舒睿 陳偉 肖井華

(北京郵電大學理學院,北京 100876)

1 引 言

自20世紀末發(fā)現(xiàn)復雜網(wǎng)絡中的小世界和無標度特性后,復雜網(wǎng)絡的相關研究引起了越來越多學者的關注[1?4].自然界中存在許多的復雜網(wǎng)絡,例如因特網(wǎng)、人際關系網(wǎng)、電力網(wǎng)、交通網(wǎng)等.復雜網(wǎng)絡可以作為神經(jīng)科學[5]、模式識別[6]、化學[7]、生物[8]、天氣[9?11]等系統(tǒng)的網(wǎng)絡模型.在無標度網(wǎng)絡提出以前,人們普遍認為所有復雜網(wǎng)絡均為隨機網(wǎng)絡,且其節(jié)點的度分布為泊松分布,而在無標度網(wǎng)絡提出后,人們發(fā)現(xiàn)自然界中的大量網(wǎng)絡(例如: 科研合作網(wǎng)絡、蛋白質相互作用網(wǎng)絡、因特網(wǎng)、社交網(wǎng)絡等)都具有無標度特性,因此無標度網(wǎng)絡的特性引起了許多研究人員的興趣.無標度網(wǎng)絡具有較強的異質性,各節(jié)點之間的連接具有較強的不均勻性,即網(wǎng)絡中極少數(shù)的中心節(jié)點擁有極多的連接,而大多數(shù)節(jié)點只有很少量的連接.網(wǎng)絡中的這些中心節(jié)點對網(wǎng)絡的動力學和功能起著關鍵性作用.而無標度網(wǎng)絡所具有的較強的異質性主要來源于其星型結構的模體.星型網(wǎng)絡可以看成是無標度網(wǎng)絡在統(tǒng)計意義下重整后的理想簡化模型,但與無標度網(wǎng)絡具有多個中心節(jié)點不同,星型網(wǎng)絡只有一個中心節(jié)點,其網(wǎng)絡結構更加簡單,易于分析,因此可通過研究簡單的星型網(wǎng)絡的特性來幫助理解無標度網(wǎng)絡的某些特性.

同步現(xiàn)象是指具有相互作用的系統(tǒng)之間形成的步調一致的運動.其中,在復雜網(wǎng)絡中節(jié)點的同步是指網(wǎng)絡中的各節(jié)點的動態(tài)行為具有一致性[12].同步現(xiàn)象廣泛存在于自然界中,如在物理、生物、化學及社會系統(tǒng)中均可觀察到,并具有較為豐富的應用,包括Josephson-Junction陣列[13]、半導體激光器陣列[14]、螢火蟲的閃爍[15]、心臟起搏細胞[16]、帕金森疾病[17]和其他一些應用[18,19].耦合相振子模型(Kuramoto模型)[20?22]因能夠簡單且有效地描述很多物理系統(tǒng)中的同步和相變行為而成為研究同步問題的經(jīng)典模型.本文擬以Kuramoto模型研究星型結構網(wǎng)絡的同步優(yōu)化問題.耦合Kuramoto模型中,每個節(jié)點代表一個具有不同自然頻率的相振子,在解耦時以固定的自然頻率做勻速旋轉.節(jié)點之間通過相位影響產(chǎn)生耦合作用,星型網(wǎng)絡上Kuramoto模型動力學方程如下:

其中θh,θj分別表示中心節(jié)點和第j個葉子節(jié)點相位;ωh,ωj為對應的自然頻率;λ為中心節(jié)點與葉子節(jié)點連接的耦合強度;K為葉子節(jié)點個數(shù).當兩個節(jié)點平均頻率相等時,可認為它們達到同步.當耦合強度超過某一閾值時,耦合系統(tǒng)中所有節(jié)點的平均頻率均相等并達到同步,我們稱該閾值為同步臨界耦合強度λc.同步優(yōu)化就是通過調整或控制系統(tǒng)的參數(shù)使整個系統(tǒng)的同步臨界耦合強度達到最小值,其與實際生活中的許多應用,例如電網(wǎng)的優(yōu)化、通信領域、生物和醫(yī)學等密切相關.

最近,星型網(wǎng)絡上的同步有許多相關研究.Bergner等[23]在星型網(wǎng)絡中發(fā)現(xiàn)了一種新的同步機制,即遠程同步,具體表現(xiàn)為星型網(wǎng)絡中的中心節(jié)點與葉子節(jié)點不同步的情況下,葉子節(jié)點之間可以實現(xiàn)同步.Schmidt等[24]研究發(fā)現(xiàn)在人類大腦神經(jīng)網(wǎng)絡中,中心節(jié)點對大腦模塊之間的同步聚合發(fā)揮著關鍵性作用.這些對單個星型網(wǎng)絡的研究讓人們在純星型網(wǎng)絡上的同步方面有了更深的認識.而在無標度網(wǎng)絡中,有多個中心節(jié)點并存且有可能存在相互作用,中心節(jié)點與葉子節(jié)點的異質性使得無標度網(wǎng)絡的同步能力低于小世界網(wǎng)絡[25].Zhang等[26]發(fā)現(xiàn)多層耦合網(wǎng)絡中,可以很好地實現(xiàn)爆發(fā)式同步.通過引入星型網(wǎng)絡模型,在無標度網(wǎng)絡中引入與度相關的頻率分布后,系統(tǒng)分析了實現(xiàn)爆發(fā)式同步和分層同步的產(chǎn)生機制[27].Xu等[28]分析了兩個星型網(wǎng)絡耦合情況下的同步相變問題.在上述星型網(wǎng)絡的研究中,葉子節(jié)點的自然頻率通常被設置成相等或是只存在較小的頻率失配.然而,現(xiàn)實系統(tǒng)中這種理想假設條件常常無法達到,因而有必要討論具有隨機頻率分布情形下,耦合系統(tǒng)的同步問題.

本文在葉子節(jié)點頻率隨機分布的情況下,討論耦合星型網(wǎng)絡的同步優(yōu)化問題,以理論推導的同步臨界耦合強度為基礎,通過調節(jié)耦合系統(tǒng)的參數(shù),獲取最小同步臨界耦合強度,從而實現(xiàn)對耦合系統(tǒng)的同步優(yōu)化.第2節(jié)從單個星型結構網(wǎng)絡著手分析同步優(yōu)化問題,結果表明其同步臨界耦合強度與中心振子頻率之間具有分段線性關系,在分段點處取得最優(yōu)值.第3節(jié)討論兩個星型結構網(wǎng)絡相互耦合的情形,發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)的同步臨界耦合強度與兩中心振子的頻率之和間具有分段線性關系,且中心振子頻率之和取在某一定值上時可使同步臨界耦合強度達到最小值.當中心振子的頻率不同時,系統(tǒng)具有不同的同步過程.當系統(tǒng)走向同步的過程中只有一個同步集團時,整個系統(tǒng)的同步臨界耦合強度較小,而當系統(tǒng)中產(chǎn)生多個同步集團時,整個系統(tǒng)的同步臨界耦合強度較大.第4節(jié)分析了多個星型結構網(wǎng)絡耦合的情況,結果表明系統(tǒng)的同步臨界耦合強度與所有中心振子的自然頻率之和間存在分段線性關系.

2 單個星型網(wǎng)絡

首先討論單個星型網(wǎng)絡的情況,網(wǎng)絡結構如圖1(a)所示.Wang等[29]研究并從理論上確定了單個星型網(wǎng)絡的同步條件.當系統(tǒng)達到同步時,系統(tǒng)所有節(jié)點的平均頻率都相等,設為W,(1)式可以轉化為

圖1 耦合星型網(wǎng)絡示意圖 (a)單個星型網(wǎng)絡; (b)兩個耦合星型網(wǎng)絡; (c)多個耦合星型網(wǎng)絡Fig.1.Coupled star networks: (a) Single star network; (b) two coupled networks; (c) multiple coupled networks.

合并(2a)和(2b)式可以得到

當系統(tǒng)同步時,葉子節(jié)點滿足(2b)式,則

由于正弦函數(shù)的有界性得

將(3)式代入(4)式得到臨界耦合強度:

時,(1)式對應雅克比矩陣的特征值全部小于0.實際計算結果表明,λ≥λc時,對于任意的初始相位,耦合系統(tǒng)都會同步到(6)式的通解上.因此,λ≥λc時系統(tǒng)能達到同步,說明使用正弦函數(shù)的有界性得到的結果是可靠的.

從(4)和(5)式可知,臨界耦合強度為所有節(jié)點的頻率與最大(小)頻率的差的平均值,即:

ωm為與平均頻率差值最大的葉子節(jié)點的頻率.由(4)式可知ωm與?差距越大,則所需的同步臨界耦合強度越大.由(5)式可知,當節(jié)點頻率變化時,同步臨界耦合強度也相應地發(fā)生變化,相較于其他葉子節(jié)點,改變ωm對臨界耦合強度的影響較大.λc=mjax|??ωj|隨著?的變化可以寫成如下分段函數(shù)形式:

對于單個星型網(wǎng)絡系統(tǒng),由(7)式可知同步臨界耦合強度與中心振子頻率之間具有分段線性關系.當所有葉子節(jié)點頻率確定時,由(9)式可得實現(xiàn)最優(yōu)同步(最小同步臨界耦合強度)對應的最優(yōu)中心振子頻率.即當整個系統(tǒng)的平均頻率等于葉子節(jié)點頻率最大值與最小值的中點時,星型網(wǎng)絡系統(tǒng)的同步臨界耦合強度有最小值.

3 兩個相互耦合的星型網(wǎng)絡

其中θh1,θh2,θj1,θj2和ωh1,ωh2,ωj1,ωj2分別是S1和S2的中心節(jié)點和葉子節(jié)點的相位、自然頻率;K1,K2和λ1,λ2是S1和S2中葉子節(jié)點的數(shù)目、葉子節(jié)點和中心節(jié)點間的耦合強度;λ0是S1和S2中兩個中心節(jié)點之間的耦合強度.

以K1=3,K2=4 為例,令耦合強度λ0=λ1=λ2=λ,基于四階Runge-Kutta法計算(10)式,獲得不同中心節(jié)點頻率ωh1,ωh2下,節(jié)點的平均頻率隨耦合強度λ的變化,如圖2(a)—(e)所示.對任意給定的ωh1,ωh2,都可以計算出對應的同步臨界耦合強度λc.圖2(f)給出了系統(tǒng)的同步臨界耦合強度λc隨ωh1,ωh2的變化關系.可知,同步臨界耦合強度在不同的參數(shù)區(qū)域呈現(xiàn)不同的變化趨勢.在遠離對角線的左上和右下區(qū)域,同步臨界耦合強度沿對角線方向基本不變,而在沿對角線的垂線方向發(fā)生改變.越接近對角線,同步臨界耦合強度越小;在對角線附近區(qū)域,同步臨界耦合強度在對角線的垂線方向基本不變,而在沿對角線方向發(fā)生變化,并在中間某處取得最小值.圖2(a)—(e)給出了在圖2(f)中的五個黑點對應參數(shù)下的平均頻率隨耦合強度變化關系.圖2(a)和圖2(e)是遠離對角線的情形,隨著耦合強度的增大,耦合系統(tǒng)的節(jié)點會先形成兩個同步子集團,再通過兩個同步子集團合并而達到同步.圖2(b)—(d)是靠近對角線的情形,隨著耦合強度的增大,耦合系統(tǒng)的節(jié)點會直接先形成一個規(guī)模較大同步集團并通過不斷吸引其他節(jié)點加入而走向整體同步.與通過大集團與小個體競爭走向同步相比,兩個規(guī)模相當?shù)耐郊瘓F相互競爭走向同步的難度明顯要大,因此要使系統(tǒng)更容易達到同步,應該盡量避免使系統(tǒng)產(chǎn)生多個同步子集團.

下面討論耦合星型網(wǎng)絡中,節(jié)點的頻率值對系統(tǒng)同步臨界耦合強度的影響.當系統(tǒng)達到同步時,所有節(jié)點的平均頻率相等,可將(10)式合并并消去耦合項得到系統(tǒng)的同步平均頻率為

圖2 ωj1=[0.31,0.42,0.5],ωj2=[0.58,0.53,0.57,0.33?]情況下的數(shù)值計算結果 (a)?(e)不同中心節(jié)點頻率情況下的節(jié)點平均頻率隨耦合強度的變化,其中紅線和藍線分別表示(a)(e)不同中心節(jié)點頻率情況下的節(jié)點平均頻率隨耦合強度的變化,其中紅線和藍線分別表示S1和S2的節(jié)點,粗線和細線分別表示中心節(jié)點和葉子節(jié)點; (f)系統(tǒng)臨界耦合強度 λc 隨 ωh1,ωh2 值的變化,越靠近冷色調表示臨界耦合強度越小Fig.2.Numerical results for ωj1=[0.31,0.42,0.5],ωj2=[0.58,0.53,0.57,0.33].(a)?(e) Average frequency versus coupling strength for two coupled star networks S1 (red) and S2 (blue).The thick and thin lines respectively represent the center nodes and leaf nodes.(f) The critical coupling strength λc versus ωh1,ωh2.The value of λc is shown according to the colorbar.

根據(jù)同步條件,(10b)和(10d)式中S1和S2的葉子節(jié)點滿足:

由正弦函數(shù)的有界性得

由(12)式可得

將其代入(14)式得

由正弦函數(shù)的有界性得

(16)式是通過S1的中心節(jié)點的(10a)式得到的,通過S2的中心節(jié)點的(10c)式同樣可得以上結果.

令

系統(tǒng)最優(yōu)同步臨界耦合強度處于圖3(d)中的白線所在參數(shù)區(qū)域,此時隨之和的變化情況如圖4所示,臨界耦合強度與中心振子頻率之和滿足分段線性關系,如(19)式,并在分段點處取得最小值.圖中兩條線的交點c處橫坐標滿足的線性關系為圖3(d)中(1),(2)部分的分割線.在c點附近小于與,此時由或決定.在c點處,取合適的范圍(圖3(d)中為小于與,此時同步臨界耦合強度具有最小值.下面理論導出最優(yōu)的使同步臨界耦合強度取最小值.

圖3 (a)?(c)分別表示值的變化情況; (d) 隨值的變化情況參數(shù)平面被分為不同的區(qū)域,兩條紅線表示與相等的區(qū)域,兩條黑線表示與相等的區(qū)域,白線表示與相等的區(qū)域Fig.3.(a)?(c)versusversuswhere the parameter space can be divided into different regions according to the value of ; the red lines denotethe black lines denotethe white lines denote

圖4 系統(tǒng)的臨界耦合強度隨 ωh+ωh 值的變化情況12Fig.4.Relationship betweenand ωh+ωh.12

將(11)式?值代入上式可得耦合系統(tǒng)取得最優(yōu)同步臨界耦合強度λc的條件如下:

當λ0,λ1,λ2不相等時,分別固定λ0或者λ1,改變剩下的兩個耦合強度得到系統(tǒng)的同步情況,對于每一組固定的耦合強度,計算系統(tǒng)穩(wěn)定時節(jié)點的平均頻率,進而得到這些節(jié)點平均頻率的方差的對數(shù)值,如圖5所示.只有當三個耦合強度均大于系統(tǒng)的同步臨界耦合強度時,系統(tǒng)才能達到同步.數(shù)值計算結果如下: 圖5(a)中當時,S1中的中心節(jié)點無法與S2中的中心節(jié)點同步,圖5(a)中(1)部分中S1中上所有葉子節(jié)點和中心節(jié)點能同步,而S2的無法達到同步,圖5(a)中(2)部分則與中的節(jié)點均各自無法同步,圖5(a)中(3)部分的所有葉子節(jié)點和中心節(jié)點同步,的所有葉子節(jié)點和中心節(jié)點同步,但和未同步,圖5(a)中(4)部分的所有葉子節(jié)點和中心節(jié)點同步,未同步.圖5(b)與圖5(a)類似,但此時和的中心節(jié)點同步,圖5(b)中(3)部分中系統(tǒng)達到完全同步.圖5(c)中數(shù)值結果發(fā)現(xiàn)始終不能同步,而在圖5(d)中圖5(d)中(3)部分時,系統(tǒng)達到完全同步.

圖5 ωh=0.4,ωh=0.8 時,不同耦合強度參數(shù)區(qū)間下,節(jié)點平均頻率的方差的對數(shù)值 (a) λ0<; (b) λ0>;12(c) λ1<; (d) λ1>λ1c ,顏色越靠近冷色調表示系統(tǒng)的同步程度越高,黑線、白線、綠線分別表示理論推導出的,,Fig.5.Logarithmic variance of average frequency in parameter space of coupling strength for ωh1=0.4,ωh2=0.8 : (a) λ0<;(b) λ0>; (c) λ1<λ1 c ; (d) λ1>.The smaller logarithmic variance of average frequency indicates better synchronization.Black line,white line and green line represent the theoretical critical coupling strength for synchroniation ,,,respectively.

4 多個星型相互耦合網(wǎng)絡

考慮n個星型網(wǎng)絡耦合的情況,引入一個中心連接節(jié)點h0,n個星型網(wǎng)絡的中心節(jié)點與節(jié)點h0相互耦合,將第i個星型網(wǎng)絡稱為Si,網(wǎng)絡結構如圖1(c)所示.該耦合系統(tǒng)的動力學方程為

方程中的θhi,θji和ωhi,ωji是Si中的中心和葉子節(jié)點的相位、自然頻率;Ki是Si中的葉子節(jié)點的個數(shù);λ0是Si中的中心節(jié)點與中心連接節(jié)點h0間的耦合強度.當系統(tǒng)達到同步時,所有節(jié)點的平均頻率

由(21b)式和同步條件可得

將(21a)和(21b)式合并得

由(23)和(24a)式可得

令

一定有解,即在ωhi的和為某一定值時,都可以找到一組ωhi使得=0.當取耦合強度相等即λ0=λ1=λ2=λ時,系統(tǒng)的同步臨界耦{合強}度為(27)和(28)式的最大值,即λc=max,.以K1=3,K2=5,K3=4為例,對于所有不同的可得到使=0 的ωhi,并以此振子頻率為參數(shù)通過數(shù)值計算獲得系統(tǒng)的同步臨界耦合強度,如圖6(a)中的圓圈所示,此結果與理論推導的結果一致,如圖6(a)所示.

固定λ1=0.41≥,λ2=0.5≥,改變λ3,λ0時,計算所有節(jié)點平均頻率的方差的對數(shù),如圖6(b)所示,其中綠線和白線分別是由理論得到的,.結果表明理論推導的同步臨界耦合強度與數(shù)值計算結果一致.圖6(b)中(1)部分λ0>,λ3>,所有中心節(jié)點與連接節(jié)點同步,S3未同步; (2)部分λ0>,λ3>,中心節(jié)點未與連接節(jié)點同步,S3未同步; (3)部分所有λ0>,λ3>,系統(tǒng)完全同步; (4)部分≥,≥,S3的所有葉子節(jié)點和中心節(jié)點同步,各中心節(jié)點未同步.同樣地,對于不同的Ki,理論結果與數(shù)值計算結果依然符合.

圖6 參數(shù)為ωj1=[0.27,0.05,0.10],ωj2=[0.69,0.31,0.84,0.95,0.03],ωj3=[0.77,0.80,0.19,0.49]時的數(shù)值計算結果(a)控制所有耦合強度相等時,系統(tǒng)的同步臨界耦合強度隨 ωhi 的和的關系圖,數(shù)值計算結果如圓圈所示,理論推導結果如實線所示; (b)當固定 λ1=0.41,λ2=0.5 ,改變參數(shù) λ3,λ0 時,所有節(jié)點平均頻率的方差的對數(shù)結果,綠線和白線分別是理論得到的,Fig.6.Numerical results and theoretical results for ωj1=[0.27,0.05,0.10],ωj2=[0.69,0.31,0.84,0.95,0.03],ωj3=[0.77,0.80,0.19,0.49]: (a) The critical coupling strength for synchronization versus the summation of central node frequencies; the numerical results are shown in the circle and the theoretical ones are shown in the solid lines; (b) the logarithmic variance of average frequency in parameter space of λ3,λ0 for given λ1=0.41,λ2=0.5.

5 結 論

本文討論了具有非全同葉子節(jié)點的多個耦合星型網(wǎng)絡的同步優(yōu)化問題.單個星型網(wǎng)絡節(jié)點頻率對系統(tǒng)同步臨界耦合強度的影響結果表明,同步臨界耦合強度與中心節(jié)點的頻率滿足分段線性關系,在分段點處具有使同步臨界耦合強度達到最優(yōu)的頻率.

兩個耦合星型網(wǎng)絡中,理論導出了每個子星型網(wǎng)絡內部實現(xiàn)同步所需的臨界耦合強度,以及兩個星型網(wǎng)絡之間實現(xiàn)同步所需的臨界耦合強度.當系統(tǒng)所有耦合強度相同時,系統(tǒng)的同步臨界耦合強度λc=max{,,} ,改變兩個中心節(jié)點的自然頻率會影響同步臨界耦合強度,的值,從而影響系統(tǒng)的同步臨界耦合強度λc的值.在最優(yōu)點附近同步臨界耦合強度與兩個中心節(jié)點自然頻率之和滿足分段線性關系.中心節(jié)點的自然頻率的參數(shù)平面會分成不同的區(qū)域,在每一個區(qū)域內臨界耦合強度由相應的或者決定.在由決定的區(qū)域里:≥,≥,兩個星型網(wǎng)絡先各自內部實現(xiàn)同步而形成兩個同步子集團,最后系統(tǒng)達到同步所需的同步臨界耦合強度較大.在由決定的區(qū)域里:≥,≥,隨著耦合強度的增大,只會產(chǎn)生一個同步集團,子網(wǎng)絡S1中葉子逐漸加入到同步集團,系統(tǒng)達到同步所需的臨界耦合強度較小.由決定的區(qū)域里的情況與決定的區(qū)域的情況一樣,在這兩個區(qū)域相交的部分:=≥,隨著耦合強度的增大,系統(tǒng)先產(chǎn)生一個同步集團,然后不斷有葉子節(jié)點并入到同步集團,直到兩個子網(wǎng)絡S1,S2的所有葉子并入同步集團,系統(tǒng)達到完全同步,系統(tǒng)的同步臨界耦合強度最小,此時兩個中心節(jié)點自然頻率的和為一固定值.當各子網(wǎng)絡間的耦合強度不相等時,當且僅當各子網(wǎng)絡的耦合強度均大于等于相應的同步臨界耦合強度,時,系統(tǒng)才能達到同步.如果某一部分不滿足條件,該部分對應的節(jié)點就不能同步.

多個耦合星型網(wǎng)絡中,通過理論推導得出了每個子星型網(wǎng)絡內部同步的臨界耦合強度,以及子星型網(wǎng)絡之間同步的臨界耦合強度.當系統(tǒng)所有耦合{強度相}同時,系統(tǒng)的臨界耦合強度λc=max,.當中心連接節(jié)點和中心節(jié)點的頻率之和為任意定值時,調節(jié)中心連接節(jié)點和中心節(jié)點的頻率可以使較小,系統(tǒng)臨界耦合強度λc由決定,此時λc與中心連接節(jié)點和中心節(jié)點的頻率和成分段線性關系,在分段點處取得最小值.在最優(yōu)的情況下,隨著耦合強度的增大,只會產(chǎn)生一個同步集團.

總之,隨著耦合強度的增大,當系統(tǒng)產(chǎn)生多個同步集團時,臨界耦合強度較大,而只產(chǎn)生一個同步集團時臨界耦合強度較小,因此為了優(yōu)化同步應該盡量避免產(chǎn)生多個同步集團,而應該是只有一個大集團不斷吸收小個體的方式.