江蘇省揚州中學(xué) (225009)

王 晨 戚有建

很多高考題看起來很平常，實際上卻豐富多彩，都是專家經(jīng)過精心思考編制出來的，所以有很大的教學(xué)價值和研究空間.本文從一道高考解幾題出發(fā)，首先對問題進行了推廣研究、類比研究，然后研究問題的背景，最后研究背景的應(yīng)用.

一、考題展示

圖1

(1)求C的方程，并說明C是什么曲線；

(2)過坐標(biāo)原點的直線交C于P,Q兩點，點P在第一象限，PE⊥x軸，垂足為E，連結(jié)QE并延長交曲線C于點G，證明：ΔPQG是直角三角形.

點評：本題是2019年全國卷Ⅱ理科數(shù)學(xué)的21題、是選拔題，與2011年江蘇卷18題相似度很高.第(1)問考查軌跡方程，用直譯法處理即可，注意橢圓不含左右頂點；第(2)問考查用方程來研究曲線的性質(zhì)，即用代數(shù)方法(坐標(biāo)法)來研究幾何問題(垂直問題).本題看起來很平凡，實際上卻平而不凡，有很大的研究價值，我們重點研究第(2)問.

二、解法研究

解法2以點P,G的坐標(biāo)x1，y1,x2，y2為參數(shù)，通過代數(shù)運算(坐標(biāo)運算)來解決幾何問題(垂直問題)，借助點差法、設(shè)而不求，充分體現(xiàn)了解析幾何的基本思想，但由于解題過程中涉及四個參數(shù)x1，y1,x2，y2，所以消參時有一定困難，對代數(shù)變形的要求較高.

三、推廣研究

圖2

四、類比研究

將命題1類比到雙曲線中，可得下面命題：

五、背景研究

圖3

六、相關(guān)推論

實際上從命題3出發(fā)可以得到很多推論：

圖4

七、背景應(yīng)用

圖5