王 瑩

（湖北第二師范學院數(shù)學與經(jīng)濟學院，武漢 430205）

0 引言

隨著國際局勢日益復雜多變，國際問題日漸矛盾化、復雜化和尖銳化，國防建設迫在眉睫，裝備保障能力是軍隊戰(zhàn)斗力的重要分量，而備件則是裝備保障能力的一個關鍵要素。如何保持和快速恢復作戰(zhàn)裝備執(zhí)行使命任務的作戰(zhàn)能力離不開維修保障，而備件保障又是維修保障工作中的重中之重，其已經(jīng)成為裝備作戰(zhàn)性能生成的核心組成部分，與作戰(zhàn)性能居于同等重要的地位。備件保障領域被很多學者廣泛使用的METRIC模型［1］，假設前提之一是所有備件重要性相同，后續(xù)很多學者進行了跟進研究，見文獻［2-19］。

上述文獻都在某方面取得了一定成果，但在具體工程應用中存在如下問題：1）若考慮備件重要性之后，這些問題METRIC 模型將無法解決，但這些問題在實際的工程實踐中比較常見，值得進行深入研究；2）邊際效應法是備件領域被很多學者常常使用的方法，但當備件重要性不同時，該方法將無法再使用，需要對其進行改進和提高；3）將備件重要性和備件配置優(yōu)化中的約束條件兩者聯(lián)合起來進行相關研究的文獻比較少，很多文獻只是側(cè)重約束條件或備件重要性兩者中的一個方面；4）由于保障經(jīng)費有限，裝備倉庫不能無限制地配置所有需要的備件，這就需要將有限的經(jīng)費在保障那些重要性備件的同時兼顧重要性一般的備件。

本文建立了備件重要度的評價指標和求解過程，給出了裝備可用度增量和邊際效應模型，改進了邊際效應法，并給出了解決該類問題的流程圖，構建了EML 模型（Experts Grading Method、Marginal Effect Method、Lagrange Multiplier）并用案例進行了驗證和說明。

圖1 備件重要度的層次分解

1 備件重要度的評價指標和求解過程

1.1 備件重要度的評價指標

備件重要度的評價指標共有4 個準則層，分別為：可靠性（R1）、維修性（R2）、經(jīng)濟性（R3）和監(jiān)測性（R4），4 個準則層又可以按如下分為12 個重要度指標：

1）平局壽命（F1）。裝備在實際工作中壽命分布為一個隨機變量，其數(shù)學期望就是裝備的平均壽命，對于可修復裝備平均壽命稱為平均故障間隔時間，對于不可修復裝備而言稱為平均無故障工作時間。不同裝備平均壽命單位不同，例如車輛和坦克為里程、飛機等航空航天裝備為小時（h）、艦艇用的艦炮為發(fā)數(shù)等等。本文根據(jù)選擇裝備的具體情況分為6個等級，以小時（h）為單位，等級1 為大于10 000 h，分值為1；等級2 為（6 000，10 000］，分值為2；等級3 為（2 000，6 000］，分值為4；等級4 為（500，2 000］，分值為6；等級5 為（100，500］，分值為8；等級6 為小于100，分值為10。

2）裝備拆卸平均間隔時間（F2）。該時間主要是指除了裝備升級改造及為了別的修理活動開展的需要，在裝備全壽命時間內(nèi)除以裝備的拆卸次數(shù)。本文將其分為6 個等級，以h 為單位，等級1 為小于0.5 h，分值為1；等級2 為（0.5，1］，分值為2；等級3 為（1，1.5］，分值為4；等級4 為（1.5，2］，分值為6；等級5 為（2，3］，分值為8；等級6 為大于3 h，分值為10。

3）可靠壽命（F3）。裝備按上級要求在規(guī)定的時間和強度下完成使命任務的能力，其主要通過可靠度來衡量，對可靠度有一定要求的裝備，到了規(guī)定的工作時間就要進行更換，否則便會影響任務成功性。本文依據(jù)可靠度要求的大小將其分為5 個等級，等級1 為大于0.95，分值為1；等級2 為（0.85，0.95］，分值為4；等級3 為（0.75，0.85］，分值為7；等級4 為（0.6，0.75］，分值為9；等級5 為小于0.6，分值為10。

4）裝備故障對環(huán)境產(chǎn)生的影響（F4）。裝備故障對周圍環(huán)境的影響主要是由其特殊的物理或化學特性引起的，包括毒性和腐蝕性等。本文依據(jù)裝備故障對環(huán)境的影響分為4 個等級，等級1 為沒有影響，分值為1；等級2 為對環(huán)境影響較小，分值為4；等級3 為對環(huán)境影響較大，分值為7；等級4 為造成嚴重環(huán)境污染，分值為10。

5）對裝備使用人員人身安全的影響（F5）。當某裝備故障后是否會間接造成爆炸及有毒物質(zhì)泄漏等，以及裝備故障的影響范圍及對裝備使用人員的影響，如日本核電站的核泄漏情況。按對裝備使用人員的影響分為4 個等級，等級1 為沒有影響，分值為1；等級2 為對裝備使用人員和設備安全影響輕微，分值為4；等級3 為使用人員和設備安全影響中等，分值為7；等級4 為使用人員和設備安全影響嚴重，分值為10。

6）故障平均修復時間（F6）。裝備從故障狀態(tài)到修復完好時間的期望，在裝備整個壽命周期費用內(nèi)是所有修復時間之和除以修復次數(shù)，影響因素主要包括裝備故障診斷確定時間、故障排除時間、修理準備時間、裝備拆解及重新安裝時間、安裝調(diào)試時間等，但不包括備件管理和供應延誤時間，相同裝備故障不同的修理級別修復或不同的修理條件也可能會導致修復時間有很大差別。依據(jù)故障修復時間分為6 類，單位為h，等級1 為小于0.5 h，分值為1；等級2 為（0.5，1］，分值為2；等級3 為（1，3］，分值為4；等級4 為（3，6］，分值為6；等級5 為（6，12］，分值為8；等級6 為大于24 h，分值為10。

7）預防性修理時間（F7）。裝備平均預防修復時間是每次修復時間的期望，不包括裝備邊工作邊修理的時間和上級倉庫備件供應延誤的時間。依據(jù)預防性維修時間分為6 類，單位為h，等級1 為小于0.5 h，分值為1；等級2 為（0.5，2］，分值為2；等級3 為（2，4］，分值為4；等級4 為（4，8］，分值為6；等級5 為（8，12］，分值為8；等級6 為大于12 h，分值為10。

8）停機時間（F8）。裝備停機時間主要指從裝備發(fā)生故障到修理工作開始啟動的時間，體現(xiàn)了對人力資源和保障經(jīng)費的需要程度，不僅和維修性有關，同時也和可靠性有關。依據(jù)停機時間分為6 類，單位為h，等級1 為小于0.5 h，分值為1；等級2 為（0.5，1］，分值為2；等級3 為（1，12］，分值為4；等級4 為（12，24］，分值為6；等級5 為（24，148］，分值為8；等級6 為大于148 h，分值為10；

9）修理難度（F9）。故障修理部分維修裝備的位置不同，其修理難度可能會存在很大差異，如艦艇上的裝備故障后，因受倉庫空間的限制會比陸地上的裝備維修起來難度比較大一些。依據(jù)故障修理的難易程度不同分為4 類，等級1 為容易，分值為1；等級2 為一般困難，分值為4；等級3 為比較困難，分值為7；等級4 為非常困難，分值為10。

10）停機費用（F10）。主要指裝備故障后續(xù)無法繼續(xù)完成上級賦予的使命任務帶來的損失，如戰(zhàn)爭時期因為某項備件缺失，導致作戰(zhàn)艦艇無法使用，那么帶來的損失是用錢無法來估量的。依據(jù)停機費用的不同劃分為4 個等級，單位為萬元，等級1 為小于1 萬元，分值為1；等級2 為（1，10］，分值為4；等級3 為（10，50］，分值為7；等級4 為大于50，分值為10。

11）維修費用（F11）。主要包括人力資源費用、備件購置費用及材料費用。依據(jù)修理費用的不同分為6 個等級，單位為萬元，等級1 為小于500，分值為1；等級2 為（500，1 000］，分值為2；等級3 為（1 000，5 000］，分值為4；等級4 為（5 000，10 000］，分值為6；等級5 為（10 000，50 000］，分值為8；等級6 為大于50 000，分值為10。

12）可監(jiān)測性（F12）。對于航空航天類裝備其對可靠性要求非常之高，要求可以實時監(jiān)測到裝備技術狀態(tài)，主要通過安裝壓力傳感器、溫度傳感器等各種監(jiān)視傳感器實現(xiàn)。依據(jù)監(jiān)測要求的不同，分為4個等級，等級1 為低，分值為1；等級2 為一般，分值為4；等級3 為高，分值為7；等級4 為非常高，分值為10。

1.2 備件重要度的求解過程

備件的重要度僅僅依靠說明書提供的數(shù)據(jù)是有所欠缺的，必須在靜態(tài)數(shù)據(jù)的基礎之上依據(jù)一些裝備實際工程實踐中的動態(tài)數(shù)據(jù)進行綜合確定，同時采用主客觀相結合的方法，即一方面依據(jù)裝備工程實踐中的指標，另一方面聘請相關領域的專家和裝備實際使用人員對裝備重要度進行打分，同時根據(jù)專業(yè)水平和裝備使用經(jīng)驗賦予不同打分人員不同的權重，最后綜合所有可能的情況得到備件重要度。

一般來說備件重要度應由相關領域的專家、相應裝備的使用人員及專業(yè)維修人員根據(jù)備件的12個指標確定，為了克服專家打分法的缺點，依據(jù)不同類型人員賦予不同的權重，最后將所有備件重要度進行歸一化處理，構成列和為1 的向量，處理之后的數(shù)據(jù)能夠相對比較準確體現(xiàn)12 個指標之間的差異性，具體計算流程如下所示。

Step1：構建m 個備件和n 個指標之間的（xij）m×n矩陣。

式中，m 為設備數(shù)量；n 為指標數(shù)量。

Step2：在矩陣（xij）m×n的基礎之上，l 個不同領域的專家和專業(yè)人員依據(jù)n 個指標給備件的k 個重要度進行打分，構成（yij）l×k矩陣。

式中，l 為專家和專業(yè)人員的數(shù)量；k 為備件的重要度數(shù)量。

式中，Yk為L 個專家針對某備件重要度的打分分值之和。

Step5：依據(jù)式（3）的結果，構建備件重要度的標準化向量，并進行歸一化處理。

2 裝備可用度建模

2.1 裝備可用度模型

1）期望短缺數(shù)EBO

當裝備因為故障出現(xiàn)故障需要時，但倉庫卻沒有備件，此時便記為1 次備件短缺，即：

式中，s 為需要的備件在倉庫中存儲的數(shù)量；pr（x）為上級倉庫即將補充備件的穩(wěn)態(tài)概率分布；從Plam 定理的數(shù)學角度可知，pr（x）服從泊松函數(shù)分布，即

其中：

2）裝備可用度

依據(jù)METRIC 模型和裝備的修理參數(shù)，可以求出裝備的可用度，即

式中，Nj為設備j 在裝備上的安裝個數(shù)；Zi為備件i在單個裝備上的安裝個數(shù)；Pj為裝備可用度；式（9）成立的前提條件必須滿足備件重要度相同，且不進行備件的橫向供應或故障件的串件拼修。

對式（15）兩邊取以e 為底對數(shù)，即

對式（10）取以e 為底的指數(shù)，適當變形可得到：

2.2 裝備可用度的增量模型

假設為保障上級賦予使命任務的完成，在有限的保障經(jīng)費控制范圍內(nèi)，在原有備件的基礎之上，每增加一個備件攜帶，此時用該備件產(chǎn)生的備件短缺數(shù)的降低量或者可用度的增加量除以“邊際成本”即可得到“邊際效益”值，可用ΔEBO 或ΔP 表示，即

式中，ci為邊際成本。

裝備可用度按式（12）進行適當調(diào)整即可得到，即

2.3 基于備件重要度的邊際效益模型

在不考慮備件重要度的情況下，按2.1～2.2 節(jié)的模型和方法，可以求出備件攜帶方案，但在實際工程實踐中，備件的重要性顯然是存在差異的，必須要對2.1～2.2 節(jié)模型和方法進行適當調(diào)整，使其更加符合工程實踐需要。

在1.1～1.2 節(jié)基礎之上，將得到的備件重要度和2.1～2.2 節(jié)模型進行結合即可得到新的邊際效益值，即

式中，ΔA'為考慮備件重要度后新的邊際效益值。

除去誤報警、零位漂移等因素的影響，依據(jù)給定的修理參數(shù)，可以求出設備的需求率mi，即

式中，MTBFi為故障間隔時間、Zi為設備單機安裝個數(shù)；Ti為裝備執(zhí)行任務周期中實際使用時間。

3 模型建立

模型的建立主要分為3 個方面：約束條件和目標函數(shù)、模型求解和模型建立。

3.1 約束條件、目標函數(shù)和模型建立

1）約束條件和目標函數(shù)

約束條件和目標函數(shù)，依據(jù)決策的側(cè)重點不同，可以在一定條件下相互轉(zhuǎn)化，依據(jù)不同的工程實踐情況可以有不同的組合，但本文提供的方法和模型依然適用，求解步驟的本質(zhì)是相同的，只要適當變換即可。

因倉庫空間有限，不能無限制地存儲所有需要的備件，如艦船上的倉庫空間，故在制定庫存方案時，需要考慮倉庫空間的最大值，即

式中，vi為需要的備件占用空間的大??；Vt為倉庫空間能容納備件體積的極限值。

決策者在制定備件庫存方案時比較關心在滿足可用度最低要求時，此時裝備的備件庫存方案和保障經(jīng)費。

式中，Ps為庫存系統(tǒng)方案下的裝備可用度；P0為決策者對裝備可用度的最低要求。

因保障經(jīng)費有限，導致無法購買所有需要的備品備件，需要進行優(yōu)化，使保障效益最大化，重點照顧重要性高的備件的同時兼顧重要性一般的備件，即

式中，ci為備件i 的購買單價；Ct為上級給定保障經(jīng)費額度。

2）模型建立

決策者一般比較關心在滿足裝備可用度最低要求的情況下，最優(yōu)保障經(jīng)費或者在給定的保障經(jīng)費條件下裝備能夠達到的最優(yōu)可用度，這兩個問題的本質(zhì)是一樣的，因篇幅有限，本文只選擇一個問題進行研究，即

3.2 模型求解

模型求解主要包括8 步，具體如下：

Step1 從1.1 節(jié)可知，此時輸入變量不止一個，需要引入拉格朗日乘子法，將其變成一個綜合約束因子，即

Step2 將備品備件的體積因子和費用因子轉(zhuǎn)化成綜合約束因子后，此時裝備可用度可以依據(jù)綜合約束因子表示為：

對式（22）兩邊同時取以e 為底的對數(shù)，即

Step3 計算在某約束條件下的備件攜帶方案，計算此時可約束指標為滿足要求時的實際值大小，引入拉格朗日乘子法，求出約束條件因子，以保障費用為例進行說明，即

Step4 此時，依據(jù)式（21）計算得到綜合約束因子的矩陣為：

Step5 對式（23）進行適當數(shù)學變換可得邊際增量為：

Step6 依據(jù)式（24）～式（25），進行適當數(shù)學變換可以得到邊際效益值，本文用Δ 表示，即

Step7 計算在給定目標函數(shù)下約束指標需要的最優(yōu)值，和給定的指標上限進行對比，判斷其是否超過，若未超過，則運算結果為最優(yōu)方案；若超過，則需要更新綜合約束因子或者增加指標值大小，即

Step8 依據(jù)式（24）～式（25）重新計算邊際效益值，即

Step9 重復Step6～Step8，直到得到滿足全部指標要求的方案為止。

4 實例分析

本文以某新型裝備備件清單為研究對象，因其備件數(shù)以萬計，且本文的主要目的在于介紹方法和求解思路，故本文選取其中比較有代表性的10 個電 子 類 備 件（LRU1、LRU2、LRU3、LRU4、LRU5、LRU6、LRU7、LRU8、LRU9、LRU10）作為研究目標。

假設裝備要執(zhí)行為期3 個月使命任務，裝備每天平均要工作20 h，則3 個月共工作1 800 h；10 個裝備在某新型裝備上的安裝數(shù)量都為1 個，10 個裝備的平均故障間隔時間為（1 984、1 755、572、753、1 005、1 930、2 300、1 355、2 032、2 968）備件的購置費用分別為（0.91、0.15、0.38、0.65、0.31、0.45、0.28、0.76、0.55、1.12），單位為萬元；10 個備件的體積大小 為（0.83、1.23、0.88、0.11、0.15、0.33、0.72、0.29、0.27、0.31），單位為m3；以任務周期記，10 個備件供應 周 期 分 別 為（0.08、0.09、0.09、0.08、0.67、0.09、0.09、0.12、0.14、0.09），單位為h。

聘請1 名教授、2 名副教授和2 名裝備使用人員，賦予權重為（0.3、0.2、0.2、0.15、0.15），按上述給定的修理數(shù)據(jù)，結合1.1～1.2 節(jié)內(nèi)容，計算得到10個備件重要度分別為（4.21、5.1、4.43、4.51、5、4.51、5.24、4.95、4.93、5.12），進行歸一化處理，得到（0.087 8、0.106 3、0.092 2、0.093 9、0.104 2、0.094 1、0.109 2、0.103 1、0.102 6、0.106 6）。

假設上級對裝備可用度最低要求為95%，倉庫空間為20 m3，計算此時最優(yōu)保障費用，采用MATLAB 程序進行計算，當循環(huán)36 次時，裝備可用度為94.33%，不滿足要求，當循環(huán)37 次時，裝備可用度為95.06%，滿足要求，此時備件方案為（4、2、2、2、5、4、5、4、4、5），需要的倉庫空間為19.22 m3，此時最優(yōu)保證經(jīng)費為16.59 萬元，具體情況如圖2 所示。

以上述方案為基礎，依據(jù)2.1～2.3 節(jié)模型和求解步驟，求出10 個備件的綜合約束因子為（1.682 2、1.294 5、1.198 8、1.682 8、0.449 6、0.757、0.949 9、1.03、0.801 2、0.408 4），引入求出的10 個備件重要度，當循環(huán)24 次時，此時裝備可用度為94.98%不滿足要求，循環(huán)到25 次時，此時裝備可用度為95.32%，滿足要求，可求出此時備件配置方案為（2、1、1、1、3、3、3、3、3、4），需要的倉庫空間為11.4 m3，此時最優(yōu)保證經(jīng)費為10.53 萬元，具體情況如圖3 所示。

將圖2 和圖3 進行對比分析可知：圖3 的方案比圖2 的方案更加優(yōu)化。圖2 的方案是在考慮裝備可用度和倉庫空間大小的情況下得到，滿足決策者要求，但卻沒有考慮備件重要性；圖3 是在圖2 計算的基礎之上，考慮了備件的重要性，將圖2 中的備件儲存方案進行了進一步的優(yōu)化，從計算結果已經(jīng)證明了圖3 思路是更優(yōu)化的方案。

圖2 10 個備件的費效曲線

圖3 基于備件重要度的10 個備件攜帶方案

5 結論

1）給出了備件重要度的12 個評價指標，并給出了備件保障領域?qū)＜乙罁?jù)其求出備件重要度的方法和模型；

2）將邊際效應法進行了改進，對其適用范圍進行了拓寬，使其在重點兼顧重要度比較高的備件的同時，兼顧重要度一般的備件，在保障經(jīng)費比較緊張的條件下，具有非常大的經(jīng)濟效益；

3）本文重點給出了當備件重要度不一致時的邊際效應法改進辦法，并給出了解決問題的辦法和求解步驟。在具體的工程實踐中重要度指標可以適當調(diào)整，可以增加或刪減一些指標，但具體求解問題的方法和模型步驟依然適用；

4）當問題有單層級變化成多層多級時，模型和方法將變得更加復雜，同時求解難度將繼續(xù)增大，這類問題將是后續(xù)研究的重點關注領域，