汪海鯨

學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中，會(huì)不可避免地產(chǎn)生這樣或那樣的錯(cuò)誤。有的錯(cuò)題有一定的典型性，充分利用這些錯(cuò)題資源，能夠挖掘出隱藏在錯(cuò)題背后的內(nèi)涵，進(jìn)而將錯(cuò)誤轉(zhuǎn)化為教師的教學(xué)智慧，讓它成為寶貴的教學(xué)資源。同時(shí)，把錯(cuò)誤轉(zhuǎn)化為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)的資源，進(jìn)行作業(yè)練習(xí)的再設(shè)計(jì)，能夠讓錯(cuò)誤成為提高學(xué)生思維能力的生長(zhǎng)點(diǎn)。

一、學(xué)生錯(cuò)誤產(chǎn)生的主要根源

一是基本概念理解不清。數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)知識(shí)體系的支柱。在初中階段，數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)是構(gòu)建整個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)體系的關(guān)鍵。然而，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生往往忽視了對(duì)概念的理解與掌握，存在理解不透徹、概念混淆等情況。例如，當(dāng)m、n都為自然數(shù)時(shí)，那多項(xiàng)式am+bn+2m+n的次數(shù)是多少？學(xué)生的答案有三種，即m、n和m+n，但都是錯(cuò)誤的。究其原因，是學(xué)生對(duì)多項(xiàng)式“次數(shù)”這一概念的理解不到位。

二是基本運(yùn)算存在錯(cuò)誤?！墩n程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》對(duì)各學(xué)段的運(yùn)算提出了明確的要求，即學(xué)生要掌握必要的運(yùn)算（包括估算）技能。但學(xué)生在學(xué)習(xí)中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤。究其原因，是學(xué)生存在因視覺(jué)遷移而引起的認(rèn)知錯(cuò)誤和沒(méi)有完全掌握運(yùn)算法則等。例如，在計(jì)算（x-2y）（x+3y）-（-x+y）（-x-y）中，學(xué)生的錯(cuò)誤率較高。究其原因，是學(xué)生沒(méi)有發(fā)覺(jué)（-x+y）（-x-y）可利用平方差的公式來(lái)計(jì)算;或已知道可用平方差公式來(lái)計(jì)算，但沒(méi)有找到其中那個(gè)單項(xiàng)式所對(duì)應(yīng)的平方差公式里面的a與b;或?qū)?（-x+y）（-x-y）前面的減號(hào)，沒(méi)有對(duì)“后式”進(jìn)行整體變號(hào)，從而造成了計(jì)算錯(cuò)誤。

三是數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的缺失。數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的形成在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中占據(jù)核心地位。生活中，人們經(jīng)常要運(yùn)用數(shù)學(xué)的方法去思考和解決問(wèn)題。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，需要學(xué)生綜合運(yùn)用基本的數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想，來(lái)逐步形成數(shù)學(xué)能力，發(fā)展數(shù)學(xué)思維。因此，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，如果學(xué)生缺乏觀察、分析、判斷和創(chuàng)造性思維能力，就會(huì)在解題中出現(xiàn)錯(cuò)誤。例如，關(guān)于x的方程=1的解是負(fù)數(shù)，求a的取值范圍。很多學(xué)生的答案是a<1，但實(shí)際結(jié)果是同時(shí)要求a≠0。其中所暴露出的問(wèn)題，就是學(xué)生在問(wèn)題解決的過(guò)程中缺乏觀察與判斷，以致對(duì)問(wèn)題產(chǎn)生片面性思考。

四是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情境的缺失。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開情境的建構(gòu)，否則容易形成錯(cuò)誤的理解。小學(xué)數(shù)學(xué)中有這樣一個(gè)問(wèn)題：一輛大客車能坐48名乘客，如果全校1034名師生坐這種大客車去野外做實(shí)踐活動(dòng)，那一共需多少輛大客車？這個(gè)問(wèn)題正確的計(jì)算結(jié)果是“1034除以48等于21，余數(shù)為26”。但有31%的學(xué)生回答所需大客車的數(shù)量為“21輛26人”;25%的學(xué)生回答所需大客車的數(shù)量為“21輛”;24%的學(xué)生回答正確，即所需大客車的數(shù)量為“22輛”;20%的學(xué)生計(jì)算錯(cuò)誤。出現(xiàn)這種情況的原因是學(xué)生沒(méi)有理解題中情境的意義，這就不利于學(xué)生數(shù)學(xué)能力的形成。

二、錯(cuò)題導(dǎo)課激發(fā)學(xué)生探知欲

學(xué)生在解題過(guò)程中出現(xiàn)的錯(cuò)誤是很好的教學(xué)資源，如果能恰當(dāng)運(yùn)用，就可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，使學(xué)生對(duì)問(wèn)題形成認(rèn)知沖突，從而提高學(xué)生的思維能力與積極性。例如，在滬教版八年級(jí)上“一元二次方程的應(yīng)用（2）”的教學(xué)過(guò)程中，其導(dǎo)入一般是從課本上的例題3（見(jiàn)圖1）引出來(lái)的，大部分學(xué)生都能夠理解掌握。但若將題目中的鐵柵欄開一扇2米的門，再讓學(xué)生根據(jù)圍成的面積求邊長(zhǎng)，很多學(xué)生就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤。這時(shí)，就可對(duì)例題3進(jìn)行改編，即將臨時(shí)倉(cāng)庫(kù)的一邊開一扇2米寬的門。這使學(xué)生們形成了兩種意見(jiàn)：對(duì)“2米寬的門”中的“2”這個(gè)量，在設(shè)長(zhǎng)度時(shí)，是“加上2”，還是“減去2”。這時(shí)，教師應(yīng)放慢節(jié)奏，不做判斷，讓各方代表充分發(fā)表自己的意見(jiàn)，讓其他學(xué)生在聽的過(guò)程中思考用何種列式更合理。這樣，恰當(dāng)利用學(xué)生在問(wèn)題認(rèn)知上的錯(cuò)誤，引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，讓他們養(yǎng)成主動(dòng)思考的習(xí)慣。當(dāng)教師發(fā)現(xiàn)學(xué)生出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，要及時(shí)利用學(xué)生的錯(cuò)誤引導(dǎo)他們思考，讓他們找到分析問(wèn)題的正確思路。

三、利用學(xué)生的錯(cuò)題突破重難點(diǎn)

一是將難點(diǎn)分解轉(zhuǎn)化。對(duì)于教學(xué)中的重難點(diǎn)問(wèn)題，需要教師給學(xué)生設(shè)計(jì)一個(gè)與已有知識(shí)緊密相連的學(xué)習(xí)過(guò)程。如在滬教版八年級(jí)上“一元二次方程的應(yīng)用（1）”的教學(xué)中，需要學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中掌握以下知識(shí)：如何通過(guò)求解方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解來(lái)對(duì)多項(xiàng)式ax2+bx+c（a≠0）進(jìn)行因式分解;方程ax2+bx+c=0（a≠0）和多項(xiàng)式ax2+bx+c（a≠0）因式分解之間是什么關(guān)系。學(xué)生在探究這兩個(gè)問(wèn)題時(shí)，不是出現(xiàn)求根的錯(cuò)誤，就是容易漏掉二次項(xiàng)的系數(shù)a，或出現(xiàn)符號(hào)的錯(cuò)誤。倘若仿照一元二次方程求根公式法的推導(dǎo)過(guò)程，對(duì)二次三項(xiàng)式ax2+bx+c（a≠0）進(jìn)行配方，配成完全平方式的形式來(lái)處理，就會(huì)發(fā)現(xiàn)二次三項(xiàng)式因式分解的方法，還會(huì)找到它與一元二次方程求根公式之間的聯(lián)系，有利于學(xué)生對(duì)這節(jié)課的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行更深入的理解和把握。

二是滲透數(shù)學(xué)思想。數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵，是將數(shù)學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)能力的橋梁。例如，在滬教版八年級(jí)上“一元二次方程”的學(xué)習(xí)過(guò)程中，分類討論思想的滲透是很重要的一環(huán)。學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中，往往存在片面看待問(wèn)題的現(xiàn)象，故容易造成錯(cuò)誤。例如，已知方程m2x2+（2m+1）x+1=0有實(shí)數(shù)根，求m的取值范圍。關(guān)于字母系數(shù)的取值范圍是學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，因?yàn)檫@里并未指明是二次方程，故要考慮是一次方程的可能。教學(xué)中，教師可將分類討論的數(shù)學(xué)思想方法的一般解題步驟提煉出來(lái)，供學(xué)生參考：第一，明確討論的對(duì)象;第二，進(jìn)行合理分類，而且要有個(gè)明確的分類標(biāo)準(zhǔn)，還要注意分類是否有遺漏、重復(fù);第三，逐類討論，分級(jí)進(jìn)行。

四、利用錯(cuò)題進(jìn)行作業(yè)設(shè)計(jì)

在滬教版八年級(jí)上“一元二次方程的概念”的學(xué)習(xí)中，學(xué)生很容易對(duì)一元二次方程概念的理解與掌握出現(xiàn)錯(cuò)誤。究其原因，是學(xué)生在“一元二次方程二次項(xiàng)系數(shù)不為零”問(wèn)題的討論上容易遺漏。為此，在針對(duì)此項(xiàng)內(nèi)容的學(xué)習(xí)與掌握上，教師可在本單元的練習(xí)設(shè)計(jì)中，從不同層次、不同知識(shí)上滲透對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)不為零的討論，讓學(xué)生從不同的角度深化對(duì)一元二次方程概念的理解，提升學(xué)生對(duì)這一概念在不同情形下的運(yùn)用與掌握，從而不斷鞏固學(xué)生所學(xué)的知識(shí)，不斷提升學(xué)生的思維品質(zhì)。

以上是通過(guò)分析學(xué)生錯(cuò)誤產(chǎn)生的原因，來(lái)反思教師在教學(xué)過(guò)程中的得與失，以及它與學(xué)生的學(xué)法之間的關(guān)聯(lián)，進(jìn)而不斷完善教學(xué)方式方法;通過(guò)教學(xué)環(huán)節(jié)的改進(jìn)、習(xí)題的配置，達(dá)到提高學(xué)生預(yù)見(jiàn)錯(cuò)題的能力，變錯(cuò)題為提高學(xué)習(xí)效率的資源。

（責(zé)任編輯? ?郭向和）