蘇 玖

一、真題展現(xiàn)

（2019年全國(guó)Ⅰ卷第1題）已知集合M＝｛x|-4＜x＜2｝，N＝｛x|x2-x-6＜0｝，則M ∩N ＝（ ）

A.｛x|-4＜x ＜3｝ B.｛x|-4＜x ＜-2｝

C.｛x|-2＜x ＜2｝ D.｛x|2＜x ＜3｝

二、思維延伸

其實(shí)本題中集合M 中的元素也是一元二次不等式x2＋2x-8＜0的解集，如果集合M中的元素是離散型的，如元素為整數(shù)、自然數(shù)、正整數(shù)等，于是可以改編為：

注意0也是自然數(shù).本題求兩個(gè)集合交集，兩個(gè)集合之間的關(guān)系有相等、包含于或包含，如果題目條件改為包含于或包含，集合中元素可以是含有參數(shù)的方程的解，由兩個(gè)集合的關(guān)系確定參數(shù)的取值.于是又可以改編為：

本題是研究集合相等的，但集合之間的關(guān)系還有子集或真子集的關(guān)系，如果題目條件改為包含于或包含，于是又可以改編為：

值得注意空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.本題中兩個(gè)集合一個(gè)是單元素集合，另一個(gè)是兩元素集合，研究其子集關(guān)系，如果兩個(gè)集合中元素都是以不等式形式呈現(xiàn)，再來(lái)研究集合的交集、并集、補(bǔ)集等基本運(yùn)算，于是改編為：

（1）若A ∩B ≠?，求a的取值范圍；

（2）若A ∪B＝B，求a的取值范圍；

（3）若（?UA）∩B＝B，求a的取值范圍.

利用數(shù)軸確定參數(shù)a的取值范圍，方法簡(jiǎn)潔明了.如果改為三個(gè)集合的交集、并集、補(bǔ)集的運(yùn)算，于是有：

前面集合中的元素都是x，但也可以改變集合中代表元素的含義，于是改編為：

上述都是研究數(shù)的集合，也可以改編為點(diǎn)集，再來(lái)求集合的交集、并集等基本運(yùn)算，于是有：

值得注意的是，有一部分學(xué)生將A ∩B 又錯(cuò)誤理解為兩個(gè)函數(shù)的值域的交集，他們得出錯(cuò)誤答案.還有同學(xué)回答為（-1，1），（4，6），這僅僅是幾何中的兩個(gè)元素.本題兩條曲線（包括直線）是確定的，如果含有參數(shù)，那么又可以改編為：

本題的關(guān)鍵就是理解“集合A∩B有4個(gè)子集”所提供的信息是什么？然后將此信息再轉(zhuǎn)化為幾何直觀想象問(wèn)題，于是問(wèn)題很容易求解.但也可以改編為給出兩個(gè)集合運(yùn)算的韋恩圖，通過(guò)直觀想象轉(zhuǎn)化為兩個(gè)集合的相關(guān)運(yùn)算，于是有：

（改編9）已知全集U＝｛（x，y）|x∈R，y∈R｝，如圖1所示的韋恩圖表示集合M ＝｛（x，y）|x2＋y2＞4｝，N ＝｛（x，y）|（x-3）2＋y2＞1｝的關(guān)系，那么陰影部分所表示的集合為 .

圖1

三、點(diǎn)撥解析

原題解析：利用一元二次不等式的解法和交集的運(yùn)算即可得出.

因?yàn)镸＝｛x|-4＜x ＜2｝，N＝｛x|x2-x-6＜0｝＝｛x|-2＜x ＜3｝，所以M ∩N＝｛x|-2＜x ＜2｝.故選C.

改編1解析：A＝｛x|-2＜x＜3｝，而集合B 中元素為自然數(shù)，于是A∩B＝｛0，1，2｝.注意0也是自然數(shù).集合中元素可以是含有參數(shù)的方程的解，由兩個(gè)集合的關(guān)系確定參數(shù)的取值.

改編2解析：因?yàn)锳＝B，所以0∈A，2∈A，于是n＝0，因此，集合A 中的方程為x3-4x＝0，解之得x＝-2，x＝0，x＝2，所以，B＝｛-2，0，2｝，故m＝-2.

改編3解析：由于A?B，因此-1∈A，或1∈A，即log2（2m-1）＝-1，或log2（2m-1）＝1，于是或2m-1＝2，解之得或但注意A＝? 也合適，于是2m-1≤0，即故m 的取值集合為

改編4解析：集合A＝（-2，4），

（1）因?yàn)锳 ∩B ≠?，所以，由數(shù)軸可得，a＜4.

（2）因?yàn)锳 ∪B＝B，因此，A ?B，所以，由數(shù)軸可得，a≤-2.

（3）因?yàn)椋?UA）∩B＝B，因此，B??UA，而?UA＝（-∞，-2］∪［4，＋∞），所以a≥4.

改編5解析：由題意得，不等式ax2＋bx＋c≤0的解集C＝［-2，3］，于是，ax2＋bx＋c＝0的兩個(gè)解為-2和3，且a＞0，因此，由根與系數(shù)關(guān)系得，b＝-a，c＝-6a，所以，D 中的不等式可以化為-6ax2＋ax＋a＜0，即6x2-x-1＞0，解之得故集合

也可以利用零點(diǎn)法表示集合C，即a（x＋2）（x-3）≤0，展開(kāi)比較系數(shù)，得b＝-a，c＝-6a.這也是常用的方法.

改編6解析：很多學(xué)生將A∩B錯(cuò)誤理解為兩個(gè)方程所組成的方程組的解，于是就得出錯(cuò)誤答案｛0，3｝.錯(cuò)誤原因是，他們沒(méi)有理解集合A，B 中代表元素的含義.事實(shí)上，集合A，B 中的元素是兩個(gè)函數(shù)的值域，因此，集合A 中的元素滿(mǎn)足y＝（x-1）2-3≥-3，所以，A ∩B＝［-3，＋∞）.

改編7解析：而本題A∩B可以理解為方程組解的集合，也可理解為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)構(gòu)成的集合.因此，聯(lián)立方程，解之得所以，A ∩B＝｛（-1，1），（4，6）｝.

改編8解析：因?yàn)榧螦 ∩B 有4個(gè)子集，因此，A ∩B 中必有兩個(gè)元素，其幾何特征是直線x＋y＝a與圓x2＋y2＝2相交.利用圓心到直線距離建立不等式d＜r，于是＜，所以-2＜a＜2.故a的取值范圍為（-2，2）.

改編9解析：陰影部分所表示的集合是M 與N 的并集的補(bǔ)集，即?U（M ∪N），根據(jù)集合運(yùn)算性質(zhì)，可以轉(zhuǎn)化為?U（M ∪N）＝（?UM）∩（?UN）.因?yàn)?UM＝｛（x，y）|x2＋y2≤4｝，?UN＝｛（x，y）|（x-3）2＋y2≤1｝，因此，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)圓面（包括圓周）上的點(diǎn)集的交集，由幾何直觀圖形可知，兩個(gè)圓外切，只有一個(gè)元素，所以所求集合為｛（2，0）｝.

四、回顧悟道

集合的基礎(chǔ)知識(shí)蘊(yùn)含于代數(shù)、三角、幾何等諸多學(xué)科的學(xué)習(xí)過(guò)程之中，是研究問(wèn)題的基礎(chǔ).在A ?B 的關(guān)系中，應(yīng)注意A＝?的討論.常用的等價(jià)形式有：A ?B?A ∩B＝A?A∪B＝B.求A∩B或A∪B時(shí)，要注意與其他知識(shí)的聯(lián)系，如數(shù)軸的幾何直觀以形助數(shù)，或者函數(shù)值域，曲線的交點(diǎn)等相結(jié)合.注意運(yùn)用補(bǔ)集的思想方法來(lái)解決問(wèn)題，體會(huì)“正難則反”的思維策略.

五、小試牛刀

（2019年天津卷第3題）設(shè)x ∈R，則“x2-5x ＜0”是“|x-1|＜1”的（ ）

A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件

請(qǐng)根據(jù)上題改編2道題試試.

（改編1）______________________________________________________.

（改編2）______________________________________________________.

改編提示：已知p是q的充分不必要條件（或者非p是q的充分不必要條件），且兩個(gè)不等式中有一個(gè)含有參數(shù)，求參數(shù)取值范圍.

小試年刀參考答案

（改編1）設(shè)x∈R，命題p：x2＋2x-8＜0，命題q：a＜x＜a＋2，若q是p的充分而不必要條件，求a的取值范圍.

（改編2）設(shè)x ∈R，命題p：-2＜x＜3，命題q：x2-2x＋2a-a2＞0，若非p是q的充分而不必要條件，求a的取值范圍.

解析

原題解析：本題考查了充分必要條件，考查解不等式問(wèn)題，是一道基礎(chǔ)題.如果從集合角度考慮，研究?jī)蓚€(gè)不等式解集的關(guān)系.

因?yàn)閤2-5x ＜0，即0＜x ＜5，因此不等式的解集為A＝（0，5）.

改編1解析：設(shè)p對(duì)應(yīng)的解集為A，q對(duì)應(yīng)的解集為B.因?yàn)閝是p的充分而不必要條件，所以，即B 是A 的非空真子集.因?yàn)锳＝（-4，2），B＝（a，a＋2），于是有即-4≤a≤0，所以a的取值范圍為［-4，0］.

改編2解析：設(shè)非p對(duì)應(yīng)的集合為A＝（-∞，-2］∪［3，＋∞），q對(duì)應(yīng)的解集為B＝｛x|（x-a）（x＋a-2）＞0｝.因?yàn)锳 是B 的充分不必要條件，因此

當(dāng)a＝1時(shí)，B＝（-∞，1）∪（1，＋∞），符合題意；

綜上所述，a的取值范圍為（-1，3）.

解題回顧：本小題第一種解法是利用分類(lèi)討論思想方法求解的，但運(yùn)用補(bǔ)集的思想方法求解簡(jiǎn)潔明了.因此，我們?cè)谒惴ㄟx擇上要尤為重要，一定要三思而后行，加強(qiáng)解題回顧，不斷總結(jié)提升！