江蘇省無錫市僑誼實(shí)驗(yàn)中學(xué) 成宏喬

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提出是要引導(dǎo)學(xué)生會(huì)學(xué)習(xí)、會(huì)思考、會(huì)應(yīng)用，通過“問題解決”提升學(xué)生的思維品質(zhì)。數(shù)學(xué)問題的設(shè)計(jì)和處理可以看出教師的數(shù)學(xué)“功底”，而開放型問題由于靈活的特點(diǎn)更能體現(xiàn)教師教學(xué)的“底蘊(yùn)”，經(jīng)常發(fā)現(xiàn)很多教師在實(shí)際教學(xué)中處理得并不好，不但達(dá)不到培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維及創(chuàng)新能力的目的，甚至起到反作用，抑制了學(xué)生的發(fā)展，筆者就結(jié)合近期聽課的案例談?wù)勛约旱南敕ā?/p>

一、案例呈現(xiàn)與分析

案例1：蘇教版九年級(jí)《正多邊形與圓》的授課中，教師為了講授正多邊形與圓的關(guān)系，做了如下安排：

師：你會(huì)畫正五邊形嗎？在你自己的講義上畫一下，并說明你畫的理由（備注：講義上有一個(gè)畫好的圓）。2 分鐘后，教師請(qǐng)一位已經(jīng)完成的學(xué)生到投影前說明。

生： 如 圖1， 作∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOE＝∠EOA＝72°，可以得到5 個(gè)全等的等腰三角形，因?yàn)槊總€(gè)等腰三角形的每個(gè)底角是54°，從而得到五邊形ABCDE每條邊相等且每個(gè)內(nèi)角等于108°，根據(jù)多邊形的定義可以說明五邊形ABCDE為正五邊形。

圖1

師：回答得很好。我們已經(jīng)會(huì)畫正五邊形了，你會(huì)畫正六邊形、正七邊形……嗎？

生：會(huì)?。ㄈw師生）

師：如何畫正八邊形？

生：先畫一個(gè)圓，然后作圓心角為45°的等腰三角形……

師：很好！我們發(fā)現(xiàn)正多邊形與圓的關(guān)系很密切，今天我們就來研究正多邊形與圓的關(guān)系。

分析：從教學(xué)過程來看，教師通過開放性問題“你會(huì)畫正五邊形嗎”引發(fā)學(xué)生思考，從結(jié)果來看，似乎很順利地完成了預(yù)設(shè)，即與學(xué)生一起研究“正多邊形與圓的關(guān)系”，但從教學(xué)效果來看，我們不得不問：難道畫正多邊形一定需要圓？由于學(xué)生沒有充分思考，且講義中的圓對(duì)學(xué)生的引導(dǎo)，讓學(xué)生誤認(rèn)為畫正多邊形一定需要圓。其實(shí)不然，學(xué)生在研究多邊形時(shí)經(jīng)常會(huì)碰到這樣的題：小明向前走20 米，然后右轉(zhuǎn)30°；再向前走20 米，然后再右轉(zhuǎn)30°……最后，他回到了原點(diǎn)，小明一共走了多少米？經(jīng)過思考不難發(fā)現(xiàn)，小明走的軌跡剛好是正十二邊形的形狀，當(dāng)初學(xué)生也能很好地解決該問題，現(xiàn)在也可以用這樣的方法畫正五邊形。所以，教師雖然設(shè)計(jì)了開放性問題，但未達(dá)到開放的效果，與其這樣，還不如就直接限制條件，設(shè)計(jì)成“你會(huì)在圓中畫一個(gè)正五邊形嗎？”則指向更清晰。當(dāng)然，教師如果設(shè)計(jì)成“你會(huì)畫正六邊形嗎？”這樣的問題設(shè)計(jì)很開放，學(xué)生思維得以充分發(fā)散，估計(jì)很多學(xué)生會(huì)自然呈現(xiàn)圓的框架，通過教師的引導(dǎo)，可以很好地達(dá)到本節(jié)課教學(xué)的目的。

案例2：八年級(jí)專題課《分割三角形之等腰三角形》的授課中，教師為了講授如何用一條分割線將一個(gè)特殊三角形分成兩個(gè)較小的等腰三角形，做了如下安排：師：如何將一個(gè)直角三角形分割成兩個(gè)較小的等腰三角形？生：分割線過斜邊上的中線。

師：如何將圖2 的三角形分割成兩個(gè)較小的等腰三角形？

學(xué)生經(jīng)過思考、討論、操作后，得到答案：過點(diǎn)C作CD交AB于點(diǎn)D，且滿足∠ACD＝28°。

圖2

師：你是怎么得到的？

生：作AC邊上的垂直平分線交AB與點(diǎn)D，就可以得到AD＝CD，恰好此時(shí)BC＝BD。

教師肯定后提出問題：你們會(huì)將圖3 的三角形分割成兩個(gè)較小的等腰三角形嗎？學(xué)生類似上述作法較快地完成。

圖3

分析： 教師先研究直角三角形，再研究特殊角的三角形，最后研究一般規(guī)律的三角形，設(shè)計(jì)的意圖很明顯，旨在通過思考、嘗試、操作，讓學(xué)生感受到將具有上述規(guī)律的三角形分割成兩個(gè)等腰三角形的一般方法，甚至可以觸動(dòng)學(xué)生思考“還有怎樣的三角形也能分割成兩個(gè)等腰三角形？”但在實(shí)際上課中，我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)于第一個(gè)開放性問題還沒充分研究，就“被迫”思考第二個(gè)問題。如果給學(xué)生時(shí)間，他們會(huì)想：這個(gè)直角三角形會(huì)有什么要求？是特殊的還是任意的？這條分割線是經(jīng)過直角三角形的頂點(diǎn)還是底角的端點(diǎn)呢？八年級(jí)的學(xué)生已經(jīng)有較好的思維能力，對(duì)于分類討論的思想接觸也很多，此時(shí)“趕進(jìn)度”是對(duì)他們剛形成的正確思考方式的“顛覆”，所以，要不就條件封閉，如過直角端點(diǎn)的分割線將任意的直角三角形分割成兩個(gè)等腰三角形，或者給一個(gè)任意三角形（或直角三角形），能否確保分割的兩個(gè)三角形有一個(gè)是等腰三角形？進(jìn)而再研究另一個(gè)三角形。在之后的圖2 題目的解答到圖3 題目的歸納中，且不說模仿的痕跡多于探究，也存在上述問題，由于條件開放，就需考慮分割線過點(diǎn)B的情況。嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S和科學(xué)探究精神是數(shù)學(xué)教學(xué)的價(jià)值所在，才是學(xué)生的“關(guān)鍵能力”。

從立德樹人頂層設(shè)計(jì)到學(xué)科核心素養(yǎng)的提出，目標(biāo)都是培養(yǎng)全面發(fā)展的人，也就意味著我們的課堂需從關(guān)注知識(shí)傳授轉(zhuǎn)化為關(guān)注學(xué)生成長。數(shù)學(xué)課堂更重要的是引發(fā)學(xué)生思考、質(zhì)疑、探索，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值。

二、教學(xué)建議

1.基于學(xué)生的知識(shí)儲(chǔ)備及學(xué)齡特點(diǎn)進(jìn)行開放問題設(shè)計(jì)

由于學(xué)生學(xué)習(xí)水平的差異，在設(shè)計(jì)開放題的時(shí)候要充分考慮到學(xué)生的學(xué)齡特點(diǎn)及相關(guān)知識(shí)的儲(chǔ)備，對(duì)于學(xué)生熟知的或感興趣的內(nèi)容，可以選擇條件開放或結(jié)論開放等方法控制課堂，反之，則放寬限制。如在剛學(xué)“三角形三邊關(guān)系”時(shí)可以設(shè)計(jì)這樣的問題：有三根細(xì)木棒，長度分別為3cm、4cm、xcm，請(qǐng)找到一個(gè)合適的x，使得這三根木棒能搭成一個(gè)三角形。而到復(fù)習(xí)階段則可以設(shè)計(jì)成：有四根細(xì)木棒，長度分別為2cm、3cm、4cm、xcm，請(qǐng)找到一個(gè)合適的x，使得從中任選三根，均能搭成一個(gè)三角形。文化的核心是思維，開放問題的設(shè)計(jì)不是隨著學(xué)生知識(shí)的積累越來越難，而是要通過設(shè)計(jì)適合學(xué)情的開放問題，促使學(xué)生思考，通過條件和結(jié)論的開放或封閉的變化，讓學(xué)生對(duì)知識(shí)的有更深層的理解，養(yǎng)成樂于思索、積極表達(dá)及嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S，這才是學(xué)生終身發(fā)展的必備品格。

2.基于教師的授課水平及專業(yè)知識(shí)進(jìn)行開放問題設(shè)計(jì)

由于開放問題有難操控的特點(diǎn)，很多教師在教學(xué)中不愿嘗試，從發(fā)展學(xué)生素養(yǎng)及老師專業(yè)水平的角度思考，建議教師根據(jù)自身特點(diǎn)逐步嘗試，可以先嘗試一些半開放、純數(shù)學(xué)的問題，如：我們所學(xué)的函數(shù)中，函數(shù)值y隨著x的增大而增大，它會(huì)是什么函數(shù)？這樣的開放問題教師能順利地解決，也可以促進(jìn)學(xué)生思考，對(duì)函數(shù)進(jìn)行比較、歸納。但是對(duì)于一些概念問題，即使教師掌控的難度很大，從培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)精神的角度思考也要去面對(duì)。如在《等可能性》中，讓學(xué)生思考：生活中有哪些等可能事件？可能有些事件會(huì)有爭議，但這些爭議會(huì)使學(xué)生加深對(duì)概念的理解，加深對(duì)生活的認(rèn)識(shí)。總而言之，進(jìn)行開放問題的設(shè)計(jì)對(duì)教師的要求較高，即需要教師全面汲取知識(shí)，也要求教師能靈活處理突發(fā)問題，對(duì)于學(xué)生所呈現(xiàn)的答案和問題要解釋好、引導(dǎo)好。

3.基于課堂的教學(xué)目標(biāo)及學(xué)生生成進(jìn)行開放問題設(shè)計(jì)

由于很多開放問題的答案不唯一，對(duì)于學(xué)生的生成進(jìn)行處理就成了很多課堂的看點(diǎn)，主流觀點(diǎn)是“輕預(yù)設(shè)、重生成”，尊重學(xué)生的生成才是真正的課堂，才會(huì)促進(jìn)學(xué)生的認(rèn)識(shí)與成長。但筆者認(rèn)為，尊重學(xué)生的生成固然重要，但更重要的是教師在“預(yù)設(shè)”上體現(xiàn)自己的專業(yè)性，不宜在一些非重點(diǎn)問題或非思維難點(diǎn)上設(shè)置過于開放的問題，以至于耗費(fèi)太多的時(shí)間，一節(jié)課的目標(biāo)達(dá)成與否，是檢驗(yàn)一節(jié)課是否成功的標(biāo)準(zhǔn)之一。如在講解《有理數(shù)》時(shí)，教師提問：你對(duì)數(shù)有什么認(rèn)識(shí)？結(jié)果師生討論熱烈，花了20 分鐘講了數(shù)的發(fā)展、分類……而對(duì)于正數(shù)、負(fù)數(shù)的概念及相反意義的量的表示等應(yīng)該講授的內(nèi)容卻匆匆?guī)н^，肯定不是我們認(rèn)可的高質(zhì)量的課堂。

總之，開放問題的設(shè)計(jì)在當(dāng)前發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的背景下尤為重要，我們一定要多運(yùn)用，更要用好，這有利于提高學(xué)生的表達(dá)能力和評(píng)價(jià)能力，有利于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。所以，雖然本文談得較多的是設(shè)計(jì)開放問題存在的一些問題，但并不是否定開放問題在數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用，而是提醒我們教育工作者要提高認(rèn)識(shí)、提升自己。正如鄭毓信教授所言，有了開放的思想，即使是封閉題也可以取得與開放題一樣的效果，這樣才能為學(xué)生的“發(fā)展”作出該有的貢獻(xiàn)。

課堂不是舞臺(tái)，熱鬧就行，課堂應(yīng)該是沃土，滋養(yǎng)著學(xué)生，教師作為播種者，養(yǎng)料就是教師在教學(xué)過程中所呈現(xiàn)出來的開放、專業(yè)、睿智、包容和欣賞。