學(xué)生產(chǎn)生碰運(yùn)氣和僥幸心理，那么靠運(yùn)氣能夠取得好名次嗎？答案是否定的。假設(shè)不考慮寫作15分，及格按60分算，則85道題必須答對(duì)51題以上，可以看成85重貝努利試驗(yàn)。概率非常小，相當(dāng)于1000億個(gè)靠運(yùn)氣的考生中僅有0.874人能通過。所以靠運(yùn)氣 進(jìn)入前6名是不可能的。

因此，我們?cè)谏詈凸ぷ髦校瑹o論做什么事都要腳踏實(shí)地，對(duì)生活中的某些偶然事件要理性的分析、對(duì)待。通過這些在生活中實(shí)際存在且隨處可見的事情，可見概率統(tǒng)計(jì)在我們的生活中幾乎無處不在，學(xué)好概率尤其是能夠?qū)W(xué)習(xí)的概率統(tǒng)計(jì)應(yīng)用與實(shí)踐中對(duì)我們確實(shí)是較困難而又受益非淺的事啊。