岳曉樂 向以琳 張瑩

(西北工業(yè)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系,西安 710072)

1 引 言

形狀記憶合金(shape memory alloy,SMA)表現(xiàn)出的獨(dú)特力學(xué)性能來源于馬氏體相變及其逆變化,相變的驅(qū)動(dòng)力可以由溫度變化和機(jī)械載荷提供,溫度誘發(fā)的相變引起形狀記憶效應(yīng),外加應(yīng)力誘導(dǎo)的相變產(chǎn)生超彈性.利用這兩個(gè)性質(zhì),SMA被制成各種參數(shù)可控的智能元件,在機(jī)翼結(jié)構(gòu)的變形、精密機(jī)械系統(tǒng)的高速驅(qū)動(dòng)及機(jī)器人仿生等方面得到廣泛應(yīng)用[1?5].目前關(guān)于SMA元件的力學(xué)性能研究主要集中在溫度和載荷變化下SMA梁、振子及支架系統(tǒng)的平衡點(diǎn)穩(wěn)定性、分岔行為及混沌現(xiàn)象等非線性動(dòng)力學(xué)特征方面[6?10],對于SMA薄板系統(tǒng)的全局動(dòng)力學(xué)研究較少,相較于局部分析,全局分析能夠揭示更多的動(dòng)力學(xué)信息[11],有利于從力學(xué)理論角度突破SMA薄板系統(tǒng)在機(jī)械驅(qū)動(dòng)和振動(dòng)控制等領(lǐng)域的局限性.

激變[12,13]作為混沌系統(tǒng)中較為常見的全局分岔現(xiàn)象,主要刻畫了混沌吸引子和混沌鞍的不連續(xù)變化.常見的激變包括邊界激變、內(nèi)部激變和合并激變.邊界激變是指混沌吸引子與吸引域邊界上的不穩(wěn)定周期軌道碰撞,導(dǎo)致吸引子的突然消失.內(nèi)部激變是混沌吸引子與其所在吸引域內(nèi)的不穩(wěn)定周期軌道發(fā)生碰撞引起的.合并激變是指兩個(gè)及以上的吸引子同時(shí)與吸引域邊界上的不穩(wěn)定周期軌道發(fā)生碰撞,合并形成新的吸引子.盡管通過分岔圖可以觀測到激變現(xiàn)象,但具體類型并不清楚,需進(jìn)一步繪制全局圖進(jìn)行判斷.近年來,不少系統(tǒng)的激變現(xiàn)象均有所研究,例如分?jǐn)?shù)階和單邊碰撞系統(tǒng)[14?17].

當(dāng)系統(tǒng)中存在多個(gè)吸引子時(shí),吸引域邊界可以是光滑的,也可以呈現(xiàn)出“你中有我,我中有你”的分形結(jié)構(gòu).如果吸引子的個(gè)數(shù)為三個(gè)及以上,且邊界上任一點(diǎn)的任意小領(lǐng)域,覆蓋三個(gè)及以上吸引域,則稱此域邊界具有Wada特性.隨著系統(tǒng)參數(shù)變化,域邊界結(jié)構(gòu)會(huì)突然發(fā)生改變,稱為域邊界突變,包括光滑-Wada域邊界突變、分形-Wada域邊界突變和Wada-Wada域邊界突變等.域邊界突變作為混沌動(dòng)力學(xué)的一個(gè)研究重點(diǎn),對于確定系統(tǒng)的整體結(jié)構(gòu)具有重要的物理意義,在非光滑系統(tǒng)和準(zhǔn)周期強(qiáng)迫系統(tǒng)[18,19]中都有所研究,但分形性使得動(dòng)力系統(tǒng)的力學(xué)行為很難預(yù)測,隨著胞映射技術(shù)的發(fā)展,域邊界突變和激變現(xiàn)象的研究得到了突破.其中經(jīng)典的廣義胞映射、圖胞映射、插值胞映射等方法均可獲得系統(tǒng)的全局信息[20?22],但在刻畫域邊界時(shí)有一定的局限性.復(fù)合胞坐標(biāo)系方法通過對連續(xù)相空間的多級分割構(gòu)造一個(gè)復(fù)合胞空間,基于點(diǎn)映射的原理,不僅可以獲取動(dòng)力系統(tǒng)的吸引子、吸引域和鞍等信息,還能細(xì)化任意小區(qū)域,在全局圖中優(yōu)化對域邊界的刻畫.

本文以SMA薄板動(dòng)力系統(tǒng)為研究對象,溫度和外部激勵(lì)的振幅為分岔參數(shù),在全局分岔圖的基礎(chǔ)上,通過復(fù)合胞坐標(biāo)系方法進(jìn)一步分析系統(tǒng)在演變過程中出現(xiàn)的激變類型和域邊界突變現(xiàn)象,并通過對指定區(qū)域的細(xì)化,展示域邊界的分形特征.研究結(jié)果在工程領(lǐng)域中對控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)有重要意義.

2 SMA薄板動(dòng)力系統(tǒng)

在SMA薄板中,相對于奧氏體,馬氏體更具延展性,當(dāng)外加應(yīng)力低于馬氏體的屈服強(qiáng)度時(shí),SMA薄板可表現(xiàn)出超彈性.馬氏體的轉(zhuǎn)變與溫度相關(guān),低溫相稱為馬氏體,高溫相稱為奧氏體,降溫時(shí)SMA薄板發(fā)生馬氏體相變,呈現(xiàn)形狀記憶效應(yīng).定義TM為馬氏體相變臨界溫度,該溫度之下,馬氏體穩(wěn)定;TA為奧氏體相變臨界溫度,該溫度之上,奧氏體穩(wěn)定,a,b,c均為材料常數(shù),滿足:

根據(jù)Falk[23]的研究,SMA薄板的本構(gòu)模型可以由一個(gè)五次多項(xiàng)式表示,該模型給出了應(yīng)變(e)-應(yīng)力(s)的關(guān)系:

Savi等[10,24]給出了很多關(guān)于SMA彈簧振子的數(shù)學(xué)模型,文獻(xiàn)[25]在此基礎(chǔ)上演變出SMA薄板橫向振動(dòng)的非線性動(dòng)力學(xué)模型.本文考慮密度r,厚度h,長寬分別為l1,l2的SMA薄板,在環(huán)境黏性阻尼e下,受到橫向簡諧激振力F0=FsinWt作用,如圖1所示.

圖1 SMA薄板的橫向振動(dòng)Fig.1.Transverse vibration of SMA thin plate.

薄板的橫向位移為w(x,y,t),單位長度上的內(nèi)力矩分別為Ux(x,y,t),Uy(x,y,t),Uxy(x,y,t),其橫向振動(dòng)方程為[25]

薄板面內(nèi)的3個(gè)應(yīng)力分別為sx,sy,txy,內(nèi)力矩為[25]

在滿足四周簡支邊界條件下取位移模式[25]:

通過Galerkin原理和應(yīng)變-應(yīng)力本構(gòu)關(guān)系,并對系統(tǒng)參數(shù)量綱歸一化,得到SMA薄板的橫向振動(dòng)非線性動(dòng)力學(xué)方程[25]:

方程(6)可化為以下形式的一階微分方程組:

其中a,x,b,g均為正常數(shù);q,g分別是無量綱化的溫度和簡諧激振力振幅.參數(shù)選取同文獻(xiàn)[24]所示,x=0.2,a=1,b=1300,g=470000,W=1.接下來基于復(fù)合胞坐標(biāo)系方法,分析溫度q和激勵(lì)振幅g兩個(gè)參數(shù)變化時(shí),SMA薄板系統(tǒng)的全局動(dòng)力學(xué)特性變化過程.

3 振幅對全局特性的影響

當(dāng)溫度q=0.7,此時(shí)SMA薄板位于馬氏體臨界溫度下,含有兩個(gè)穩(wěn)定的馬氏體相.選取不同的初值點(diǎn)(–0.0553,–0.09),(–0.031,0.045),(0.083,–0.032),(0.047,0.059)構(gòu)造Poincare映射,保留穩(wěn)態(tài)映射點(diǎn),得到對應(yīng)的多值分岔圖,如圖2所示.隨著幅值g值的變化,系統(tǒng)呈現(xiàn)明顯的多吸引子共存特征,并伴隨有豐富的激變和域邊界突變等現(xiàn)象.

圖2 系統(tǒng)(7)隨振幅g變化的多值分岔圖Fig.2.Multivalued bifurcation diagram of the system (7)with the variation of amplitude g.

圖3 系統(tǒng)(7)的全局圖 (a) g=0.0471; (b) g=0.0472Fig.3.Global diagram of the system (7): (a) g=0.0471; (b) g=0.0472.

在區(qū)域D={(x,y)|–0.1 ≤x≤ 0.1,–0.12 ≤y≤0.12}上,均勻劃分1000×1200個(gè)胞,利用復(fù)合胞坐標(biāo)系方法獲取系統(tǒng)的吸引子、吸引域和邊界鞍等全局信息,闡述g在0.0460到0.0727的范圍內(nèi)激變現(xiàn)象出現(xiàn)的機(jī)理.為更直觀理解全局圖,對以下圖形做以下說明: 用△表示吸引子A,不同顏色代表不同的吸引子; 吸引域用B表示,不同吸引域顏色不同;S表示邊界鞍;IS表示吸引域內(nèi)部鞍; 下標(biāo)表示吸引子、吸引域和內(nèi)部鞍的個(gè)數(shù),例如A1,A2表示系統(tǒng)兩個(gè)吸引子共存,B1,B2為其對應(yīng)的吸引域.

3.1 邊界激變

當(dāng)g從0.0471增大到0.0472時(shí),發(fā)生兩次逆的邊界激變,如圖3所示.A5和A6表示周期為2的吸引子,A5與嵌在吸引域B1,B5邊界的鞍S碰撞,A6和嵌入吸引域B2,B6邊界的鞍S碰撞,使得A5,A6和部分邊界鞍S突然消失,成為內(nèi)部周期鞍IS1,IS2,同時(shí)吸引域B5,B6消失,吸引域B1,B2變大.

當(dāng)g從0.0482變化到0.0483時(shí),系統(tǒng)再次發(fā)生兩次邊界激變,兩個(gè)周期1吸引子A1和A2與邊界上的鞍S發(fā)生碰撞,變?yōu)槲駼5,B6的內(nèi)部鞍IS5,IS6,同時(shí)吸引域B1和B2消失,如圖4所示.

圖4 系統(tǒng)(7)的全局圖 (a) g=0.0482; (b) g=0.0483Fig.4.Global diagram of the system (7): (a) g=0.0482; (b) g=0.0483.

圖5 系統(tǒng)(7)的全局圖 (a) g=0.0491; (b) g=0.0492Fig.5.Global diagram of the system (7): (a) g=0.0491; (b) g=0.0492.

圖6 系統(tǒng)(7)的全局圖 (a) g=0.0490; (b) g=0.0491Fig.6.Global diagram of the system (7): (a) g=0.0490; (b) g=0.0491.

圖7 系統(tǒng)(7)的全局圖 (a) g=0.0596; (b) g=0.0597; (c) g=0.0726; (d) g=0.0727Fig.7.Global diagram of the system (7): (a) g=0.0596; (b) g=0.0597; (c) g=0.0726; (d) g=0.0727.

當(dāng)g從0.0491增大到0.0492時(shí),混沌吸引子A2與吸引域邊界上的混沌鞍S發(fā)生碰撞,發(fā)生邊界激變,變成新的更大的邊界混沌鞍,吸引域B2隨之消失,狀態(tài)空間中為四個(gè)周期吸引子和混沌邊界鞍共存,如圖5所示.

3.2 合并激變

當(dāng)g從0.0490變化到0.0491時(shí),混沌吸引子A2和A4不斷接近吸引域邊界上的混沌鞍S,發(fā)生合并激變,成為新的混沌吸引子A2,與此同時(shí)吸引域B2,B4合并為新的吸引域B2,如圖6所示.

當(dāng)g從0.0596變化到0.0597時(shí),混沌吸引子A1,A2與邊界上的混沌鞍S碰撞,發(fā)生合并激變,變?yōu)樾碌幕煦缥覣1,如圖7(a)和圖7(b)所示.當(dāng)g從0.0726增大到0.0727時(shí),發(fā)生逆合并激變,混沌吸引子A1消失,出現(xiàn)兩個(gè)新的周期1吸引子A1,A2及混沌邊界鞍S,如圖7(c)和圖7(d)所示.

圖8 系統(tǒng)(7)的全局圖 (a) g=0.0460; (b) g=0.0461Fig.8.Global diagram of the system (7): (a) g=0.0460; (b) g=0.0461.

圖9 系統(tǒng)(7)的全局圖 (a) g=0.0478; (b) g=0.0479; (c),(d) 分別對應(yīng)于(a),(b)圖的區(qū)域細(xì)化Fig.9.Global diagram of the system (7): (a) g=0.0478; (b) g=0.0479; (c),(d) the region refinement of panels (a) and (b).

圖10 系統(tǒng)(7)的全局圖 (a) g=0.0533; (b) g=0.0534Fig.10.Global diagram of the system (7): (a) g=0.0533; (b) g=0.0534.

3.3 域邊界突變

當(dāng)g=0.0460時(shí),系統(tǒng)存在三個(gè)周期1吸引子A1,A2,A3和嵌在吸引域B1,B2,B3邊界上的混沌鞍S,此時(shí)的域邊界呈現(xiàn)出Wada特性.當(dāng)g增大到0.0461時(shí),系統(tǒng)新出現(xiàn)一個(gè)周期3吸引子A4,此時(shí)的域邊界由4個(gè)吸引域構(gòu)成,仍具有Wada特性,系統(tǒng)發(fā)生Wada-Wada域邊界突變,如圖8所示.

當(dāng)g從0.0478增大到0.0479時(shí),吸引子的個(gè)數(shù)從6個(gè)變?yōu)?個(gè),為判斷吸引子變化過程,對區(qū)域v={(x,y)|–0.075 ≤x≤ –0.055,0.068 ≤y≤0.092}進(jìn)行細(xì)化.可以發(fā)現(xiàn),原周期3吸引子A4消失,并在其附近出現(xiàn)兩個(gè)新的周期3吸引子A4和A7,如圖9(c)和圖9(d).原吸引域B4分裂為新吸引域B4和B7,且參數(shù)變化前后域邊界均呈現(xiàn)Wada特性,域邊界結(jié)構(gòu)更加復(fù)雜,系統(tǒng)再次發(fā)生Wada-Wada域邊界突變.

當(dāng)g=0.0533時(shí),狀態(tài)空間中有4個(gè)周期1吸引子共存,此時(shí)域邊界仍具有Wada特性.當(dāng)g增大到0.0534時(shí),周期吸引子A3和A4消失,狀態(tài)空間中僅剩2個(gè)周期1吸引子A1,A2,此時(shí)域邊界的Wada特性消失,只呈現(xiàn)分形特性,系統(tǒng)發(fā)生Wada-分形域邊界突變,如圖10所示.

4 溫度對全局特性的影響

溫度作為SMA薄板的一個(gè)可控參數(shù),利用溫度改變SMA薄板的力學(xué)特性在工程領(lǐng)域中有重要運(yùn)用.取g為0.06,分析溫度q變化對系統(tǒng)的影響,選取不同的初值點(diǎn)(–0.0553,–0.09),(–0.031,0.045),(0.083,–0.032),(0.047,0.059)構(gòu)造Poincare映射,得到對應(yīng)的分岔圖,如圖11所示.可以發(fā)現(xiàn),隨溫度q的變化,系統(tǒng)中吸引子個(gè)數(shù)、類型及大小會(huì)發(fā)生改變,并出現(xiàn)激變現(xiàn)象.為從全局角度分析溫度變化對系統(tǒng)激變的影響,本節(jié)基于復(fù)合胞坐標(biāo)系方法,將區(qū)域D={(x,y)| –0.1 ≤x≤ 0.1,–0.12 ≤y≤ 0.12},均勻劃分為1000×1200個(gè)胞,獲得系統(tǒng)的吸引子、吸引域、鞍和域邊界等全局特性.

圖11 系統(tǒng)(7)隨溫度q變化的多值分岔圖Fig.11.Multivalued bifurcation diagram of the system (7)with the variation of temperature q.

4.1 邊界激變

當(dāng)q=0.8379時(shí),狀態(tài)空間中兩個(gè)周期1吸引子A1和A2共存,S為嵌入在分形域邊界上的混沌鞍,IS1,IS2是吸引域B1,B2內(nèi)部的混沌鞍.當(dāng)q增大為0.8380時(shí),系統(tǒng)出現(xiàn)兩個(gè)新的吸引子A3和A4,內(nèi)部鞍IS1,IS2消失,系統(tǒng)發(fā)生兩次逆邊界激變,如圖12所示.

4.2 合并激變

當(dāng)q從0.4088變化到0.4089時(shí),周期2吸引子A1和A2同時(shí)與域邊界上的混沌鞍S發(fā)生碰撞,合并為一個(gè)新的混沌吸引子A1,吸引域B1和B2合并成為新吸引域B1,系統(tǒng)發(fā)生合并激變,如圖13(a)和圖13(b)所示.當(dāng)q從0.7182增大到0.7183時(shí),混沌吸引子A1消失,出現(xiàn)兩個(gè)新的混沌吸引子A1和A2,以及嵌在域邊界上的混沌鞍S,系統(tǒng)發(fā)生逆的合并激變,如圖13(c)和圖13(d)所示.

圖12 系統(tǒng)(7)的全局圖 (a) q=0.8379; (b) q=0.8380Fig.12.Global diagram of the system (7): (a) q=0.8379; (b) q=0.08380.

圖13 系統(tǒng)(7)的全局圖 (a) q=0.4088; (b) q=0.4089; (c) q=0.7182; (d) q=0.7183Fig.13.Global diagram of the system (7): (a) q=0.4088; (b) q=0.4089; (c) q=0.7182; (d) q=0.7183.

圖14 系統(tǒng)(7)的全局圖 (a) q=0.0950; (b) q=0.0951Fig.14.Global diagram of the system (7): (a) q=0.0950; (b) q=0.0951.

4.3 域邊界突變

當(dāng)g=0.0950時(shí),狀態(tài)空間中兩個(gè)周期2吸引子A1,A2,和兩個(gè)周期1吸引子A3,A4共存,吸引域邊界呈現(xiàn)Wada特性.當(dāng)g增大為0.0951時(shí),兩個(gè)周期1吸引子A3和A4消失,吸引域邊界變?yōu)橛葿1和B2構(gòu)成的分形邊界,系統(tǒng)發(fā)生Wada-分形域邊界突變,如圖14所示.

5 結(jié) 論

考慮實(shí)際工程中溫度和應(yīng)力對于SMA的力學(xué)特性的影響,本文選取SMA薄板為研究對象,以溫度q和激振力振幅g作為分岔參數(shù),采用復(fù)合胞坐標(biāo)系方法分析其全局分岔特性,探究在參數(shù)的連續(xù)變化下,系統(tǒng)激變現(xiàn)象及域邊界突變的演化過程.

在一定的參數(shù)變化范圍內(nèi),系統(tǒng)呈現(xiàn)豐富的激變現(xiàn)象,如周期或混沌吸引子與域邊界上的周期鞍或混沌鞍發(fā)生碰撞的邊界激變,周期吸引子或混沌吸引子同時(shí)與邊界上的混沌鞍發(fā)生碰撞的合并激變等.當(dāng)多吸引子共存時(shí),域邊界會(huì)呈現(xiàn)分形結(jié)構(gòu),并隨著參數(shù)的變化,發(fā)生Wada-Wada,Wada-分形和分形-Wada等域邊界突變現(xiàn)象.本文的研究結(jié)果對于通過控制溫度和激勵(lì)強(qiáng)度等參數(shù),調(diào)控SMA薄板系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng),優(yōu)化機(jī)械設(shè)備的變形及振動(dòng)控制等問題上提供有效的分析手段.