陳建玲 王輝 賈煥玉 馬紫微 李永宏 譚俊

1) (運(yùn)城學(xué)院物理與電子工程系,運(yùn)城 044000)

2) (西南交通大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,成都 610031)

3) (運(yùn)城學(xué)院數(shù)學(xué)與信息技術(shù)學(xué)院,運(yùn)城 044000)

1 引 言

中子星是研究致密天體物理的最佳實(shí)驗(yàn)室,它們有很強(qiáng)的磁場(chǎng).已知的中子星磁場(chǎng)或者是相對(duì)穩(wěn)定的、或者隨時(shí)間緩慢地變化[1,2].磁場(chǎng)在中子星自旋減慢演化及磁層活動(dòng)性中發(fā)揮重要作用,因此得到了廣泛的研究[3?7].

磁星是指主要由磁場(chǎng)提供輻射能量的一類脈沖星.對(duì)磁星的觀測(cè)和理論研究是當(dāng)前脈沖星領(lǐng)域一個(gè)重要的熱點(diǎn)[2,3].磁星大致分為軟伽瑪射線重復(fù)爆(soft Gamma-ray repeaters,SGRs)和反常X射線脈沖星(anomalous X-ray pulsars,AXPs),被發(fā)現(xiàn)的磁星及其候選體數(shù)量已經(jīng)增長(zhǎng)到約29個(gè).磁星表面偶極磁場(chǎng)可以由轉(zhuǎn)動(dòng)周期和一階周期導(dǎo)數(shù)來估計(jì),其量級(jí)約為1014—1015G (1 G=10–4T)[3?7].磁星表現(xiàn)出一系列廣泛的X射線活動(dòng)性,包括短暴、長(zhǎng)暴、耀斑和準(zhǔn)周期振蕩,通常伴隨著一系列有趣的到達(dá)時(shí)間行為,如增大的自轉(zhuǎn)減慢、周期躍變和反周期躍變[8?13].這些行為一般被解釋為超強(qiáng)磁場(chǎng)的衰變,或者是由于表面磁張壓增加導(dǎo)致磁星殼層破裂,這會(huì)加劇磁層的扭曲[14].近年來,國(guó)內(nèi)不少專家對(duì)中子星(包括磁星)的磁場(chǎng)演化、冷卻及輻射機(jī)制做了大量的、深入的研究[15],取得了豐富的成果,但是涉及到磁星的環(huán)向磁場(chǎng)衰變和表面熱輻射方面的研究很少.

我們知道,具有純粹的極向磁場(chǎng)構(gòu)型的中子星是極其不穩(wěn)定的,同樣地,由于泰勒不穩(wěn)定性[16],具有純粹的環(huán)向磁場(chǎng)構(gòu)型的中子星也是不穩(wěn)定的.而一個(gè)穩(wěn)定的中子星磁場(chǎng)結(jié)構(gòu)要求在中子星內(nèi)部具有極向磁場(chǎng)和環(huán)向磁場(chǎng)組成的混合磁場(chǎng),并且殼層磁場(chǎng)表現(xiàn)為偶極磁場(chǎng)(占主導(dǎo))和高階多極磁場(chǎng)(對(duì)殼層磁場(chǎng)貢獻(xiàn)較小)[17].在霍爾漂移(Hall drift)的作用下,一個(gè)純粹的極向磁場(chǎng)首先會(huì)在星體內(nèi)部產(chǎn)生一個(gè)環(huán)向磁場(chǎng),然后與環(huán)向磁場(chǎng)緊密相關(guān)的極向電流將極向磁場(chǎng)推壓到磁極冠區(qū),從而增大磁偶極矩[18,19].一個(gè)新誕生的中子星(原中子星)在殼層形成之前由于對(duì)流形成包含多級(jí)成分的極向磁場(chǎng)[20].在核塌縮后,由于較差自轉(zhuǎn)極向磁場(chǎng)不斷地被扭曲,因此,中子星磁場(chǎng)可能存在一個(gè)很強(qiáng)的環(huán)向成分,極向磁偶極矩在徑向較差自轉(zhuǎn)的作用下會(huì)產(chǎn)生環(huán)向的磁四極場(chǎng)[21].

以往關(guān)于中子星磁場(chǎng)的歐姆衰變(又稱歐姆耗散)的研究主要集中于對(duì)普通中子星殼層磁場(chǎng)衰變的研究,這包括了對(duì)殼層磁場(chǎng)歐姆衰變本征模的計(jì)算[22]、星體表面磁場(chǎng)歐姆衰變的自相似解[23]、歐姆耗散方程[24,25]以及由于多極磁場(chǎng)的歐姆衰變導(dǎo)致的磁能湮滅率[26].1994年Geppert和Urpin[27]首次研究了在吸積中子星中也會(huì)由于歐姆衰變導(dǎo)致磁場(chǎng)演化.有兩個(gè)因素可以減緩磁場(chǎng)的衰減: 引力紅移效應(yīng)以及空間內(nèi)稟的彎曲幾何[28].由于廣義相對(duì)論效應(yīng),磁場(chǎng)衰變時(shí)標(biāo)會(huì)增加,但將與平直時(shí)空中磁場(chǎng)衰變時(shí)標(biāo)保持相同的量級(jí)[29?32].最近,王輝、高志福、王娜等[33](以下稱WGW19)在廣義相對(duì)論框架下推導(dǎo)出普通中子星磁場(chǎng)歐姆衰變的本征值方程.他們發(fā)現(xiàn): 靠旋轉(zhuǎn)供能的脈沖星PSR J1640-4631內(nèi)部可能發(fā)生環(huán)向磁場(chǎng)的歐姆衰變,但是釋放的磁場(chǎng)能不足以提供持續(xù)的軟X射線光度,并且討論了該源可能的、各向異性的軟X射線輻射機(jī)制.

WGW19雖然推導(dǎo)出在廣義相對(duì)論框架下旋轉(zhuǎn)供能脈沖星的偶極環(huán)向磁場(chǎng)歐姆衰變本征方程,但是磁場(chǎng)通過歐姆衰變?cè)僖越苟鸁岬姆绞结尫艧崮苓@一現(xiàn)象普遍地存在于包括磁星在內(nèi)的年輕的中子星內(nèi)部,WGW19推導(dǎo)出的方程可能同樣地適用于磁星模型,主要的原因分析如下.1)對(duì)于包括磁星在內(nèi)的強(qiáng)磁化的中子星,磁場(chǎng)能以歐姆耗散焦耳加熱在其演化的早期非常重要,WGW19推導(dǎo)出的偶極環(huán)向磁場(chǎng)歐姆衰變本征方程是基于極向磁場(chǎng)強(qiáng)度不低于約1013G、溫度不高于約108K的中子星的模型,該模型同樣地適用于磁星.2)相比于依靠旋轉(zhuǎn)供能的脈沖星(簡(jiǎn)稱普通中子星),磁星理論上可能具更高的內(nèi)部多極磁場(chǎng)、扭曲的磁層和幾種不同的磁場(chǎng)起源機(jī)制[20],但是觀測(cè)上沒有證明磁星的磁場(chǎng)結(jié)構(gòu)位型、演化方式與中子星之間存在本質(zhì)上的差別,即磁星和普通中子星應(yīng)當(dāng)同樣地具有極向磁場(chǎng)和環(huán)向磁場(chǎng)分量、同樣地?fù)碛蓄愃频倪呏禇l件.3)由于較高的磁能密度貢獻(xiàn),磁星的物態(tài)方程可能比普通中子星的稍硬、質(zhì)量稍大.這個(gè)物態(tài)方程上的理論假設(shè)并沒有得到觀測(cè)上的支持.在描述磁星星體結(jié)構(gòu)時(shí),通常認(rèn)為: 磁星和普通中子星一樣具有等離子體的磁層、固態(tài)的殼層和流體的核,核內(nèi)具有核子超流與質(zhì)子超導(dǎo).在殼層中,電阻率(電導(dǎo)率)主要是由于電子-聲子和電子-雜質(zhì)散射過程[23?27],導(dǎo)致比在流體內(nèi)部更有效的歐姆耗散.4)按照電動(dòng)力學(xué),中子星內(nèi)部可能存在的徑向超導(dǎo)電流能產(chǎn)生環(huán)向磁場(chǎng),由于核內(nèi)超導(dǎo)與外部的真空,磁場(chǎng)能的湮滅最為有效方式是: 在具有電阻的中子星的殼層以歐姆耗散的方式產(chǎn)生焦耳熱,歐姆耗散率由組成物質(zhì)的有限電導(dǎo)率決定[33].磁場(chǎng)能以歐姆耗散的方式產(chǎn)生焦耳熱的情況只會(huì)發(fā)生在具有電阻的殼層.5) WGW19以廣義的麥克斯韋方程組為出發(fā)點(diǎn),采用一個(gè)球?qū)ΨQ的中子星模型和時(shí)空幾何,并假定一個(gè)無(wú)力場(chǎng)(force-free)磁場(chǎng)位型,在該模型下磁場(chǎng)被限制在殼層,即核內(nèi)由于超流排斥作用而不存在磁場(chǎng).本文假定磁星具有無(wú)力場(chǎng)磁場(chǎng)位型,并采用球?qū)ΨQ的中子星模型和時(shí)空幾何.我們有理由相信,WGW19在廣義相對(duì)論下推導(dǎo)出的偶極環(huán)向磁場(chǎng)歐姆衰變本征方程也同樣地用于計(jì)算磁星的歐姆衰變率、磁場(chǎng)能釋放率以及軟X射線光度.

觀測(cè)表明: 部分寧?kù)o狀態(tài)下的的磁星存在持續(xù)的軟X射線輻射,其光度的典型值LX為1034—1036erg/s (1 erg/s=10–7J/s).磁星在爆發(fā)過程中[34],軟X射線光度急劇增加,可達(dá)1038erg/s或更高; 在外爆衰退期,磁星會(huì)出現(xiàn)熱斑縮小、射電輻射、X射線譜變軟及脈沖輪廓變得簡(jiǎn)單,這些與磁星磁層扭曲程度和磁層電流發(fā)生變化有關(guān).軟X射線光子可能存在熱起源,可以用黑體譜(冪律+黑體 或者雙黑體譜)來擬合,對(duì)應(yīng)的溫度約為2×106—6×106K,這比依靠轉(zhuǎn)動(dòng)能損提供能量的脈沖星的典型溫度值高很多,這可能是由于磁場(chǎng)衰變提供額外的加熱[30].Kaspi和Beloborodov[9]討論了磁星的磁場(chǎng)歐姆衰變和軟X射線光度之間的關(guān)系,他們認(rèn)為: 歐姆衰變可以提供磁星軟X射線輻射所需要的熱能,首先,相比于磁星的年齡,磁場(chǎng)的歐姆衰變時(shí)標(biāo)相當(dāng)?shù)亩?這就要求磁場(chǎng)在一個(gè)小尺度范圍內(nèi)發(fā)生變化; 其次,磁場(chǎng)變化幅度δB≈1016G.Beloborodov和Li[31]也認(rèn)為磁星軟X射線光度可能與磁場(chǎng)的歐姆衰變有關(guān),但他們沒有在超強(qiáng)磁場(chǎng)中進(jìn)行電導(dǎo)率的計(jì)算,也沒有考慮廣義相對(duì)論效應(yīng)對(duì)環(huán)形磁場(chǎng)的歐姆衰變的影響.

本文將在第2節(jié)給出廣義相對(duì)論下霍爾感應(yīng)方程和核物質(zhì)狀態(tài)方程; 第3節(jié)計(jì)算在超強(qiáng)磁場(chǎng)下殼層的電導(dǎo)率、環(huán)向磁場(chǎng)衰變率及磁能衰變率;第4節(jié)討論磁星的旋轉(zhuǎn)能損率Lrot、環(huán)向磁場(chǎng)衰變磁能釋放率LB及軟X射線光度LX之間的關(guān)系以及軟X-射線可能的各向異性的起源,第5節(jié)進(jìn)行總結(jié)與討論.

2 廣義相對(duì)論下的霍爾感應(yīng)方程和核物質(zhì)狀態(tài)方程

2.1 霍爾感應(yīng)方程

為方便起見,我們假設(shè)一個(gè)球?qū)ΨQ的中子星模型和時(shí)空幾何,考慮到廣義相對(duì)論效應(yīng),中子星的時(shí)空幾何形狀可以由下式描述

其中x0=ct,Vij是空間坐標(biāo)xi的函數(shù),Φ(r) 是引力勢(shì)[32].結(jié)合磁流體動(dòng)力學(xué)平衡與歐姆定律,我們得到廣義相對(duì)論下中子星磁場(chǎng)霍爾感應(yīng)方程

其中s代表導(dǎo)電率,eijk代表完全反對(duì)稱的Levi-Civata張量的分量,D表示變量微分算子.在非奇異的、靜態(tài)的、球?qū)ΨQ幾何背景下,(1)式中的空間部分的坐標(biāo)可以用下式表示:

其中hi=hix1,x2,x3是標(biāo)度因子,它們分別為

其中m(r)=GM(r)/c2,M(r) 是半徑為r的球體內(nèi)部物質(zhì)總質(zhì)量.消除(2)式中磁場(chǎng)的坐標(biāo)分量,得到更為簡(jiǎn)化的感應(yīng)方程

其中Z=eΦ≡(1?2M(R)/R)1/2是紅移因子[29,33].

2.2 磁場(chǎng)的三分量

軸對(duì)稱條件下,中子星的磁場(chǎng)B可以分解成極向磁場(chǎng)分量Bp=Brer+Bθeθ與環(huán)形磁場(chǎng)分量Bt=Bφeφ兩個(gè)部分,其中er,eθ和eφ分別代表r方向、q方向和φ方向的單位矢量.在廣義相對(duì)論下磁場(chǎng)三分量由下式給出:

這里B是中子星磁極冠區(qū)表面處偶極極向磁場(chǎng)(與l=1,m=0相對(duì)應(yīng));Fl,Tl和Hl是待定函數(shù),Ylm是l階勒讓德多項(xiàng)式.為了簡(jiǎn)易起見,我們僅考慮極向磁場(chǎng)的偶極分量,即l=1,m=0,于是得到 dYlm/dθ=?sinθ與 Ym=cosθ,再利用分離分量法[29],很容易得到

以下為了方便表達(dá),我們一律省去了腳標(biāo)1,于是(6)式簡(jiǎn)化為

這里r為無(wú)量綱的距離.以下星體半徑表示為RNS→R.為了求解F(r,t) 需要兩個(gè)邊界條件: 磁場(chǎng)局限于從殼層表面到殼核邊界處,或是局限于從核半徑Rcore到星體半徑R處.磁場(chǎng)的內(nèi)部邊界條件: 當(dāng)r→Rcore時(shí),F(r,t)→0.其次,在中子星表面處,殼層與真空中磁場(chǎng)是連續(xù)的,得到磁場(chǎng)的內(nèi)部邊界條件

其中y=R/RS,RS≡2GM/c2是史瓦西半徑.首先,由于中子星的核可能具有超導(dǎo)特性,核內(nèi)磁場(chǎng)存在的可能性非常小,在無(wú)力場(chǎng)磁場(chǎng)位型下磁場(chǎng)滿足

其中μ是與磁場(chǎng)曲率有關(guān)的一個(gè)參數(shù),被解釋為斯托克斯函數(shù)F(r,t) 的波數(shù),μ的值取決于中子星的核物質(zhì)物態(tài)方程.為了簡(jiǎn)單起見,對(duì)于(10)式中第一個(gè)等式,我們僅考慮μ為常數(shù)的解,這樣第二個(gè)等式就會(huì)自動(dòng)地滿足.為了得到(10)式第一等式中內(nèi)部磁場(chǎng)的一個(gè)通解,我們選擇限制條件:

保證這個(gè)解能滿足B在r和θ方向的兩個(gè)分量之間平衡.當(dāng)B被限制在殼層中調(diào)整μ使r分量在殼-核邊界處消失,得到

其中Rcore表示殼-核邊界處到球心距離.另外還有在兩種中子星磁場(chǎng)位型: TC1與TC2[28],在這兩種磁場(chǎng)結(jié)構(gòu)位型中,環(huán)形磁場(chǎng)都僅僅被限制在中子星殼層內(nèi)部,而在無(wú)力場(chǎng)磁場(chǎng)位型下,環(huán)形磁場(chǎng)可以穿越殼層滲透到星體外部.利用勒讓德函數(shù)及球形貝塞爾函數(shù),可以求解在無(wú)力場(chǎng)磁場(chǎng)位型下的高階環(huán)形磁場(chǎng)的歐姆衰變本征方程.

2.3 中子星核物質(zhì)狀態(tài)方程

為了得到參數(shù)μ的值,需要采用較為實(shí)際的中子星結(jié)構(gòu)參量,即采用較為實(shí)際的核物質(zhì)狀態(tài)方程.預(yù)計(jì)的中子星最大質(zhì)量是依賴于不同模型下的核物質(zhì)狀態(tài)方程[34,35].中子星的最大質(zhì)量與最小質(zhì)量的數(shù)值都具有爭(zhēng)議性.觀測(cè)的中子星質(zhì)量約在(1—2)M⊙的范圍內(nèi)(http://www.stellarcollapse.org/).盡管從狀態(tài)方程的角度來看,中子星的質(zhì)量可以小于一倍M⊙,但很難從超新星爆發(fā)的機(jī)理來解釋其成因.在外殼層區(qū)域,我們采用Baym-Pethick-Sutherland物態(tài)方程[36]; 在內(nèi)殼層區(qū)域,我們采用可壓縮的液滴模型,即Baym-Bethe-Pethich物態(tài)方程(BBP模型)[37]; 在中子星的核內(nèi),我們采用相對(duì)論平均場(chǎng)(relative mean-field,RMF)理論模型,RMF是在具有修正效應(yīng)的有效耦合常數(shù)的基礎(chǔ)上建立起來的,是研究有限核的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方法.作為對(duì)比,我們選用三個(gè)具有代表性的RMF模型——NL3[38],GM1[39]和TMA[40,41].

表1中r0表示飽和核密度;E0,K0,m*,K′,J,分別表示對(duì)稱核物質(zhì)飽和密度下的結(jié)合能、不可壓縮系數(shù)、無(wú)量綱的有效核子質(zhì)量、偏斜系數(shù)、對(duì)稱能、對(duì)稱能的坡度、對(duì)稱能曲率、對(duì)稱能偏斜系數(shù)和與體積相關(guān)的同位旋不可壓縮系數(shù).TMA模型在高密度下的物態(tài)方程與Dirac-Brueckner-Hartree-Fock 理論所預(yù)測(cè)的行為一致,因此TMA是當(dāng)前最為成功的RMF參數(shù)組之一.從表1可以看出,相比于GM1和NL3模型,TMA模型具有較軟的對(duì)稱能,因此給定中子星最大質(zhì)量值也較小.圖1所示為在NL3,GM1和TMA模型中中子星的質(zhì)量和半徑的關(guān)系.NL3 模型給出中子星最大質(zhì)量Mmax=2.78M⊙,GM1 模型給出中子星最大質(zhì)量Mmax=2.45M⊙,而TMA模型給出最大質(zhì)量Mmax=2.032M⊙,這個(gè)值非常接近目前觀測(cè)到的中子星的最大質(zhì)量[42],因此,TMA模型較為實(shí)際和可靠.在以下計(jì)算中,我們將一律采用TMA模型的物態(tài)方程.采用由文獻(xiàn)[7]中更為恰當(dāng)?shù)腗-R-I關(guān)系近似表達(dá)式,

表1 在NL3,GM1和TMA模型下飽和核物質(zhì)特性.Table 1.Saturation properties of nuclear matter in the parameterizations for NL3,GM1 and TMA models.

圖1 在NL3,GM1和TMA模型下中子星的質(zhì)量和半徑的關(guān)系Fig.1.Relationships between mass and radius of neutron stars in NL3,GM1 and TMA model.

圖2 在TMA模型中磁星的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I隨質(zhì)量m和半徑R的關(guān)系Fig.2.Relationship of moment of inertial I to mass M and radius R for magnetars in TMA models.

將內(nèi)殼層的厚度近似地看成為中子星總的殼層厚度Rc=0.97 km (BBP模型),結(jié)合TMA模型和(9),(10)式,可以計(jì)算在TMA模型中對(duì)應(yīng)任意最大質(zhì)量的磁星的μ和I的值,并將計(jì)算結(jié)果列于表2.盡管磁星的I隨質(zhì)量的增加而增大,但是μ的值比較穩(wěn)定(μ=1.67—1.68).為了比較在無(wú)力磁場(chǎng)結(jié)構(gòu)位型下彎曲時(shí)空中磁場(chǎng)三分量之間的關(guān)系,我們選擇一個(gè)典型質(zhì)量M=1.45M⊙的磁星,TMA模型中,對(duì)應(yīng)μ=1.676及x=r/R=0.917—1.0.利用(8)—(13)式,得到歸一化的磁場(chǎng)三分量:Br/(Bcosθ) ,Bθ/(Bsinθ) 及B?/(Bsin?)隨x的變化,其中B為在中子星磁極表面處(x=1)極向偶極磁場(chǎng).如圖3所示,Br與Bj都隨x的增加而增大,但是后者增加比前者快得多; 在星體表面處,B?/(Bsin?) 達(dá)到極大值,這時(shí)Bj的強(qiáng)度高于Br約一個(gè)量級(jí).

表2 在TMA模型中磁星的m,R,Rcore/R,μ和I的部分值Table 2.Partial values of m,R,Rcore/R,μ and I for magnetars in TMA model.

圖3 在無(wú)力磁場(chǎng)結(jié)構(gòu)位型下殼層歸一化磁場(chǎng)分量Br/(Bcosθ)(紅線),Bθ/(Bsinθ) (藍(lán)線),及B?/(Bsin?)(黃線)與歸一化徑向坐標(biāo)x的關(guān)系(選取μ=1.676,對(duì)應(yīng)在TMA模型下的M=1.45M⊙,R=11.77 km及I=1.45×1045 g·cm2)Fig.3.Normalized magnetic field components of the crustal confined for the force-free field: Br/(Bcosθ) (red line),Bθ/(Bsinθ)(blue line),and B?/(Bsin?) (yellow line) vs.normalized radial coordinate x.Here we assume the parameter μ=1.676,corresponding to M=1.45M⊙,R=11.77 km and I=1.45×1045 g·cm2 in the TMA model.

3 磁星環(huán)向磁場(chǎng)歐姆衰變

3.1 環(huán)向磁場(chǎng)的本征方程

WGW19為了研究旋轉(zhuǎn)供能脈沖星PSR J1640-4631殼層磁場(chǎng)演化,推導(dǎo)出在廣義相對(duì)論框架下偶極環(huán)向磁場(chǎng)歐姆衰變本征方程,引入一個(gè)矢量因此,(5)式中B的j分量可以寫為

對(duì)于任意一個(gè)矢量A,它的旋度服從以下規(guī)律

于是得到K的旋度在j,q和r方向的分量,并利用分離變量法,得到.

通過比較(16)式與文獻(xiàn)[29]中(3.9)式,WGW19發(fā)現(xiàn)H(r,t) 與F(r,t) 有相同的演化方式.結(jié)合(8),(10)和(11)式,得到

由(17)式可知,在廣義相對(duì)論框架下,磁場(chǎng)三分量均可以由標(biāo)量的斯特克斯函數(shù)F(r,t) 來表示.磁場(chǎng)在φ方向和r方向上的強(qiáng)度之比值關(guān)系為

這里R是無(wú)量綱的中子星半徑.通過耦合愛因斯坦方程與流體的能量-動(dòng)量-張量,得到關(guān)于m(r) 和Φ(r)的微分方程以及流體靜力學(xué)的方程P(r)[29].將m(r) ,Φ(r)和P(r) 代入文獻(xiàn)[29]中方程(3.9),得到

(19)式必須需要滿足相對(duì)論的斯托克斯流函數(shù)F(t,r).為了解出方程(19),將F(t,r) 展開成多項(xiàng)式形式

其中n=1,2,···,x=r/R; ∑是對(duì)與所有本征模 求和;Xn(x) 滿足邊值條件

L表示本征算符[29].通過引入一階球形貝塞爾函數(shù),得到

和彎曲時(shí)空下環(huán)向磁場(chǎng)本征方程

作為對(duì)比,文獻(xiàn)[28]忽略了廣義相對(duì)論效應(yīng),通過引入標(biāo)量函數(shù)在平直空間將磁場(chǎng)的三分量表示如下:

由以上分析可知,在無(wú)力磁場(chǎng)位型下,由于磁場(chǎng)在 (r,θ) 方向必須滿足相同的平衡條件和在(r,φ)方向滿足相同的限制條件,在平直空間和彎曲空間中,磁場(chǎng)的三個(gè)分量都可以由一個(gè)分量函數(shù)來表示,并且環(huán)向磁場(chǎng)和極向磁場(chǎng)的強(qiáng)度之比、磁能密度之比是相同的.盡管如此,由于廣義相對(duì)論效應(yīng),平直空間中的(x,t) 和彎曲空間中的F(r,t) 表達(dá)形式和演化并不相同.為了探索出磁場(chǎng)的演化形式,必須要確定電導(dǎo)率s的限制范圍.

3.2 強(qiáng)磁場(chǎng)下中子星殼層的電導(dǎo)率

殼層內(nèi)導(dǎo)電率分別來源于電子-聲子散射與電子-雜質(zhì)散射對(duì)電導(dǎo)率的貢獻(xiàn).電導(dǎo)率大小非常依賴溫度T與密度r,后者跨越6個(gè)或6個(gè)以上數(shù)量級(jí).決定導(dǎo)電率s的第三個(gè)參量是介質(zhì)的不純凈度,由于在低密度的外殼層區(qū)域電導(dǎo)率非常低,磁場(chǎng)歐姆衰變時(shí)標(biāo)特別短(τOhm≈ 10—102a),因此外殼層將不再考慮.根據(jù)BBP模型,內(nèi)殼層密度范圍約為: 從中子滴出密度ρ～4.66×1011g·cm?3到殼-核邊界ρ～1.30×1014g·cm?3,由于隨著核子數(shù)Z與質(zhì)量數(shù)A單調(diào)而任意地增加,BBP模型的物態(tài)方程在較高密度ρ≥1.72×1014g·cm?3遭到Shapiro和Teukolsky[43]的質(zhì)疑,我們將停止在相應(yīng)的較高密度區(qū)的計(jì)算.在超強(qiáng)磁場(chǎng)下,殼層中重子數(shù)密度nB可以被看成是一個(gè)不變的量,電子豐度Ye=ZnN/nB,其中nN是原子核數(shù)密度,則電子數(shù)密度ne=nBYe=ZnN.本文將利用由文獻(xiàn)[44]開發(fā)的、較為實(shí)際的電導(dǎo)率的程序(公開下載的網(wǎng)頁(yè)為http://www.ioffe.ru/astro/conduct),并且結(jié)合BBP模型,來計(jì)算磁星殼層的電導(dǎo)率.由于文獻(xiàn)[44]考慮到強(qiáng)磁場(chǎng)因素,較之以往的計(jì)算電導(dǎo)率程序,這個(gè)程序提供的結(jié)果更能反映中子星殼層電導(dǎo)率的真實(shí)情形.

我們計(jì)算出在BBP模型中不同的T和Q下磁星殼層電導(dǎo)率,部分計(jì)算結(jié)果列于表3.表3上半部分對(duì)應(yīng)Bp=5.0×1014G,表3下半部分對(duì)應(yīng)Bp=3.0×1015G.可以看出,在給定T,Q和Bp的情況下,s隨著r增加而增大; 在給定T,r和Bp的情況下,s隨著Q增加而減小; 在給定Q,r和Bp的情況下,s隨著T增加而減小; 在給定Q,r和T的情況下,s隨著Bp增加而增大,磁場(chǎng)在低密度區(qū)域?qū)的影響比在高密度區(qū)影響大,在低密度區(qū)域,s相對(duì)增加率 ?σ/σ?5% ; 在高密度區(qū)域,由于 ?σ/σ?10?3,磁場(chǎng)對(duì)s的影響忽略不計(jì).為了簡(jiǎn)單起見,在表3中我們假定不純凈度參數(shù)Q是一個(gè)不變的量,這與中子星殼層的實(shí)際情形可能相差很大,必須給出一個(gè)合理的Q值范圍.

我們知道,在較高的溫度和較低的密度下,晶格聲子限制了電子的運(yùn)動(dòng),因此熱和電荷的輸運(yùn)由電子-聲子散射(碰撞)主導(dǎo),而在高密度環(huán)境下,熱和電荷的輸運(yùn)由電子-雜質(zhì)散射主導(dǎo).文獻(xiàn)[16]對(duì)于以電子-聲子散射主導(dǎo)電荷輸運(yùn)的低密度層進(jìn)行研究,給出一個(gè)小的Q值范圍:Q～ 0.001—0.1;最近,對(duì)于以電子-雜質(zhì)散射主導(dǎo)的更深的高密度層的研究預(yù)示不純凈度參數(shù)更高:Q> 1.通過對(duì)中子星磁熱演化的研究,文獻(xiàn)[45]給出更高不純凈度參數(shù):Q> 1.通過對(duì)中子星磁熱演化的研究,文獻(xiàn)[46]給出中子星內(nèi)殼層不純凈度的范圍:Q～1—100; 磁星內(nèi)殼層溫度比星體表面溫度高出1—2個(gè)量級(jí),但是最高溫度不能超過各異性中子超流的臨界溫度,我們選取一個(gè)比表3更為合理的磁星殼層溫度范圍T～5.0×107— 2.0×108K ,在較低密度層ρ～4.66×1011— 1.0×1013g·cm?3對(duì)應(yīng)Q～ 0.001—0.1; 在高密度層ρ～1.0×1013—1.30×1014g·cm?3對(duì)應(yīng)Q～ 1—25; 選取一個(gè)典型超強(qiáng)磁場(chǎng)Bp=5.0×1015G,給出在一定磁場(chǎng)下電導(dǎo)率隨溫度和不純凈度的變化關(guān)系圖,如圖4所示.由于r,T及Q來決定s的值確實(shí)存在很大的不確定性,為了方便計(jì)算,我們給出合理的參數(shù)范圍: 對(duì)于低密度層電導(dǎo)率由電子-聲子散射主導(dǎo),選取Q～ 0.1,對(duì)于較高密度層ρ～1.0×1013—5.0×1013g·cm?3電導(dǎo)率由電子-雜質(zhì)散射主導(dǎo),選取Q～ 1,對(duì)于更高密度層電導(dǎo)率仍由電子-雜質(zhì)散射主導(dǎo),Q值可能增大,選取Q～ 2; 對(duì)應(yīng)殼層溫度稍低的磁星,T=6.0×107K,得到殼層s的變化范圍s～ 8.65×1023—8.75×1024s–1; 對(duì)應(yīng)殼層溫度稍高的磁星,T=2.0×108K,得到殼層s的變化范圍s～ 1.09×1023—2.52×1024s–1.

3.3 超強(qiáng)磁場(chǎng)下的磁能釋放率

選擇典型質(zhì)量為M=1.45M⊙的磁星,并且采用BBP 和TMA物態(tài)方程,對(duì)應(yīng)R=11.77 km及μ=1.676.將(22)和(23)式進(jìn)行求導(dǎo),得到環(huán)向磁場(chǎng)和極向磁場(chǎng)的變化率:

表3 在不同溫度和不同純凈度參數(shù)下磁星殼層電導(dǎo)率的部分值(采用BBP模型)Table 3.Partial values of electrical conductivity for different temperatures and impurity parameters in the crust of magnetars.Here we use the equation of station (EOS) of BBP model.

圖4 磁星殼層電導(dǎo)率隨密度、溫度及不純凈度參數(shù)的變化 (a)電導(dǎo)率由電子-聲子散射主導(dǎo); (b)電導(dǎo)率由電子-雜質(zhì)散射主導(dǎo); 物態(tài)方程一律采用BBP 模型Fig.4.Relationship of s to r,Τ and Q in the inner crust for magnetar: (a) The conductivity due to electron-phonon scattering; (b) the conductivity due to electron-impurity scattering.The EOS of BBP model is used.

磁場(chǎng)能釋放率也是時(shí)間的函數(shù),可以用下式來進(jìn)行估算:

其中dV=4πr2dr,Rc=0.98 km.磁能釋放率主要是由環(huán)向磁場(chǎng)所主導(dǎo):

選擇一個(gè)典型的強(qiáng)磁場(chǎng)Bp(0)=2.0×1015G,計(jì)算了磁場(chǎng)的衰變率和磁能釋放率,部分結(jié)果列在表4中.

將σ=8.75×1024s?1和σ=2.52×1024s?1分別代入方程組(22),(23),(26),(27)中,用數(shù)值模擬方法得到在Bp(0)=3.0×1015G和Bp(0)=5.0×1014G兩種情況下Bp,dBp/dt,Lp,Bt,dBt/dt,Lt和LB隨時(shí)間的變化,如圖5所示.由圖5可以看出,Bp和Bt都同樣地經(jīng)歷緩慢衰變和快速衰變的過程.

4 與磁星的觀測(cè)對(duì)比

4.1 磁星旋轉(zhuǎn)能損率和軟X射線光度

從McGill磁星數(shù)據(jù)網(wǎng)站(http://www.physics.mcgill.ca/~pulsar/magnetar/main.html)上,可以看到有29顆磁星及其候選體,其中22顆源:CXOU J164710.2–455216 (縮寫CXOU J164710),CXOU J0100430.1–721134 (縮寫CXOU J01004),1RXS J170849.0–400910 (縮寫1RXS J170849),1E 2259+586,1E 1048.1–5937,1E 1841–045,4U 0142+61,SGR 0418+5729,SGR 0526–66,SGR 1900+14,SGR 1806–20,1E 1547.0–5408,XTE J1810–197,CXOU J171405.7–381031 (縮寫CXOU J171405),SGR 1627–41,Swift J1822–1606,Swift J1834.9–0864,SGR J1745–2900,PSRJ1622–4950,PSR J1846–025,暫變?cè)碅X J1845.0–0258及3XMM J185246.6+003377 (縮寫3XMM J185246),它們具有軟X射線光子.周期約為7 s的X射線的源AX J1845.0–0300,與超新星遺跡G29.6+0.1成協(xié),X射線亮度較低,光譜較軟,表明它可能是制動(dòng)的X射線脈沖星[47].然而,由于缺乏精確穩(wěn)定的周期導(dǎo)數(shù)值,人們無(wú)法對(duì)其旋轉(zhuǎn)能量損失率進(jìn)行評(píng)估.因此AX J1845.0–0258的磁場(chǎng)衰變、旋轉(zhuǎn)能損率與軟X-射線光度的關(guān)系將不再被考慮.3XMM J185246的旋轉(zhuǎn)周期P=11.5587 s,周期導(dǎo)數(shù)的上限假定一個(gè)經(jīng)典的偶極制動(dòng)模型,給出偶極磁場(chǎng)的上限1013G及旋轉(zhuǎn)能損率上限Lrot< 4.75×1030erg/s,該源與超新星遺跡Kes 73成協(xié),超新星遺跡(supernova remnant,SNR)年齡4.7 ka,寧?kù)o狀態(tài)下的軟X射線光度上限為:初始磁場(chǎng)可以選取與SGR 0418–5729相同,因?yàn)樗蚐GR 0418–5729一樣,屬于低偶極磁場(chǎng)、低光度、暫變的X射線源(X射線流量仍然在緩慢下降,沒有得到相對(duì)穩(wěn)定的值).在表5中,名稱依次為: 源名、自轉(zhuǎn)周期(P)、自轉(zhuǎn)周期導(dǎo)數(shù)特征年齡真實(shí)年齡估計(jì)、可能成協(xié)的物體(如SNR、大質(zhì)量分子云、大質(zhì)量星團(tuán)、氫II區(qū)、大、小麥哲倫云、銀河系中心)、實(shí)際年齡確定方法、軟X射線光度、旋轉(zhuǎn)能損率.動(dòng)力學(xué)年齡是指磁星從最初位置(如星團(tuán))移動(dòng)到現(xiàn)在所處位置的時(shí)間,通過測(cè)量SNR的年齡、自行年齡或特征年齡來估算.有關(guān)與超新星遺跡的距離和年齡信息請(qǐng)參考SNR網(wǎng)站http://www.physics.umanitoba.ca/snr/SNRcat/.被觀測(cè)到的磁星軟X射線光度是指經(jīng)過引力紅移的、各向同性的軟X射線光度,由下式進(jìn)行估算:

表4 當(dāng)Bp(0)=2.0×1015 G時(shí)Bp,dBp/dt,Lp,Bt,dBt/dt,Lt和LB的部分值(假定一個(gè)中等質(zhì)量的磁星M=1.45M⊙,R=11.77 km,Rc=0.98 km,對(duì)應(yīng)著I=1.47I45和 μ=1.676 ; 表格上和下半部分分別對(duì)應(yīng)著σ=8.75×1024s?1和 σ=2.52×1024s?1)Table 4.Partial values of Bp,dBp/dt,Lp,Bt,dBt/dt,Lt and LB when Bp(0)=2.0×1015 G.Here we assume a mediummass magnetar M=1.45M⊙,R=11.77 km,Rc=0.97 km,corresponding to I=1.47I45 and μ=1.676 ,respectively.The top and bottom parts correspond to σ=8.75×1024s?1 and σ=2.52×1024s?1 ,respectively.

其中D是源到地球的距離是指觀測(cè)到的軟X射線譜流,即在10–19J)范圍內(nèi)沒有被星際介質(zhì)吸收軟X射線譜流).中子星旋轉(zhuǎn)能量損失率被定義為

其中W是角速度是W的導(dǎo)數(shù),n=W/2π是自轉(zhuǎn)頻率.本文采用TMA參數(shù)組,取中等質(zhì)量的中子星M=1.45M⊙,對(duì)應(yīng)I=1.45(2)×1045g·cm2.

圖5 磁星磁場(chǎng)歐姆衰變的數(shù)值模擬 (a) 在x=1處極向磁場(chǎng)Bp隨時(shí)間t的變化; (b) 在x=1處極向磁場(chǎng)Bt隨時(shí)間t的變化;(c) 在x=1處極向磁場(chǎng)衰減率dBp/dt,隨時(shí)間t的變化; (d) 在x=1處環(huán)向磁場(chǎng)衰減率?dBt/dt,隨時(shí)間t的變化; (e) 極化磁場(chǎng)的能量衰減率Lp隨時(shí)間t的變化; (e) 環(huán)向磁場(chǎng)的能量衰減率Lt隨時(shí)間t的變化; 在(a)(f)圖中紅色和藍(lán)顏色的線分別表示σ=2.52×1024s?1和σ=8.75×1024s?1Fig.5.Numerical fitting of Ohmic decay for magnetars: (a) The poloidal magnetic field,Bp,as a function of t at x=1; (b) the toroidal magnetic field,Bt,as a function of t when at x=1; (c) the poloidal magnetic field decay rate,dBp/dt,as a function of t when at x=1; (d) the toroidal field decay rate,dBt/dt,as a function of t when at x=1; (e) the poloidal field energy decay rate,Lp,as a function of t; (f) the toroidal filed energy decay rate,Lt,as a function of t.The red and blue lines in (a)?(f) indicate σ=2.52×1024s?1 and σ=8.75×1024s?1 ,respectively.

在圖6中,Radio PSR 表示160顆普通的射電脈沖星[89]; HB表示15顆強(qiáng)磁場(chǎng)脈沖星; XINS表示7顆X射線的孤立中子星[90,91]; CCO表示8顆中心致密天體[92]; 實(shí)線是利用文獻(xiàn)[89]給出的公式進(jìn)行擬合得到的圖線.點(diǎn)劃線是利用文獻(xiàn)[88]給出的經(jīng)驗(yàn)公式

表5 具有軟X射線輻射的22顆磁星的到達(dá)時(shí)間及其輻射特性Table 5.The persistent timing,ages and emission characteristics for 22 magnetars with observed soft X-ray flux.

同樣地,對(duì)于10顆滿足情況2)的磁星,得到擬合公式:

卡方/自由度(χ2/df)的比值反映擬合的準(zhǔn)確度,理論上χ2/df的值越接近1越好.對(duì)于(32)和(33)式,χ2/df的值分別為8.51/7 和7.98/9,這說明擬合的表達(dá)式和數(shù)據(jù)非常吻合.隨著磁星樣本的增加,我們會(huì)修正擬合的表達(dá)式.

圖6 在各向同性加熱模型下磁星及相關(guān)致密天體 -的關(guān)系圖Fig.6.The -plot for our magnetars and selected objects in isotropic heating models.

圖7 在各向同性加熱模型下擬合得到的磁星的旋轉(zhuǎn)能損率與軟X射線光度的關(guān)系Fig.7.Fitting relationship between the soft X-ray luminosity and rotational energy loss rate of magnetars in the isotropic heating model.

4.2 磁星X射線輻射和環(huán)向磁場(chǎng)的歐姆衰變

本節(jié)只考慮12顆旋轉(zhuǎn)能損率遠(yuǎn)小于軟X射線光度的磁星.假定內(nèi)部環(huán)向磁場(chǎng)的歐姆衰變可以提供磁星各向同性的軟X射線輻射.為了估計(jì)這12顆磁星的Bp(0)值,我們引用Viganò等[46]的工作:

1)通過引入最先進(jìn)的動(dòng)力學(xué)系數(shù),并且考慮到霍爾漂移項(xiàng)的重要影響,Viganò等[46]給出中子星磁-熱演化二維模擬最新結(jié)果,并與包括17顆磁星在內(nèi)的40個(gè)源的觀測(cè)進(jìn)行比較.結(jié)果發(fā)現(xiàn),僅靠改變初始磁場(chǎng)、質(zhì)量和包層成分,在該理論模型下,磁星、高磁場(chǎng)射電脈沖星、孤立暗中子星等觀測(cè)多樣性可以得到很好地解釋.

2)通過比較具有磁場(chǎng)Bp(0)=1015G的鐵殼層中子星的冷卻曲線,推斷8顆磁星(CXOU J171405,SGR 1900+14,1E 1048.1–5937,SGR 0526–66,CXOU J010043,1RXS J170849,1E 1841–045,SGR 1806–20)能自誕生時(shí)就具有量級(jí)為幾個(gè)1015G的磁場(chǎng),磁場(chǎng)能提供硬X射線輻射,總的光度~1036erg·s–1[46].

3)通過比較具有磁場(chǎng)Bp~1—5×1014G 的中子星群的冷卻曲線,得到啟示: 9顆磁星(1E 1547.0–5408,SGR 1627–41,SGR 0501+4516,XTE J1810–197,CXOU J164710,1E 2259+586,4U 0142+61,Swift 1822.3–1606,SGR 0418+5729)可能具有初始磁場(chǎng)Bp(0)=3×1014G,這樣的磁場(chǎng)能夠解釋觀測(cè)的到達(dá)時(shí)間特性和持續(xù)的軟X射線光度.

結(jié)合文獻(xiàn)[25]和當(dāng)前的磁星觀測(cè)(軟X射線光度、表面熱溫度和實(shí)際年齡等),我們給出12顆磁星(>Lrot)的初始磁場(chǎng)和相關(guān)參數(shù),列舉在表6中.在中子星內(nèi)部可能存在著超流渦絲爬行、放射性同位素化學(xué)元素衰變[94]、最小冷卻等各向同性加熱機(jī)制,但是這些加熱機(jī)制熱能產(chǎn)生率與磁星高值的X射線光度相比忽略不計(jì)[33].我們假定各向同性的軟X-射線輻射來自星體表面,給定磁星初始偶極磁場(chǎng)的估計(jì)值和實(shí)際年齡,計(jì)算出在兩個(gè)典型電導(dǎo)率情況下磁場(chǎng)能釋放率,計(jì)算結(jié)果列于表6中.

表6 12顆旋轉(zhuǎn)能損率遠(yuǎn)小于軟X射線光度的磁星的輻射特性及磁場(chǎng)能衰變率Table 6.The X-ray emission characteristics and magnetic field energy decay rates of 12 magnetars with rotational energy loss rates less than their soft X-ray luminosities.

從表6可以看到,磁星內(nèi)部磁場(chǎng)由于歐姆衰變,磁場(chǎng)能釋放率普遍地高于其軟X射線光度1—2個(gè)數(shù)量級(jí),主導(dǎo)磁能釋放率的環(huán)向磁場(chǎng)衰變足夠提供磁星寧?kù)o狀態(tài)下持續(xù)的X射線輻射,表6中LB的計(jì)算結(jié)果支持了本文的理論模型.客觀上講,我們對(duì)LB的理論計(jì)算與磁星內(nèi)部磁場(chǎng)歐姆衰變實(shí)際情形還存在一定的差異.這是由于對(duì)磁星初始磁場(chǎng)、實(shí)際年齡和內(nèi)殼層厚度的估算還存在一定的不確定性,另外,由于星際介質(zhì)對(duì)X射線的吸收以及磁星距離估計(jì)的不確定性,由磁星網(wǎng)站所給出的的值(表5中第8列)也存在一定的不確定性.隨著對(duì)磁星觀測(cè)手段、觀測(cè)設(shè)備、觀測(cè)方法的改進(jìn),以及理論方面的深入研究,本文模型也會(huì)得到進(jìn)一步改進(jìn),理論結(jié)果將更好地符合磁星的高能觀測(cè).

由于歐姆衰變過程釋放的熱能,絕大部分由熱中微子帶走,還有一部分被星體物質(zhì)吸收維持熱平衡,因此,只有很少部分的湮滅的磁場(chǎng)能轉(zhuǎn)換為熱X射線光子.我們定義磁星的軟X射線的轉(zhuǎn)換系數(shù)為

對(duì)于每顆磁星來說,其軟X射線的轉(zhuǎn)換系數(shù)的大小存在一定的差異,我們利用(34)式算出在兩種電導(dǎo)率下軟X射線的轉(zhuǎn)換系數(shù)的值,分別列于表6中第8和第10列中,發(fā)現(xiàn)12顆磁星的η分布范圍為10–2—10–1.從理論上講,一旦確定磁星的η和LB的值,通過下式來估計(jì)表面有效溫度TS,

這里σS為Stefan-Boltzmann常數(shù).由于引力紅移,觀測(cè)的磁星表面溫度小于表面有效溫度TS,兩者關(guān)系:=TS(1?rg/R)1/2,其中rg=GM/c2為史瓦西半徑.

5 總結(jié)與討論

磁星的活動(dòng)性和輻射特征歸因于內(nèi)部可能存在的超強(qiáng)磁場(chǎng).在WGW19的工作基礎(chǔ)上[33],我們計(jì)算了超強(qiáng)磁場(chǎng)下的中子星殼層電導(dǎo)率、由于歐姆衰變內(nèi)部磁場(chǎng)衰變率和磁場(chǎng)能釋放率.我們重新研究了22顆具有軟X射線輻射的磁星的LX-Lrot關(guān)系,得到了新的擬合公式.我們發(fā)現(xiàn),對(duì)于LXLrot的磁星,內(nèi)部環(huán)向磁場(chǎng)的歐姆衰變可以提供其高光度的軟X射線輻射并維持較高的表面熱溫度.

關(guān)于磁星初始偶極磁場(chǎng),我們主要參考了文獻(xiàn)[43],因?yàn)槲墨I(xiàn)[43]首次提出了中子星磁熱演化模型,這個(gè)模型可以成功地解釋年輕的中子星(包括磁星以及高磁場(chǎng)脈沖星在內(nèi))X射線的輻射機(jī)制和冷卻機(jī)制.

我們還討論了磁星軟X射線其他可能的各向異性的起源機(jī)制,例如磁斑點(diǎn)、熱塑性流波加熱等.盡管這些加熱機(jī)制與歐姆衰變不同,但是這些加熱機(jī)制都要求磁星內(nèi)部必須存在超強(qiáng)的環(huán)向磁場(chǎng),各向異性的加熱機(jī)制要求磁星內(nèi)部存在更高的磁多極場(chǎng)(如磁八極場(chǎng)),并且涉及到復(fù)雜的霍爾漂移,這些將成為我們未來關(guān)注的焦點(diǎn).隨著對(duì)磁星觀測(cè)手段、觀測(cè)設(shè)備、觀測(cè)方法的改進(jìn),以及理論方面的深入研究,本文模型也會(huì)得到進(jìn)一步的改進(jìn),理論結(jié)果將更好地符合磁星的軟X射線輻射和表面熱溫度的觀測(cè).