◆

(天津市第一商業(yè)學(xué)校)

一、引言

數(shù)學(xué)的排列組合問(wèn)題在高中階段數(shù)學(xué)課程中與函數(shù)、三角計(jì)算、數(shù)列等內(nèi)容的知識(shí)關(guān)聯(lián)性不強(qiáng)，相對(duì)比較獨(dú)立，是學(xué)習(xí)概率問(wèn)題的知識(shí)基礎(chǔ)和思維基礎(chǔ)。學(xué)生對(duì)排列組合問(wèn)題的學(xué)習(xí)存在一定的抵觸和畏懼心理，原因在于其知識(shí)體系與實(shí)際生活結(jié)合緊密，基本上不存在套用公式及定式思維的內(nèi)容，對(duì)學(xué)生分析推理問(wèn)題能力、數(shù)學(xué)思維嚴(yán)密性及邏輯性要求比較高。因此，消除畏難情緒是提升學(xué)生對(duì)排列組合問(wèn)題學(xué)習(xí)效果的重點(diǎn)工作，也是最大的難點(diǎn)。本文對(duì)排列組合問(wèn)題涉列的題型進(jìn)行了分析探究，形成案例，幫助學(xué)生找到內(nèi)在的解題規(guī)律，提高學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)氛圍。

二、案例研究

(一)站隊(duì)問(wèn)題

案例一：7個(gè)人站成一隊(duì)，問(wèn)：

1.共有多少種不同的站隊(duì)方法？

2.甲站中間，有多少種不同的站隊(duì)方法？

3.甲乙必須挨著，有多少種不同的站隊(duì)方法？

4.甲乙不能相鄰，有多少種不同的站隊(duì)方法？

5.甲必須站在乙的右側(cè)，有多少種不同的站隊(duì)方法？

分析過(guò)程：

解題小結(jié)：站隊(duì)問(wèn)題為排列問(wèn)題；有特殊要求的元素或者位置采用優(yōu)限法，優(yōu)先安排有要求的元素或位置，再安排其他元素；相鄰問(wèn)題分兩步采用捆綁法，先進(jìn)行整體排列，再局部排列；不相鄰問(wèn)題分兩步采用插空法，先安排其他元素再把相鄰元素進(jìn)行插空。

(二)數(shù)字問(wèn)題

案例二：

1.用1、2、3、4、5可以組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？

2.用0、1、2、3、4可以組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？

3.用1、2、3、4、5可以組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)？

4.用1、2、3、4、5可以組成多少個(gè)三位數(shù)？

分析過(guò)程：三位數(shù)的數(shù)位從高至低分別為百位、十位、個(gè)位。

解題小結(jié)：解決數(shù)字問(wèn)題時(shí)要重點(diǎn)審題是否數(shù)字可以重復(fù)，無(wú)重復(fù)情況屬于排列問(wèn)題，可重復(fù)情況數(shù)字個(gè)數(shù)不會(huì)減少；可選數(shù)字中含有0時(shí)，要注意0不能放在首位，一般有先考慮首位。

(三)產(chǎn)品問(wèn)題

案例三：對(duì)某工廠生產(chǎn)產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)，共100件，有2件次品，從中抽取3件，問(wèn)：

1.共有多少種不同的抽取方法？

2.結(jié)果恰有1件次品的抽取方法有多少種？

3.結(jié)果至少有1件次品的抽取方法有多少種？

分析過(guò)程：100件產(chǎn)品含2件次品，則正品98件。

解題小結(jié)：抽取產(chǎn)品問(wèn)題為組合問(wèn)題，解題過(guò)程注意分步驟進(jìn)行，此外在該類問(wèn)題中至少、至多問(wèn)題比較常見(jiàn)，如遇正向分析情況較多、計(jì)算任務(wù)較重，則采取逆向思維的方法，即用整體情況總數(shù)減去不符合事件的情況數(shù)。與產(chǎn)品問(wèn)題相同的還有派人問(wèn)題、摸球問(wèn)題等。

(四)投信問(wèn)題

案例四：

1.要求把4封信郵寄出去，郵局有3個(gè)信箱，問(wèn)：有多少種不同的投遞方式？

2.學(xué)校安排5名實(shí)習(xí)生做畢業(yè)實(shí)習(xí)，共有4家實(shí)習(xí)單位可供選擇，問(wèn)：有多少種不同的安排方式？

3.有3名學(xué)生，假設(shè)按照365天計(jì)算，問(wèn)：有多少種不同的過(guò)生日的日期方式？

分析過(guò)程：

解題小結(jié)：投信問(wèn)題具有典型的代表性，屬于可重復(fù)選擇使用的問(wèn)題，此類問(wèn)題在解決過(guò)程中需要注意事件的對(duì)象是誰(shuí)，按照事件的核心對(duì)象進(jìn)行分步研究。與投信問(wèn)題相同的問(wèn)題還有旅店入住問(wèn)題、過(guò)生日問(wèn)題及編制電話號(hào)碼問(wèn)題等。

(五)分配問(wèn)題

案例五：

1.把5本不同的書分給5個(gè)學(xué)生，每人一本，問(wèn)：有多少種不同的分配方案？

2.把5本不同的書分給4個(gè)學(xué)生，每人至少一本，問(wèn)：有多少種不同的分配方案？

分析過(guò)程：

另外，還有其他案例問(wèn)題，在此不再贅述。

三、結(jié)束語(yǔ)

學(xué)生解排列組合問(wèn)題過(guò)程中經(jīng)常出現(xiàn)的錯(cuò)誤情況有兩個(gè)：一是對(duì)于“排列”與“組合”不能很好地區(qū)分，解題中出現(xiàn)混淆；二是數(shù)學(xué)解題與現(xiàn)實(shí)常規(guī)操作的差異性不能很好地把握，解題中出現(xiàn)“遺漏”和“重復(fù)”現(xiàn)象。筆者只是歸納了部分排列組合問(wèn)題的案例，構(gòu)建了引領(lǐng)式的案例解題模式，排列組合問(wèn)題的應(yīng)用還很廣泛，解題思路靈活多變，本文不可能涵蓋全面，通過(guò)案例研究希望幫助學(xué)生形成嚴(yán)密的數(shù)學(xué)思維、培養(yǎng)理論聯(lián)系實(shí)際解決問(wèn)題的能力、促進(jìn)全面發(fā)展。