■江西省贛州中學(xué)

函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容,是高中數(shù)學(xué)知識的一條主線,也是歷年高考數(shù)學(xué)的考查重點(diǎn),了解高考要求及近年來高考動(dòng)態(tài),熟悉并掌握各類函數(shù)問題的題型與解法,對于2 0 2 0年高考一輪復(fù)習(xí)備考,提高高考成績,有著非常重要的意義。本文以2019年高考函數(shù)試題為載體,聚焦其考查方向,歸納提煉其題型和求解的通性通法,希望對同學(xué)們的備考能有所幫助。

聚焦1——函數(shù)的概念、定義域、值域

1.函數(shù)的定義域。

例1 (2019年高考江蘇卷文4)函數(shù)的定義域是

解析：由題意得到關(guān)于x的不等式,解不等式可得函數(shù)的定義域。由已知得7+6xx2≥0,即x2-6x-7≤0,解得-1≤x≤7,故函數(shù)的定義域?yàn)閇-1,7]。

反思：求函數(shù)的定義域,從分式分母不為零、偶次根式下被開方數(shù)非負(fù)、對數(shù)中真數(shù)大于零等出發(fā)構(gòu)建不等式組求解,常常與集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算聯(lián)系在一起。有時(shí)還涉及復(fù)合函數(shù)的定義域,凸顯整體變量觀念的認(rèn)識和應(yīng)用。

2.利用初等函數(shù)區(qū)間上的單調(diào)性求值域。

例2 (2019年高考上海卷1 3)下列函數(shù)中,值域?yàn)閇0,+∞)的是( )。

解析：依據(jù)給定的基本初等函數(shù)逐一確定值域進(jìn)行判斷,對于A,y=2x的值域?yàn)?0,+∞),故A錯(cuò)誤。

對于C,y=t a nx的值域?yàn)?-∞,+∞),故C錯(cuò)誤。

對于D,y=cosx的值域?yàn)閇-1,1],故D錯(cuò)誤。

反思：冪、指數(shù)、對數(shù)函數(shù)及三角函數(shù)構(gòu)成基本的初等函數(shù),求基本初等函數(shù)在給定區(qū)間上的值域是函數(shù)的一個(gè)重要應(yīng)用,應(yīng)熟練掌握基本初等函數(shù)的圖像和性質(zhì)。

3.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)而確定最值。

例3 (2019年高考江蘇卷文1 0)在平面直角坐標(biāo)系x O y中,P是曲線(x＞0)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則點(diǎn)P到直線x+y=0的距離的最小值是

解析：平移直線x+y=0到與曲線y=相切的位置時(shí),切點(diǎn)Q與點(diǎn)P的距離即為點(diǎn)P到直線x+y=0的最小距離。設(shè)點(diǎn)Q(x0,y0),則由=-1,得舍去),即切點(diǎn),則切點(diǎn)Q到直線x+y=0的距離為,即點(diǎn)P到直線x+y=0的距離的最小值是4。

反思：曲線上任意一點(diǎn)到已知直線的最小距離,以形助數(shù)轉(zhuǎn)化為曲線上過切點(diǎn)的切線與已知直線平行的平行線間的距離,借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義確定切點(diǎn)坐標(biāo),利用點(diǎn)到直線的距離公式求解,滲透了直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)。凸顯數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法解題。

聚焦2——函數(shù)的圖像及其變換

1.函數(shù)解析式與其圖像匹配中的“函數(shù)性質(zhì)和排除法”的應(yīng)用。

例4 (2019年高考全國Ⅲ卷理7)函數(shù)在[-6,6]上的圖像大致為圖1中的( )。

圖1

解析：由分子、分母的奇偶性,易于確定函數(shù)為奇函數(shù),由f(4)的近似值即可得出結(jié)果。設(shè)則,所以f(x)是奇函數(shù),圖像關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱,排除選項(xiàng)C。又,排除選項(xiàng)D。,排除選項(xiàng)A。故選B。

反思：本題考查函數(shù)的圖像與性質(zhì),滲透了邏輯推理、直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng)。采取性質(zhì)法或賦值法,利用數(shù)形結(jié)合思想解題。函數(shù)解析式與函數(shù)圖像的匹配方法有:

(1)由函數(shù)的定義域,判斷圖像的左、右位置,由函數(shù)的值域,判斷圖像的上、下位置;

(2)由函數(shù)的單調(diào)性,判斷圖像的變化趨勢;

(3)由函數(shù)的奇偶性,判斷圖像的對稱性;

(4)由函數(shù)的周期性,判斷圖像的循環(huán)往復(fù)。

常常選用奇偶性和區(qū)間上的單調(diào)性,以及特殊值來尋求簡捷的解題途徑。

2.函數(shù)解析式與其圖像匹配中的“初等函數(shù)的性質(zhì)法”。

例5 (2019年高考浙江卷6)在同一直角坐標(biāo)系中,函數(shù)＞0且a≠0)的圖像可能是圖2中的( )。

解析：通過討論a的不同取值情況,結(jié)合指數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖像特征來推理及驗(yàn)證。

圖2

當(dāng)0＜a＜1時(shí),函數(shù)y=ax過定點(diǎn)(0,1)且單調(diào)遞減,則函數(shù)過定點(diǎn)(0,1)且單調(diào)遞增,函數(shù)過定點(diǎn)且單調(diào)遞減,D選項(xiàng)符合;當(dāng)a＞1時(shí),函數(shù)y=ax過定點(diǎn)(0,1)且單調(diào)遞增,則函數(shù)過定點(diǎn)(0,1)且單調(diào)遞減,函數(shù)y=過定點(diǎn)且單調(diào)遞增,各選項(xiàng)均不符合。故選D。

反思：基本函數(shù)特征反映在圖像的對稱性和單調(diào)性,以及恒過的定點(diǎn)等方面,用指數(shù)和對數(shù)借助底數(shù)分類確定函數(shù)單調(diào)性和過特殊點(diǎn)的方法合理推理,要求熟練掌握指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)。

聚焦3——靈活應(yīng)用函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行代數(shù)式的大小比較

例6 (2019年高考全國Ⅱ卷理6)若a＞b,則( )。

解法1：直接法求解,因?yàn)閍＞b,所以a-b＞0,當(dāng)a-b=1時(shí),ln(a-b)=0,故A錯(cuò)誤;因?yàn)閥=3x是增函數(shù),所以3a＞3b,故B錯(cuò)誤;因?yàn)閮绾瘮?shù)y=x3是增函數(shù),a＞b,所以a3＞b3,故C正確;取a=1,b=-2,滿足a＞b,但1=|a|＜|b|=2,故D錯(cuò)誤。

解法2：特殊值法,取a=2,b=1,滿足a＞b,ln(a-b)=0,故A錯(cuò)誤;因?yàn)?=3a＞3b=3,故B錯(cuò)誤;取a=1,b=-2,滿足a＞b,1=|a|＜|b|=2,故D錯(cuò)誤;因?yàn)閮绾瘮?shù)y=x3是增函數(shù),且a＞b,所以a3＞b3,故C正確。

反思：本題主要考查對數(shù)、指數(shù)、冪函數(shù)的性質(zhì)及絕對值意義,滲透了邏輯推理和運(yùn)算能力素養(yǎng)。