王英

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》提出：讓學(xué)生獲得“數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”不僅指學(xué)習(xí)主體通過親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動(dòng)過程所獲得的具有個(gè)性特征的經(jīng)驗(yàn)，還強(qiáng)調(diào)學(xué)生在活動(dòng)中從數(shù)學(xué)的角度進(jìn)行思考，直觀地、合情地獲得一些結(jié)果。數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)不僅僅指實(shí)踐的經(jīng)驗(yàn)、知識(shí)的經(jīng)驗(yàn)，更重要的是思維的經(jīng)驗(yàn)，是在數(shù)學(xué)活動(dòng)中思考的經(jīng)驗(yàn)。數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)關(guān)注學(xué)生的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)背景，要善于利用學(xué)生已有的數(shù)學(xué)知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)特點(diǎn)，經(jīng)過獨(dú)立思考，探索實(shí)踐，合作交流，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，從而實(shí)現(xiàn)從經(jīng)驗(yàn)認(rèn)知到數(shù)學(xué)認(rèn)知的飛躍。我以為，經(jīng)驗(yàn)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“無痕”之道。

一、 聯(lián)系實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，在生活百科中融合

數(shù)學(xué)教學(xué)是一種緣于生活又運(yùn)用于生活中的學(xué)習(xí)活動(dòng)。教師應(yīng)聯(lián)系學(xué)生的生活，將生活百科中學(xué)生熟悉的、有數(shù)學(xué)價(jià)值的素材和數(shù)學(xué)課堂加以融合，聯(lián)系實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)理解數(shù)學(xué)知識(shí)，應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決生活問題，從而聯(lián)通學(xué)生的“現(xiàn)實(shí)世界”與“數(shù)學(xué)世界”，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)在不知不覺中開始。

1.利用“生活原型”，逐步抽象數(shù)學(xué)模型

在數(shù)學(xué)課堂上，教師應(yīng)充分利用“生活原型”， 引導(dǎo)學(xué)生在感悟和認(rèn)知的過程中進(jìn)行數(shù)學(xué)分析和歸納，促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的自主建構(gòu)，讓學(xué)生從生活的“感性認(rèn)識(shí)”提升為數(shù)學(xué)的“理性認(rèn)識(shí)”。

例如，在教學(xué)蘇教版六年級(jí)上冊(cè)“百分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)”一課時(shí)，課前我先請(qǐng)學(xué)生收集生活中的百分?jǐn)?shù)，不僅能讓學(xué)生深刻感受到生活中百分?jǐn)?shù)的廣泛應(yīng)用，還能很好地激發(fā)學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生理解生活中百分?jǐn)?shù)的實(shí)際意義，在學(xué)生的感性認(rèn)識(shí)基礎(chǔ)上，教師適時(shí)補(bǔ)充200%、100%、0.1%等一些生活中特殊的百分?jǐn)?shù)，適當(dāng)拓寬百分?jǐn)?shù)概念的外延，在此基礎(chǔ)上理解百分?jǐn)?shù)的意義，從而培養(yǎng)學(xué)生透過生活原型、利用實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)抽象出數(shù)學(xué)本質(zhì)的模型。

2.應(yīng)用數(shù)學(xué)模型，類比解決生活問題

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的價(jià)值還在于學(xué)生能更好地運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)解決生活問題。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光看待生活現(xiàn)象，根據(jù)生活中遇到的實(shí)際問題提煉出數(shù)學(xué)要素，抽象出數(shù)學(xué)問題，靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)模型解決生活問題。

在教學(xué)蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)六年級(jí)上冊(cè)“長(zhǎng)方體和正方體的表面積復(fù)習(xí)”時(shí)，課前我照例讓學(xué)生用自己喜歡的方式將相關(guān)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行自主整理，自主建構(gòu)知識(shí)體系后，緊密聯(lián)系生活實(shí)際問題，打開數(shù)學(xué)模型與生活問題的通道，例如長(zhǎng)方體和正方體的表面積問題與求6個(gè)面的箱子問題，求5個(gè)面的魚缸問題、書套問題，求4個(gè)面的通風(fēng)管問題，求1個(gè)面的占地面積問題以及長(zhǎng)方體或正方體的分割問題、拼接問題等，靈活應(yīng)用長(zhǎng)方體和正方體的表面積計(jì)算公式這一數(shù)學(xué)模型來解決生活中的諸多實(shí)際問題。

我以為，生活處處皆數(shù)學(xué)，我們要以學(xué)生的視角，合理利用學(xué)生的生活素材，努力尋找數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與學(xué)生已有實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)的結(jié)合點(diǎn)、生長(zhǎng)點(diǎn)、延伸點(diǎn)，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光去解決生活問題，體現(xiàn)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的價(jià)值。

二、利用知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，在縱觀全局中融匯

數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)是學(xué)生已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)在頭腦中的組織形式。而數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)間是相互關(guān)聯(lián)的，教師應(yīng)了解知識(shí)的前世、今生和未來，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，站在縱觀全局的高度融匯已有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，充分激活學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生在循序漸進(jìn)中掌握知識(shí)。

1.瞻前顧后，構(gòu)建新舊知識(shí)的連接點(diǎn)

數(shù)學(xué)教學(xué)就是要借助數(shù)學(xué)知識(shí)前后的邏輯結(jié)構(gòu)，在研讀教材的基礎(chǔ)上，理解新舊知識(shí)之間密切的邏輯關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生由舊入新，精心設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié)，有意識(shí)地幫助學(xué)生構(gòu)建新舊知識(shí)前后的連接點(diǎn)，為學(xué)生的后續(xù)發(fā)展打下基礎(chǔ)。

例如，在教學(xué)蘇教版六年級(jí)上冊(cè)“用距離和方向確定位置”時(shí)，縱觀關(guān)于確定位置前后，新舊知識(shí)是有著密切聯(lián)系的。一年級(jí)用上下、左右、前后等方位詞表示物體之間的位置關(guān)系;二年級(jí)用東、南、西、北，東南、東北、西南、西北等方向詞描述物體所在的位置;四年級(jí)是用數(shù)對(duì)描述物體的具體位置，建立直角坐標(biāo)系的雛形;六年級(jí)用方向與距離確定位置。不難發(fā)現(xiàn)，關(guān)于確定位置從表示一條直線上的位置到表示一個(gè)平面上、一個(gè)直角坐標(biāo)系中的位置，以后也許還會(huì)表示一個(gè)球面空間的位置，數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)是一個(gè)螺旋上升的系統(tǒng)工程，相同的知識(shí)板塊編排在不同的學(xué)段和年級(jí)有著密切的聯(lián)系。

2.由此及彼，尋找知識(shí)關(guān)聯(lián)的生長(zhǎng)點(diǎn)

數(shù)學(xué)知識(shí)不僅有新舊知識(shí)的聯(lián)系，還有知識(shí)板塊之間的相互關(guān)聯(lián)，所以教師在理解教材編排意圖、把握每個(gè)知識(shí)板塊重難點(diǎn)的基礎(chǔ)上，努力尋找知識(shí)關(guān)聯(lián)的生長(zhǎng)點(diǎn)，從而使學(xué)生從整體上把握學(xué)科及其核心的內(nèi)容，實(shí)現(xiàn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的深度理解，融會(huì)貫通。

例如，在教學(xué)蘇教版四年級(jí)下冊(cè)“加法交換律”一課時(shí)，特級(jí)教師張苾菁著力尋找知識(shí)關(guān)聯(lián)的生長(zhǎng)點(diǎn)，教學(xué)中首先關(guān)聯(lián)加法意義的本質(zhì)理解：交換兩個(gè)加數(shù)的位置，和不變，那么3個(gè)加數(shù)，更多個(gè)加數(shù)呢？其次關(guān)聯(lián)乘法交換律，在其他運(yùn)算中有沒有這種運(yùn)算規(guī)律呢？還關(guān)聯(lián)探索規(guī)律的方法習(xí)得，讓學(xué)生經(jīng)歷觀察猜想—舉例驗(yàn)證—觀察發(fā)現(xiàn)—總結(jié)歸納—明理回歸—個(gè)性表達(dá)這樣一個(gè)比較科學(xué)完整的探索規(guī)律的過程，學(xué)生獲得的不僅僅是數(shù)學(xué)知識(shí)，更是一種策略、一種能力、一種思想。

我以為，教師應(yīng)站在縱觀全局的高度，找到新舊知識(shí)的連接點(diǎn)，不僅要敢于退，退到學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)上，也要敢于進(jìn)，進(jìn)到學(xué)生未知的知識(shí)領(lǐng)域。同時(shí)要尋找知識(shí)關(guān)聯(lián)的生長(zhǎng)點(diǎn)，在本質(zhì)上求同，在比較中求聯(lián)，并采用螺旋上升、前后推演的辦法幫助學(xué)生掌握知識(shí)，理解意義和發(fā)展思維，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的整體構(gòu)建。

三、積累思維經(jīng)驗(yàn)，在類比與建模中融通

思維經(jīng)驗(yàn)相對(duì)于實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)來說更為抽象、更為隱性，它是一種在思維活動(dòng)中獲得的過程性體驗(yàn)。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要充分挖掘思維的本源，通過“舉三反一”“舉一反三”等多種方式展開活動(dòng)，發(fā)展思維，積累經(jīng)驗(yàn)。讓學(xué)生在感悟和體驗(yàn)中經(jīng)歷思維的全過程，學(xué)會(huì)內(nèi)化，形成一個(gè)融通的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)，從而積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

1.在“舉三反一”中建立模型

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》強(qiáng)調(diào)：“讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型，并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過程?！苯?jīng)歷數(shù)學(xué)建模就是一個(gè)“舉三反一”的過程，也就是一個(gè)歸納推理的過程。

例如，在教學(xué)小學(xué)數(shù)學(xué)五年級(jí)上冊(cè)拓展課 “握手問題”時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生思考：4個(gè)人兩兩握手，和每人握一次，一共要握多少次？學(xué)生根據(jù)已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)可以畫圖、連線甚至四人小組實(shí)際操作等多種方式得出6次，通過觀察比較、異中求同得出計(jì)算方法后，緊接著思考假如一共有5人、 6人、10人呢？

學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)：每人握手次數(shù)總是比總?cè)藬?shù)少1;握手總次數(shù)就是從每人握手次數(shù)開始依次往后加到1。在學(xué)生初步感知的基礎(chǔ)上，再提出一共有10人呢？隨著握手人數(shù)的增加，用加法計(jì)算握手總次數(shù)比較復(fù)雜，由此討論得到另一種計(jì)算方法：10×9÷2;最后還可以拓展到n人握手，握手總次數(shù)是n×（n-1）÷2。

我以為，要讓學(xué)生真正理解一個(gè)規(guī)律，首先要通過“舉三反一”， 讓學(xué)生練習(xí)在題型結(jié)構(gòu)、解題方法、數(shù)學(xué)思想上具有同一模型的一組習(xí)題，在充分交流、觀察、反饋、總結(jié)基礎(chǔ)上，學(xué)生有了豐富的感性認(rèn)識(shí)的積淀以后，發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)。這樣不僅能夠加深對(duì)規(guī)律的理解，而且可以培養(yǎng)學(xué)生初步的建模意識(shí)。

2.在“舉一反三”中類比聯(lián)想

數(shù)學(xué)問題之間是有關(guān)聯(lián)的，教師應(yīng)根據(jù)學(xué)生需求，通過適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)手段，引導(dǎo)學(xué)生深入理解，靈活應(yīng)用所學(xué)內(nèi)容，從而由此及彼，在處理不同的情境和問題中感悟到一般的規(guī)律后，在“舉一反三”中學(xué)會(huì)變通，學(xué)會(huì)內(nèi)化，形成融通的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)，創(chuàng)生新的經(jīng)驗(yàn)。

例如，教學(xué)上述“握手問題”新授環(huán)節(jié)后，我出示“握手總?cè)藬?shù)、每人握手次數(shù)，握手總次數(shù)的計(jì)算方法”這三個(gè)要素中的任意一個(gè)要素，要求學(xué)生思考：怎樣得到其他兩個(gè)要素？這就是引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)“舉一反三”。

隨后，我組織學(xué)生全面回顧“握手問題”所經(jīng)歷的數(shù)學(xué)思維過程，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行類比、遷移、聯(lián)想，在“舉一反三”中融會(huì)貫通，由握手問題還想到了“兩兩跳舞”“兩兩通電話”“數(shù)線段”“數(shù)角”“數(shù)長(zhǎng)方形”“數(shù)三角形”等實(shí)際問題。從而認(rèn)識(shí)到不同現(xiàn)象之間有著共同的本質(zhì)，深刻體會(huì)數(shù)學(xué)模型的抽象概括性，感受數(shù)學(xué)以簡(jiǎn)就繁，萬象同理的神奇，世界上有做不完的數(shù)學(xué)題，但是我們卻可以觸類旁通，萬物歸宗。

學(xué)生的數(shù)學(xué)建構(gòu)活動(dòng)不只是單一的經(jīng)驗(yàn)同化過程，而是多元經(jīng)驗(yàn)的積累過程，所以教師應(yīng)組織多元化的數(shù)學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生多角度觸及數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)的本質(zhì)，從而豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)思維經(jīng)驗(yàn)，不斷修正、改進(jìn)數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，進(jìn)而創(chuàng)生出學(xué)生自己的個(gè)性化經(jīng)驗(yàn)，形成相對(duì)穩(wěn)定的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)在春風(fēng)化雨中不斷提升，這也許就是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的“無痕”之道。

（作者單位：江蘇省張家港市塘市小學(xué)）

責(zé)任編輯 周瑜芽