曹學(xué)勤

摘 要 高中數(shù)學(xué)的最值問題是一個常見的題目，它對知識的綜合應(yīng)用和各種數(shù)學(xué)思想方法有較高的要求。本文就常見的最值問題歸納分析和方法總結(jié)，為解決這一類問題做準(zhǔn)備。

關(guān)鍵詞 高中;最值;解法

中圖分類號：O241.7?????????????????????????????????????????????????? 文獻標(biāo)識碼：A????????????????????????????????????????????????? 文章編號：1002-7661（2019）28-0171-01

數(shù)學(xué)中最值問題在考試中很常見，經(jīng)常涉及。它對知識的綜合應(yīng)用和各種數(shù)學(xué)思想方法有較高的要求，一般是綜合題型。因為這樣的要求，有些學(xué)生就會感覺困難。這一類型題目的出題形式多種多樣，可以是選擇填空題，也可以是簡答題。這就不僅要掌握基礎(chǔ)知識和基本方法，還要靈活應(yīng)用知識的技巧、規(guī)范的步驟，解決這一類題目才能得心應(yīng)手。下面我針對一些常見的類型，分析常見的解決辦法。

首先來看常見的求最值的方法：函數(shù)的最值常用函數(shù)性質(zhì)特別是單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)來解決。其他常用的有線性規(guī)劃、基本不等式、幾何方法等。線性規(guī)劃單獨成題，不再研究。不同題目中，以不同的載體和形式出現(xiàn)。

例1：已知函數(shù)，求的最大值及此時的x。

形式上是函數(shù)的最值問題。從不同的角度分析，可以有不同的做法。分析其形式特點，對應(yīng)采用合適的解決方法。

分析一，從函數(shù)的角度來看，這是一個復(fù)合函數(shù)求最值的問題。根據(jù)這種由里到外的原則，先求定義域，換元t=x（1-x），由t的范圍，可得函數(shù)值y的最大值為0.5。

從做題過程可以看出，實際上是利用了二次函數(shù)區(qū)間上的最值來解決的。類似于這樣的問題，只要熟悉各種基本初等函數(shù)，數(shù)形結(jié)合，觀察最高點和最低點就可以得到最值。比如函數(shù)在時的最值，要求畫出函數(shù)的圖像，并截取所需要的部分，觀察圖像就可以得到。類似于三角函數(shù)也一樣。實際上只要是基本初等函數(shù)都是這樣的做法。

分析二，當(dāng)時，x和1-x都是非負(fù)數(shù)，且x和1-x的和為定值，可以利用基本不等式來求最值。但要注意x為0和1的特殊情況，綜上就可以得到y(tǒng)的最大值0.5。

要用基本不等式來求最值，必須在形式上具有和或積是定值，才能求積或和的最值。并要注意參與基本不等式的兩個數(shù)都是正數(shù)，且等號能夠取到這兩個條件。也就是我們常說的三個條件“一正，二定，三相等”，考試中常在這些方面做文章。類似的變形考題如：求的最值。題目中的4其實不影響定值。再如，這時2就有了影響，為得到和是定值，變形即可，就可以利用基本不等式來求解最值了。這種題型也常在解析幾何考題中出現(xiàn)，比如求面積的最值，常是將面積表示為某變量的函數(shù)，利用基本不等式求解。近幾年高考題中常有這種類型，要引起注意。

分析三，考慮到的特殊性，想到三角函數(shù)就在0到1范圍內(nèi)，故可利用三角代換x=sin²來解決問題。用這種方法時，一定要注意變量范圍。三角代換求最值中，要熟練利用三角函數(shù)的相關(guān)公式，變形為形式的最值問題結(jié)合三角函數(shù)公式和函數(shù)性質(zhì)來完成這一類題目。

這道題也是一些最值問題的解決辦法。另外在考試中，也有一些復(fù)雜函數(shù)的最值問題，大部分是利用導(dǎo)數(shù)來解決。在高考中，可以單獨成題。比如2018年高考文科21題第二問就是這樣：已知函數(shù)證明：當(dāng)時，。

我們只看第二問，實質(zhì)上是一個最值問題。構(gòu)造新函數(shù)，求他的的最小值點就可以得到結(jié)論。證明不等式成立，實質(zhì)上是通過求解函數(shù)的最值來完成。這個函數(shù)中，既有指數(shù)函數(shù)，又有對數(shù)函數(shù)，不是基本初等函數(shù)，形式上比較復(fù)雜。所以要用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性來完成。還有一類題，也是通過函數(shù)的最值來完成的，但是他以不同的載體出現(xiàn)的。再看下面一道題：在中，，a=3，求周長的最大值。

分析一，要借助三角函數(shù)公式，來構(gòu)建有關(guān)周長的函數(shù)l，由函數(shù)來求解最值問題。本題看是三角函數(shù)的綜合題目，實際上還是方程思想來解決的。分析二，可以結(jié)合余弦定理，利用基本不等式來完成。本題以三角形為載體，考察了用函數(shù)和基本不等式求最值的問題。要透過現(xiàn)象看本質(zhì)，根據(jù)題目的不同形式，采用合適的辦法來解決。數(shù)列中，也常有最值問題。

例3，在等差數(shù)列中，，求數(shù)列前n項和以及他的最大值。

分析一，將Sn表示成關(guān)于n的函數(shù)，還是利用函數(shù)來求解最值問題。這是關(guān)于n的二次函數(shù)，只不過是n只能取到正整數(shù)，仍然可以利用二次函數(shù)的知識來解決。分析二：數(shù)列也有他自身特殊的處理辦法，不僅僅可用函數(shù)知識來解決。通過分析數(shù)列中的項，首項為11公差為2，可知這個數(shù)列是這樣的;11，9，7，5，3，1，……，可見前6項為正數(shù)，第7項開始以后都是負(fù)數(shù)，當(dāng)然前6項的和是最大的。

再看一道以向量為載體的最值問題：已知是平面內(nèi)互相垂直的單位向量，若向量c滿足，求的最大值。分析：轉(zhuǎn)化為幾何圖形問題。由條件可知，向量c的終點在以a，b，終點為直徑的圓上，故的最大值為。

最值問題是考試中很常見的一類型題，他經(jīng)常以不同的形式不同的載體來出現(xiàn)。常見的考察形式有函數(shù)，三角函數(shù)，數(shù)列、向量或解析幾何等。但解決時都需要進行相應(yīng)的轉(zhuǎn)化。一般常見的解決辦法是利用函數(shù)或三角代換、基本不等式或線性規(guī)劃以及幾何方法等來解決。以上的分析可見不論是哪種形式，都在考察函數(shù)方程，數(shù)形結(jié)合、分類討論和化歸思想這些核心素養(yǎng)。要熟悉基礎(chǔ)知識基技能，同時不斷提高分析問題解決問題的能力，提高計算能力。在此基礎(chǔ)上掌握各種求最值的方法，也要注意使用的條件和技巧準(zhǔn)確轉(zhuǎn)化，更重要的是能夠靈活熟練的綜合應(yīng)用知識和解法，才能在高考中將最值問題很好解決，進一步提高考試成績。