姜楚華

數(shù)學(xué)研究的對(duì)象可以是特殊的或一般的，可以是具體的或抽象的，可以是靜止的或運(yùn)動(dòng)的，可以是有限的或無(wú)限的，它們之間是矛盾的對(duì)立統(tǒng)一。對(duì)有限的研究往往先于對(duì)無(wú)限的研究。對(duì)有限個(gè)研究對(duì)象的研究往往有章可循，并積累了一定的經(jīng)驗(yàn)，而對(duì)無(wú)限個(gè)研究對(duì)象的研究，卻往往不知如何下手，顯得經(jīng)驗(yàn)不足，于是將對(duì)無(wú)限的研究化成對(duì)有限的研究，就成了解決無(wú)限問(wèn)題的必經(jīng)之路。反之，當(dāng)積累了解決無(wú)限問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)之后，可以將有限問(wèn)題轉(zhuǎn)化成無(wú)限問(wèn)題來(lái)解決。這種無(wú)限化有限、有限化無(wú)限的解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法就是有限與無(wú)限思想。

小學(xué)數(shù)學(xué)里有些問(wèn)題不是通過(guò)初等數(shù)學(xué)的方法解決的，如圓的面積無(wú)法直接按照求長(zhǎng)方形面積的方法來(lái)計(jì)算。我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽為了計(jì)算圓的面積和圓周率，曾經(jīng)創(chuàng)立了“割圓術(shù)”。具體做法是：先作圓的內(nèi)接正六邊形，再作內(nèi)接正十二邊形……隨著邊數(shù)的不斷增加，正多邊形越來(lái)越接近于圓，那么它的面積和周長(zhǎng)也越來(lái)越接近于圓的面積和周長(zhǎng)。劉徽在描述這種做法時(shí)說(shuō)“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”。也就是說(shuō)，隨著正多邊形的邊數(shù)無(wú)限增加，圓內(nèi)接正多邊形就轉(zhuǎn)化為圓。這種思想就是一種極限思想，即用無(wú)限逼近的方式來(lái)研究數(shù)量的變化趨勢(shì)的思想。

小學(xué)數(shù)學(xué)中還滲透著既對(duì)立又統(tǒng)一的辯證思維，如加與減、乘與除是學(xué)生非常熟悉的辯證關(guān)系。有限與無(wú)限思想中也滲透著有限與無(wú)限、曲與直、變與不變的辯證關(guān)系。我們知道，多邊形的面積直接用公式就可以計(jì)算出來(lái)，但如果其中有的邊改成曲邊，就無(wú)法直接用多邊形的面積公式計(jì)算，而要用定積分來(lái)求了。如：計(jì)算曲邊梯形（直角梯形的斜邊是曲邊）的面積，就是先把曲邊梯形平均分成[n]個(gè)小曲邊梯形，在每個(gè)小曲邊梯形里取一個(gè)最大的小矩形，這時(shí)[n]個(gè)小矩形的面積接近于[n]個(gè)小曲邊梯形的面積的和。當(dāng)[n]越來(lái)越大時(shí)，小矩形的面積和就越來(lái)越接近于相應(yīng)的曲邊梯形的面積;當(dāng)[n]趨向于無(wú)窮大時(shí)，如果極限存在，記作[S]，最后[S]就等于所有的小曲邊梯形的面積的和了，那么就得到了曲邊梯形的面積是[S]。這是從有限的曲邊梯形的面積中找到無(wú)限個(gè)小矩形的面積，再?gòu)臒o(wú)限個(gè)小矩形的面積的無(wú)限變化中回歸到曲邊梯形的有限的面積的過(guò)程，體現(xiàn)了有限與無(wú)限、曲與直相互轉(zhuǎn)化的辯證思想。

有限與無(wú)限思想在小學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用和滲透，主要體現(xiàn)在以下幾點(diǎn)。

首先，在數(shù)的認(rèn)識(shí)中體會(huì)有限與無(wú)限的思想。小學(xué)生從一年級(jí)開(kāi)始就認(rèn)識(shí)自然數(shù)0、1、2、3……同時(shí)知道每個(gè)自然數(shù)加1就等于它的后繼數(shù)。到了認(rèn)識(shí)億以?xún)?nèi)的數(shù)時(shí)，進(jìn)一步知道了最小自然數(shù)是0，沒(méi)有最大的自然數(shù)，自然數(shù)的個(gè)數(shù)是無(wú)限的。也就是說(shuō)，任意給定一個(gè)足夠大的自然數(shù)N，只需要把它加1，就會(huì)得到一個(gè)更大的自然數(shù)[N]+1，[N]+1>[N]，所以總是找不到一個(gè)最大的自然數(shù)。由此可以推廣到奇數(shù)、偶數(shù)、一個(gè)數(shù)的倍數(shù)、兩個(gè)數(shù)的公倍數(shù)等都沒(méi)有最大的，都有無(wú)限多個(gè)。在學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)時(shí)，學(xué)生知道分母不同、分?jǐn)?shù)值相等的分?jǐn)?shù)有無(wú)限多個(gè)。在學(xué)習(xí)小數(shù)時(shí)，首先認(rèn)識(shí)的是有限小數(shù)，然后認(rèn)識(shí)無(wú)限循環(huán)小數(shù)，還知道圓周率是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)。

其次，在數(shù)的計(jì)算中體會(huì)有限與無(wú)限思想。小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的數(shù)的計(jì)算一般都是經(jīng)過(guò)有限的幾步計(jì)算就可以解決的問(wèn)題。作為知識(shí)的拓展，可適當(dāng)介紹一些無(wú)限多個(gè)數(shù)相加的問(wèn)題，如在數(shù)形結(jié)合思想中介紹無(wú)窮多個(gè)分?jǐn)?shù)相加的問(wèn)題。我國(guó)古代思想家莊子曾說(shuō)過(guò)“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭”。這句話(huà)可用下面的數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)描述，長(zhǎng)度為單位1的線(xiàn)段，第一天取走全長(zhǎng)的一半，以后每天取走剩下的一半，永遠(yuǎn)有剩余。用無(wú)窮等比遞縮數(shù)列的和來(lái)表示取走的長(zhǎng)度，就是數(shù)形結(jié)合思想中的案例。另外，循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)的問(wèn)題，也可以利用極限思想和數(shù)形結(jié)合思想來(lái)計(jì)算。

其三，在認(rèn)識(shí)圖形時(shí)滲透無(wú)限的思想。與自然數(shù)列的趨向無(wú)窮大類(lèi)似，有些圖形也具有無(wú)限長(zhǎng)的特性，如直線(xiàn)、射線(xiàn)、角的邊、平行線(xiàn)等，都具有無(wú)限延伸的特性，可以滲透無(wú)限的思想。

最后，在圓的面積、圓柱的體積的計(jì)算中滲透極限思想。如上所述，在小學(xué)數(shù)學(xué)中，圓的面積不能像求長(zhǎng)方形的面積那樣直接利用公式計(jì)算，圓柱的體積不能像長(zhǎng)方體那樣直接利用公式計(jì)算。利用有限與無(wú)限思想可以解決這些問(wèn)題，如計(jì)算圓的面積時(shí)，先把圓平均分成若干等份，拼成近似的長(zhǎng)方形，但它還不是長(zhǎng)方形，仍然無(wú)法直接按照求長(zhǎng)方形面積的方法來(lái)求，因?yàn)橐粋€(gè)圓不論進(jìn)行怎樣細(xì)小的有限次的分割拼補(bǔ)，都無(wú)法真正拼成一個(gè)長(zhǎng)方形。這時(shí)，只有借助極限思想，把圓分割得越細(xì)小，所拼成的圖形就越接近于長(zhǎng)方形。這樣無(wú)限地分下去，拼成的圖形面積就越趨向于長(zhǎng)方形的面積。最后，通過(guò)取極限來(lái)得到它的面積。這是有限與無(wú)限思想在小學(xué)數(shù)學(xué)中最完美的體現(xiàn)。也就是說(shuō)，極限思想是這樣操作的理論基礎(chǔ)和計(jì)算精確性的保證。

有限與無(wú)限的概念是抽象的、辯證的，在教學(xué)中應(yīng)注意下面的問(wèn)題。

一是要準(zhǔn)確把握有關(guān)有限與無(wú)限的一些概念、教學(xué)要求和解題方法。有限與無(wú)限思想是用無(wú)限逼近的方式來(lái)研究數(shù)量的變化趨勢(shì)的思想理解這句話(huà)要抓住兩個(gè)關(guān)鍵語(yǔ)句：一個(gè)是變化的量是無(wú)窮多個(gè)，另一個(gè)是無(wú)限變化的量趨向于一個(gè)確定的常數(shù)，二者缺一不可。如：自然數(shù)列是無(wú)限的，但是它趨向于無(wú)窮大，不趨向于一個(gè)確定的常數(shù)，因而自然數(shù)列沒(méi)有極限。教學(xué)中要讓學(xué)生體會(huì)無(wú)限，更重要的是通過(guò)具體案例讓他們體會(huì)無(wú)限變化的量趨向于一個(gè)確定的常數(shù)，而有限與無(wú)限思想以及在此基礎(chǔ)上定義的導(dǎo)數(shù)、定積分是解決用函數(shù)表達(dá)的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的有力工具。有限與無(wú)限是辯證思維的一種體現(xiàn)，要辯證地看待二者的關(guān)系，不要用初等數(shù)學(xué)的“有限的”眼光看“無(wú)限的”問(wèn)題，要用極限思想看無(wú)限，極限方法是一種處理無(wú)限變化的量的變化趨勢(shì)的有力工具。換句話(huà)說(shuō)，當(dāng)我們面對(duì)無(wú)限的問(wèn)題時(shí)，就不要再用有限的觀(guān)點(diǎn)來(lái)思考，要進(jìn)入無(wú)限的狀態(tài)。

二是對(duì)循環(huán)小數(shù)和無(wú)限不循環(huán)小數(shù)的理解和表示也體現(xiàn)了有限與無(wú)限的辯證關(guān)系。我們知道，在中學(xué)數(shù)學(xué)里一般用整數(shù)和分?jǐn)?shù)來(lái)定義有理數(shù)，用無(wú)限不循環(huán)小數(shù)來(lái)定義無(wú)理數(shù)，有理數(shù)和無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為實(shí)數(shù)。有理數(shù)包括整數(shù)、有限小數(shù)和循環(huán)小數(shù)。整數(shù)和有限小數(shù)化成分?jǐn)?shù)是學(xué)生非常熟悉的，循環(huán)小數(shù)怎樣化成分?jǐn)?shù)呢？我們以前曾經(jīng)介紹過(guò)用方程的方法可以解決這一問(wèn)題。下面我們?cè)儆糜邢夼c無(wú)限思想來(lái)解決。

例如：把循環(huán)小數(shù)0.999…化成分?jǐn)?shù)。0.999…是一個(gè)循環(huán)小數(shù)，它的小數(shù)部分的位數(shù)有無(wú)限多個(gè)。對(duì)于小學(xué)生來(lái)說(shuō)，能夠接受的方式是通過(guò)數(shù)形結(jié)合的方法，構(gòu)造一個(gè)直觀(guān)的幾何圖形來(lái)描述極限思想。先看數(shù)列0.9，0.09，0.009……我們可以用數(shù)形結(jié)合的思想，把這個(gè)數(shù)列用線(xiàn)段構(gòu)造如下：把一條長(zhǎng)度是1的線(xiàn)段，先平均分成10份，取其中的9份;然后把剩下的1份再平均分成10份，取其中的9份所有取走的線(xiàn)段的長(zhǎng)度是0.9+0.09+0.009+…=0.999…如此無(wú)限地取下去，剩下的線(xiàn)段長(zhǎng)度趨向于0，取走的長(zhǎng)度趨向于1，根據(jù)極限思想，可得0.999…=1。

對(duì)于教師而言，光有有限與無(wú)限思想的滲透是不夠的，還需要進(jìn)一步理解如何用極限方法來(lái)解決。這是一個(gè)無(wú)窮等比遞縮數(shù)列的求和問(wèn)題，根據(jù)公式可得0.9+0.09+0.009+…=0.9÷（1-0.1）=1，所以0.999…=1。也許有的老師會(huì)認(rèn)為，無(wú)限循環(huán)小數(shù)的位數(shù)是無(wú)限的，永遠(yuǎn)小于1。這是一種錯(cuò)誤的認(rèn)識(shí)，出現(xiàn)這種錯(cuò)誤的原因是用有限的觀(guān)點(diǎn)來(lái)看待無(wú)限。這樣的問(wèn)題在數(shù)學(xué)上應(yīng)該用極限的方法來(lái)解決，因?yàn)檫@是一個(gè)無(wú)窮等比遞縮數(shù)列求和的問(wèn)題，即前[n]項(xiàng)的和（當(dāng)[n]趨向于無(wú)窮大時(shí)）的極限為1，所以上面數(shù)列的和是1。這時(shí)有的老師可能又會(huì)認(rèn)為，極限是1，數(shù)列的和是1，就是一定能取完。這種觀(guān)點(diǎn)也只說(shuō)對(duì)了一半，也就是說(shuō)用極限1作為數(shù)列的和是對(duì)的，但是原因說(shuō)得不十分準(zhǔn)確。如上所述，極限的概念里沒(méi)有說(shuō)變化的量最后是否一定達(dá)到1，只需要當(dāng)[n]足夠大時(shí)，與1的距離要多小就有多小就足夠了。通俗地說(shuō)，在數(shù)軸上，你可以先任意取一個(gè)很小的正數(shù)ε，針對(duì)這個(gè)ε，只要找到一個(gè)正整數(shù)[N]，[N]+1以后的每一項(xiàng)都會(huì)落在區(qū)間（1-ε，1+ε）里，也許這里的每一項(xiàng)與1還有一點(diǎn)點(diǎn)距離，但是已經(jīng)不重要了，已經(jīng)不影響極限的數(shù)學(xué)游戲規(guī)則了，也就是不影響數(shù)列的和的取值了。

這個(gè)例子進(jìn)一步說(shuō)明，極限方法只關(guān)注一個(gè)無(wú)限的變化過(guò)程的確定趨勢(shì)是什么，只要趨勢(shì)確定并且符合極限的定義，那么這個(gè)無(wú)限變化的過(guò)程的結(jié)果就用極限來(lái)表示。它就是一個(gè)解決問(wèn)題的方法而已，只要符合極限的規(guī)則和邏輯，就可以用極限來(lái)表示無(wú)限變化的過(guò)程和結(jié)果，它并不關(guān)心這個(gè)無(wú)限變化的過(guò)程何時(shí)能到達(dá)極限，它本質(zhì)上不同于有限個(gè)數(shù)的和。

有限與無(wú)限思想在小學(xué)數(shù)學(xué)中有一定的應(yīng)用，但只是滲透而已，并不讓學(xué)生認(rèn)識(shí)相關(guān)概念，所以要準(zhǔn)確把握教學(xué)要求，不要增加學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)。

中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中也有很多地方蘊(yùn)含著有限與無(wú)限思想。例如教學(xué)“數(shù)列”時(shí)，可以設(shè)計(jì)如下問(wèn)題：已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1=a，an+1=1+[1an]。我們知道，當(dāng)a取不同的值時(shí)，得到不同的數(shù)列，如當(dāng)a=1時(shí)，得到無(wú)窮數(shù)列1，2，[32]，[53]……當(dāng)a=[-12]時(shí)，得到有窮數(shù)列[-12]，-1，0。（1）當(dāng)a為何值時(shí)，a4=0。（2）設(shè)數(shù)列{bn}滿(mǎn)足b1=-1， bn+1=[1bn-1]（[n∈N+]），求證a取數(shù)列{bn}中的任一個(gè)數(shù)，都可以得到一個(gè)有窮數(shù)列{an}。（3）若[32<][an<2]（[n≥4）]，求a的取值范圍。

上述問(wèn)題綜合交匯，設(shè)計(jì)立意新穎、視角獨(dú)特，充分體現(xiàn)了有限與無(wú)限的思想。如：對(duì)于問(wèn)題設(shè)計(jì)中的遞推關(guān)系，由于所給出的初始條件不同，得到的數(shù)列也不同，并在問(wèn)題中舉出了具體的例子;第（2）問(wèn)則可以通過(guò)有限次試驗(yàn)，得到對(duì)無(wú)限個(gè)[bn]都可以得到一個(gè)有窮數(shù)列[an]的猜想，再用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明;第（3）問(wèn)是通過(guò)有限次分析求的對(duì)無(wú)限個(gè)[n]都成立的結(jié)果。

有限與無(wú)限思想往往隱身在其他數(shù)學(xué)思想和方法使用的過(guò)程中。例如，使用由特殊到一般的歸納思想時(shí)，含有有限與無(wú)限的思想;使用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，解決的是無(wú)限的問(wèn)題，體現(xiàn)的是有限與無(wú)限的思想，等等。客觀(guān)世界是有限與無(wú)限的統(tǒng)一體，我們既可以通過(guò)有限來(lái)把握無(wú)限，也可以借助無(wú)限來(lái)確定有限，數(shù)學(xué)歸納法、數(shù)列極限、函數(shù)極限等都是由有限把握無(wú)限的極好例證。