經(jīng)驗(yàn)積累與提高數(shù)學(xué)能力

學(xué)生數(shù)學(xué)能力體現(xiàn)于解決問題的能力，而這種能力的形成取決于學(xué)生合理的經(jīng)驗(yàn)積累。浙江省杭州市基礎(chǔ)教育研究室平國(guó)強(qiáng)老師的團(tuán)隊(duì)以加強(qiáng)基礎(chǔ)性經(jīng)驗(yàn)和策略性經(jīng)驗(yàn)為手段，對(duì)此進(jìn)行了有效的理論和實(shí)踐探索。本期特刊發(fā)該團(tuán)隊(duì)的部分課例研究成果，以饗讀者，并歡迎大家參與討論。

【摘? ?要】學(xué)生數(shù)學(xué)能力體現(xiàn)于解決問題的能力，而這種能力的形成取決于學(xué)生合理的經(jīng)驗(yàn)積累。后者包含兩方面的內(nèi)容：基礎(chǔ)性經(jīng)驗(yàn)和策略性經(jīng)驗(yàn)?；A(chǔ)性經(jīng)驗(yàn)涉及對(duì)基本和典型數(shù)學(xué)類型、特征、基本結(jié)構(gòu)與關(guān)系模型的扎實(shí)領(lǐng)悟。策略性經(jīng)驗(yàn)包含用多樣靈活的方式加深對(duì)數(shù)學(xué)問題的理解。日常教學(xué)實(shí)踐中有意識(shí)地加強(qiáng)兩類經(jīng)驗(yàn)的訓(xùn)練和積累，對(duì)提高學(xué)生數(shù)學(xué)能力至關(guān)重要。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)能力;基礎(chǔ)性經(jīng)驗(yàn);策略性經(jīng)驗(yàn)

解決問題能力是學(xué)生數(shù)學(xué)能力的核心，是學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和相關(guān)經(jīng)驗(yàn)，展開分析比較、建立聯(lián)系等一系列思維活動(dòng)的結(jié)果。小學(xué)數(shù)學(xué)解決問題能力的提升過程是指學(xué)生通過基本方法、經(jīng)驗(yàn)和問題的學(xué)習(xí)逐步提高能力，逐漸豐富方法，最終能夠正確合理、自主靈活解決高水平問題的過程。在這個(gè)發(fā)展過程中，有效經(jīng)驗(yàn)的支持至關(guān)重要。

一、合理的經(jīng)驗(yàn)積累是解決問題的基礎(chǔ)

數(shù)學(xué)教學(xué)的最終目的是提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，即發(fā)展數(shù)學(xué)思維，提高數(shù)學(xué)能力，讓學(xué)生能真正解決數(shù)學(xué)問題。學(xué)生解決問題的過程是一個(gè)信息梳理、問題識(shí)別、經(jīng)驗(yàn)調(diào)用、聯(lián)系溝通、關(guān)系表征、策略應(yīng)用、方法確定和回顧反思的過程，這個(gè)過程，體現(xiàn)了以“已知”獲得“未知”的思維路徑?？梢杂孟聢D來(lái)描述：

本質(zhì)上，解決問題的過程就是一個(gè)數(shù)學(xué)推理的過程。要完成這個(gè)推理過程，學(xué)生需要一些必需的儲(chǔ)備經(jīng)驗(yàn)做基礎(chǔ)。如果是一個(gè)合情推理過程，學(xué)生需要積累與理解一定的類似案例，才能做出合理的猜測(cè)與類比;如果是一個(gè)演繹推理的過程，學(xué)生需要有相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題的類型、特征、數(shù)量關(guān)系、解答方法及意義關(guān)聯(lián)等經(jīng)驗(yàn)積累作為推理的前提，我們不妨把這樣的經(jīng)驗(yàn)稱為解決問題的基礎(chǔ)性經(jīng)驗(yàn)。學(xué)生解決問題能力的高低，很大程度上取決于學(xué)生經(jīng)驗(yàn)結(jié)構(gòu)中的基礎(chǔ)性經(jīng)驗(yàn)的完整性與合理性，以及策略性經(jīng)驗(yàn)水平的高低。以人教版數(shù)學(xué)五年級(jí)上冊(cè)《簡(jiǎn)易方程》中的例5為例，可以用下圖直觀地表達(dá)這樣的觀點(diǎn)。

可以發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在解決問題時(shí)所要調(diào)用的儲(chǔ)備經(jīng)驗(yàn)，不僅僅是簡(jiǎn)單問題的經(jīng)驗(yàn)，更重要的是基本與典型問題的特征與模型。因此，在解決問題教學(xué)中，我們有必要去研究“學(xué)生是否已經(jīng)具有以上虛線框中的經(jīng)驗(yàn)結(jié)構(gòu)與儲(chǔ)備”“如何讓學(xué)生更好地?fù)碛羞@樣的經(jīng)驗(yàn)儲(chǔ)備”等問題。

二、學(xué)生應(yīng)具有的儲(chǔ)備經(jīng)驗(yàn)內(nèi)容分析

我們認(rèn)為，學(xué)生在解決問題時(shí)需要調(diào)用兩方面的經(jīng)驗(yàn)，一是起著重要支持作用的基礎(chǔ)性經(jīng)驗(yàn)，二是表現(xiàn)為更高效率和更高水平的策略性經(jīng)驗(yàn)。

（一）基礎(chǔ)性經(jīng)驗(yàn)

基礎(chǔ)性經(jīng)驗(yàn)在學(xué)生解決問題經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng)中處于概念與意義之上的層次，是培養(yǎng)更高的解決問題能力不可逾越的層次，是經(jīng)驗(yàn)結(jié)構(gòu)中不可或缺的部分。它來(lái)自于對(duì)各種有典型特征和模型的數(shù)學(xué)問題解決過程的經(jīng)歷與積累，是對(duì)各類基本和典型數(shù)學(xué)問題的特征、思路、結(jié)構(gòu)與解決方法的熟悉和掌握。數(shù)學(xué)的學(xué)科特質(zhì)決定了數(shù)學(xué)的典型和基本問題是具有類型與結(jié)構(gòu)特征的，數(shù)學(xué)解決問題常常是將新問題轉(zhuǎn)化為經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng)中所熟悉的問題來(lái)解決的，這正是化歸思想是數(shù)學(xué)的重要思想的原因所在。因此我們認(rèn)為，學(xué)生的基礎(chǔ)性經(jīng)驗(yàn)中應(yīng)該具有：（1）對(duì)基本的、典型的數(shù)學(xué)問題的類型、特征有較好的領(lǐng)悟與積累，能正確地識(shí)別與關(guān)聯(lián);（2）對(duì)這些數(shù)學(xué)問題的基本結(jié)構(gòu)和關(guān)系模型有較好的領(lǐng)悟與積累;（3）對(duì)這些數(shù)學(xué)問題的解題思路、思維關(guān)鍵和解決過程有較好的理解與把握;（4）對(duì)基本的畫圖表征數(shù)量關(guān)系、列表分析對(duì)應(yīng)關(guān)系或提煉概括已知與未知之間的關(guān)系式等解決問題的具體方法有較好的掌握與積累。例如，對(duì)于以下一組問題：

題1：地球表面陸地的面積大約是1.5億平方千米，海洋面積是陸地面積的2.4倍，地球表面的面積大約是多少億平方千米？

題2：小明今年12歲，媽媽的年齡是小明的3倍，媽媽比小明大幾歲？

題3：公園里有桃樹45棵，柳樹的棵數(shù)是桃樹的1.6倍，兩種樹共有多少棵？

應(yīng)該讓學(xué)生通過對(duì)以上問題的解決，發(fā)現(xiàn)并領(lǐng)悟一些共性：（1）這些問題雖然情境不同、數(shù)據(jù)不同，但問題的數(shù)學(xué)特征和結(jié)構(gòu)關(guān)系是類似的：?jiǎn)栴}信息都涉及一個(gè)數(shù)量及這個(gè)數(shù)量的幾倍，所求問題是它們的和或它們的差;（2）這些問題隱含的關(guān)系和結(jié)構(gòu)可以用以下方式表達(dá)出來(lái)：一個(gè)量+這個(gè)量的幾倍=“問題”（注：“問題”是指回答題目中問題時(shí)的相應(yīng)數(shù)量，下同）或一個(gè)量的幾倍?這個(gè)量=“問題”，如果用▲表示一個(gè)數(shù)量，用★表示它的幾倍，以上關(guān)系可以簡(jiǎn)化為：▲+▲×★=“問題”或▲×★-▲=“問題”，還可以表示為：▲×（1+★）=“問題”或▲×（★-1）=“問題”，這是和倍問題的基本模型。如果學(xué)生對(duì)這些問題的特征、結(jié)構(gòu)關(guān)系等有較好的理解和識(shí)別能力，那么他們?cè)诮鉀Q以下問題時(shí)便有了很好的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)與數(shù)量關(guān)系模型儲(chǔ)備，問題便能更順利、更有效地解決。

題4：地球的表面積為5.1億平方千米，其中海洋面積為陸地面積的2.4倍，地球上的海洋面積和陸地面積分別是多少億平方千米？

題5：小明媽媽比小明大24歲，今年小明媽媽的年齡是小明的3倍。今年小明和媽媽各幾歲？

題6：蘋果和梨一共168千克，梨的數(shù)量是蘋果的1.8倍，梨比蘋果多多少千克？

……

（二）策略性經(jīng)驗(yàn)

策略性經(jīng)驗(yàn)是學(xué)生解決問題經(jīng)驗(yàn)體系中重要的組成部分，一方面，它是與基礎(chǔ)性經(jīng)驗(yàn)并列并且在解決基本的、典型的數(shù)學(xué)問題過程中起著重要的支持作用的經(jīng)驗(yàn);另一方面，學(xué)生在運(yùn)用高階思維解決更高水平、更具挑戰(zhàn)性的數(shù)學(xué)問題時(shí)，策略性經(jīng)驗(yàn)將發(fā)揮更大的作用，它能使解決問題的方法更加多樣，思維更加簡(jiǎn)潔、巧妙與直觀，過程更具有效性和創(chuàng)造性。如果說(shuō)扎實(shí)的基礎(chǔ)性經(jīng)驗(yàn)保證了學(xué)生解決問題能力的底氣的話，那么，豐富的策略性經(jīng)驗(yàn)則使得學(xué)生在解決問題時(shí)更具有靈氣，更擁有智慧，它能有效地促進(jìn)解決問題能力與水平的提升。因此，我們認(rèn)為，策略性經(jīng)驗(yàn)至少應(yīng)該包括以下幾個(gè)方面：（1）多樣化、多手段分析表征數(shù)量關(guān)系的經(jīng)驗(yàn);（2）正確確定標(biāo)準(zhǔn)，將較復(fù)雜或較隱蔽的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一、關(guān)系清晰、利于表征的經(jīng)驗(yàn);（3）運(yùn)用類比解決問題、建立聯(lián)系、深化理解的經(jīng)驗(yàn);（4）創(chuàng)造性解決問題的經(jīng)驗(yàn)等。例如，四年級(jí)的學(xué)生解決以下問題：

張師傅要加工一些零件，如果每小時(shí)加工12個(gè)，完成任務(wù)需要6小時(shí)。但張師傅離下班還有4小時(shí)，如果他要在下班前完成加工任務(wù)，那每小時(shí)要加工多少個(gè)零件？

如果能夠用一維的線段圖分析表征數(shù)量關(guān)系，這自然很好，如下圖：

加工的零件數(shù)：

但如果同時(shí)又能夠把加工零件的總數(shù)看作是一個(gè)固定的長(zhǎng)方形面積數(shù)，將每小時(shí)加工零件數(shù)和時(shí)間分別看成是這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬，用二維的視角來(lái)表征問題中的數(shù)量關(guān)系，那么分析問題的思路與策略就變得豐富了，長(zhǎng)方形從一個(gè)學(xué)習(xí)內(nèi)容、計(jì)算對(duì)象變成了解決問題的手段，知識(shí)的應(yīng)用性得到了凸顯。如下圖：

以上兩種分析策略，并非僅僅是一種并列的、數(shù)量上的增加，后者與前者相比，反映出解決問題的思維水平從一維累計(jì)、比較直觀的狀態(tài)向更加數(shù)學(xué)化和模型化的方向發(fā)展，這無(wú)疑是學(xué)生解決問題經(jīng)驗(yàn)結(jié)構(gòu)中的高水平經(jīng)驗(yàn)，對(duì)后續(xù)的數(shù)學(xué)能力與素養(yǎng)的發(fā)展非常重要。當(dāng)然，如果學(xué)生能夠通過思考推理提煉出以下數(shù)量關(guān)系表達(dá)式，同樣是極為重要的經(jīng)驗(yàn)和能力。

因?yàn)榧庸ち慵臄?shù)量是不變的，即“每小時(shí)加工12個(gè)×6小時(shí)=每小時(shí)加工（? ）個(gè)×4小時(shí)”，所以“每小時(shí)加工（? ）個(gè)=12×6÷4”。

所以，要讓學(xué)生擁有這樣豐富的分析問題、解決問題的策略經(jīng)驗(yàn)積累，平時(shí)的教學(xué)應(yīng)立足于策略、手段的多樣化而非僅僅按部就班地復(fù)制教材。再比如六年級(jí)上冊(cè)百分?jǐn)?shù)的例5：

某種商品4月份的價(jià)格比3月份降了20%，5月份的價(jià)格比4月又漲了20%。5月份的價(jià)格和3月份比是漲了還是降了？變化幅度是多少？

事實(shí)上，無(wú)論是先降后漲還是先漲后降，只要漲和降的百分?jǐn)?shù)相同，結(jié)果總比原價(jià)要低。這個(gè)問題看起來(lái)似乎是一個(gè)孤立的問題，但事實(shí)上，知識(shí)間的聯(lián)系是客觀與普遍的，如果我們用類比的策略思考，就可以發(fā)現(xiàn)：如果每次上漲和下降的百分?jǐn)?shù)是a%，則最終的價(jià)格必定是原價(jià)的（1+a%）×（1-a%），這個(gè)算式與三年級(jí)研究過的“長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)不變，長(zhǎng)與寬怎樣變化，它的面積最大”這個(gè)問題有類似性，如果把原價(jià)看作是一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，那么兩次變化以后的價(jià)格相當(dāng)于把正方形變成了周長(zhǎng)相等的長(zhǎng)方形，在這種情況下，正方形的面積總是最大的。如下圖：

這樣的一種聯(lián)系思考，顯然有助于學(xué)生更好地理解與把握六年級(jí)這類問題的特征與規(guī)律，使經(jīng)驗(yàn)結(jié)構(gòu)更優(yōu)化，這既是一種類比的策略，也是一種重要的模型化聯(lián)系與思考的經(jīng)驗(yàn)。

三、教材內(nèi)容的分析與實(shí)踐

一般來(lái)說(shuō)，學(xué)生解決問題的學(xué)習(xí)是一個(gè)從基本、典型問題到發(fā)展、變式問題的過程，從特征、模型的正向運(yùn)用到逆向運(yùn)用的過程，分析問題的策略方法也是從單一到多樣的。如果學(xué)生能夠完整經(jīng)歷以上的學(xué)習(xí)和能力發(fā)展過程，那么解決問題的經(jīng)驗(yàn)結(jié)構(gòu)就會(huì)比較完整，比較豐實(shí)，為更高水平的能力發(fā)展提供扎實(shí)的基礎(chǔ)。我們以小學(xué)數(shù)學(xué)解決問題中的兩類典型問題即“和倍問題”與“兩積之和問題”為例，理想的經(jīng)驗(yàn)積累過程應(yīng)該是：

[第一階段學(xué)習(xí) 第二階段學(xué)習(xí) 理解問題的基本特征、數(shù)量關(guān)系和基本模型，能夠分析數(shù)量關(guān)系，運(yùn)用模型解決問題，為解決逆向或變式問題積累經(jīng)驗(yàn) 判斷與識(shí)別問題的特征和數(shù)量關(guān)系，能調(diào)用經(jīng)驗(yàn)和模型結(jié)構(gòu)建構(gòu)相等關(guān)系，或逆用模型解決問題

和倍問題 例：小明的書柜里有36本書，爸爸書柜里書的本數(shù)是小明的3倍，兩個(gè)書柜里一共有多少本書？

（用方程解） ]

對(duì)于逆用模型解決問題，目前課程標(biāo)準(zhǔn)的基本要求是列方程解，因此學(xué)生解決問題時(shí)完全以第一階段的數(shù)量關(guān)系和基本模型經(jīng)驗(yàn)為支持，順著信息之間的關(guān)系和原來(lái)解決問題的思路去構(gòu)造相等關(guān)系和方程，這樣既突出了代數(shù)思想，又降低了學(xué)習(xí)的難度。

但是，仔細(xì)分析一下教材解決問題的例題與內(nèi)容編排，可以發(fā)現(xiàn)：類似第二階段學(xué)習(xí)內(nèi)容教材有較多的編排，主要在五、六年級(jí)，但類似第一階段學(xué)習(xí)內(nèi)容教材基本沒有編排，并且四年級(jí)整一年幾乎沒有學(xué)習(xí)上述基本的解決問題內(nèi)容（筆者查閱了臺(tái)灣翰林出版社和康軒文教事業(yè)兩個(gè)版本的小學(xué)數(shù)學(xué)教材，或多或少都有類似內(nèi)容的編排）。這在一定程度上使學(xué)生的解決問題經(jīng)驗(yàn)結(jié)構(gòu)存在某些薄弱環(huán)節(jié)，同時(shí)也提醒我們，在解決問題教學(xué)中，對(duì)教材的分析、補(bǔ)充和完善還有很大的空間。因此，我們認(rèn)為，為促進(jìn)學(xué)生解決問題經(jīng)驗(yàn)體系更加完整合理，可以利用三、四年級(jí)的階段，特別是四年級(jí)的空當(dāng)，補(bǔ)充、豐富基本的、典型的解決問題內(nèi)容學(xué)習(xí)，以加強(qiáng)基礎(chǔ)性經(jīng)驗(yàn)的積累。

第一，要豐富學(xué)生運(yùn)用多種策略理解、分析信息與關(guān)系的經(jīng)驗(yàn)。

例1：周六，奇奇和紅紅約好去看電影。9：30他倆同時(shí)從家里出發(fā)，相對(duì)而行，5分鐘后兩人在電影院相遇，9：40開始看電影?？赐觌娪?，奇奇去奶奶家吃飯。奇奇先走了2分鐘，奶奶也出發(fā)來(lái)接奇奇。又過了3分鐘，奶奶和奇奇相遇。

（1）奇奇和紅紅兩家相距多少米？

（2）電影院離奶奶家有多少米？

這是一個(gè)有豐富信息和多個(gè)問題的情境，教學(xué)中教師要引導(dǎo)學(xué)生用多種方法理解題目的信息，分析關(guān)系。例如，如果要解決第（1）個(gè)問題，怎樣在題目中用“圈”“畫”等方法找到對(duì)解決問題有效的信息？如何用摘錄的方法正確、完整地摘錄有效信息和問題，并把它們清晰地呈現(xiàn)出來(lái)？如何用畫圖的方式把數(shù)量關(guān)系表征出來(lái)，讓人一看就明白已知的信息和所求的問題？……這些都是應(yīng)該要讓學(xué)生擁有的方法與經(jīng)驗(yàn)。

第二，要增加學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)的、典型的數(shù)學(xué)問題的特征、數(shù)量關(guān)系、表征方法和模型的積累。

例2：公主裙每件178元，老師買了2件公主裙和3箱牛奶，一共付了551元。牛奶每箱多少元？

教學(xué)中教師要求學(xué)生用自己的方式把問題的數(shù)量關(guān)系表示出來(lái)，下面是幾位學(xué)生的分析表征：

這是一個(gè)典型的兩積之和問題的數(shù)量關(guān)系，如果學(xué)生能用如此多元的方式表征這種關(guān)系，表明學(xué)生對(duì)問題特征和數(shù)量關(guān)系的理解已非常清楚，并成為有效的經(jīng)驗(yàn)與能力。

例3：小明和小芳兩家相距800米。他們兩人同時(shí)從家里出發(fā)，沿一條直路行走，小明每分鐘走70米，小芳每分鐘走50米，4分鐘后他們相距多少米？

在這個(gè)問題中，兩人的運(yùn)動(dòng)方式可能有哪些情況？每種情況是怎樣的關(guān)系？有什么特征？如何把它們表征出來(lái)？……這些都涉及學(xué)生對(duì)信息、問題的認(rèn)識(shí)、理解與把握。下面是學(xué)生的分析，表明他們已能較好地把握這類問題。

第三，要豐富學(xué)生分析問題、解決問題的策略積累。

除了常用的直觀圖、線段圖等方法以外，應(yīng)讓學(xué)生擁有更多的方法體驗(yàn)，例如用畫長(zhǎng)方形來(lái)分析數(shù)量關(guān)系、解決問題就是很重要的方法。比如：（1）合唱隊(duì)計(jì)劃買一批上衣，每件30元。如果每件降價(jià)5元，就可以節(jié)省100元。合唱隊(duì)員計(jì)劃買上衣要用多少錢？（2）合唱隊(duì)計(jì)劃買一批上衣，如果多買3件，就要多付90元，如果每件降價(jià)5元，就可以節(jié)省100元。合唱隊(duì)員計(jì)劃買上衣要用多少錢？這兩個(gè)問題的關(guān)鍵都是上衣的件數(shù)，當(dāng)然可以用多種策略來(lái)分析解決，但如果用畫長(zhǎng)方形來(lái)分析問題、解決問題，就更能體會(huì)到數(shù)學(xué)問題的模型化特征。如下圖所示：

例4：李紅買蘋果和梨共付26元，蘋果每千克4元，梨每千克2元，兩種水果一共買了8千克。蘋果和梨各買了幾千克？

這是一個(gè)逆用兩積之和模型解決的問題，實(shí)際上就是雞兔同籠問題，學(xué)生可以用假設(shè)法或列表法解決問題，但與經(jīng)典雞兔同籠問題不同的是，它很難通過畫直觀圖來(lái)解決問題，而作為更高水平的畫圖分析策略，用畫長(zhǎng)方形的方法則能順利地解決問題。下面便是學(xué)生的解答：

因此，我們認(rèn)為，在解決問題教學(xué)時(shí)，有必要有目的、有計(jì)劃地設(shè)計(jì)一些合適的問題與情境作為教學(xué)的補(bǔ)充，讓學(xué)生在解決這些經(jīng)典問題的過程中獲得更多解決問題的方法與經(jīng)驗(yàn)。

（浙江省杭州市基礎(chǔ)教育研究室? ?310003）