董曉陽 蘇宏升 羅世昌

(蘭州交通大學(xué) 自動(dòng)化與電氣工程學(xué)院,蘭州 730070)

隨著化石能源的消耗與環(huán)境污染問題的日益嚴(yán)重,綠色、環(huán)保型能源大規(guī)模接入電力系統(tǒng),同時(shí)其自身的隨機(jī)性也使得電力系統(tǒng)的不確定性問題日漸突出[1].傳統(tǒng)的確定性潮流分析無法準(zhǔn)確描述電力系統(tǒng)的實(shí)際運(yùn)行狀態(tài).概率潮流(probabilistic load flow,PLF)作為一種有效的電力系統(tǒng)分析工具,已經(jīng)在新能源滲透不斷加大的現(xiàn)代電力系統(tǒng)的運(yùn)行與規(guī)劃中扮演著重要作用[2].

PLF最早由Borkowska于1974年提出[3],后來許多學(xué)者在此基礎(chǔ)上進(jìn)行了深入的研究.目前PLF算法主要分為近似法、解析法、模擬法3類.近似法的主要代表有點(diǎn)估計(jì)法[4],其通過矩信息來構(gòu)造系統(tǒng)的近似模型,然后得到隨機(jī)變量的概率統(tǒng)計(jì)信息,但對(duì)于所得結(jié)果的高階矩信息誤差較大.解析法的代表有快速傅里葉變換與半不變量法[5],其中半不變量法通過輸入變量的各階中心距來計(jì)算其各階半不變量,通過線性運(yùn)算計(jì)算得到輸出變量的各階半不變量,結(jié)合級(jí)數(shù)展開方式獲得所需結(jié)果的概率分布信息.蒙特卡洛模擬(monte carlo simulation,MCS)作為模擬法的代表得到了廣泛的應(yīng)用.基于簡單隨機(jī)采樣(simple random sampling,SRS)的MCS模擬需要大量樣本進(jìn)行確定性潮流計(jì)算才可以獲得較為準(zhǔn)確的結(jié)果.因此如何加快MCS的收斂速度,提高M(jìn)CS的計(jì)算效率成為MCS-PLF的研究重點(diǎn),拉丁超立方采樣(Latin hypercube sampling,LHS)[6],重要采樣(important sampling,IS)等采樣方法提高了采樣的均勻性,但均未從改進(jìn)樣本的低差異性的角度來提高蒙特卡洛的收斂速度.文獻(xiàn)[7]闡述了基于低差異序列的準(zhǔn)蒙特卡洛(Quasi-Monte Carlo,QMC)優(yōu)于MCS與LHS的原因.采用QMC方法進(jìn)行PLF計(jì)算只需要較少的采樣點(diǎn)就可達(dá)到較高的計(jì)算精度.新能源如風(fēng)電、光伏等接入電力系統(tǒng)往往受到地理、氣候等條件的限制,比如風(fēng)電場一般建在風(fēng)能比較密集的地點(diǎn).同一地區(qū)甚至不同地區(qū)的風(fēng)速受環(huán)境氣候的影響具有一定的相關(guān)性,而風(fēng)電場出力直接受風(fēng)速變化的影響,因而忽略相關(guān)性會(huì)對(duì)計(jì)算結(jié)果造成較大誤差.為了得到包含相關(guān)關(guān)系的樣本序列,隨機(jī)排序[8]、Cholesky分解[9]、遺傳算法等一系列相關(guān)性控制措施被引入用來生成相關(guān)樣本序列.但上述方法只適用于處理輸入變量之間的線性相關(guān)性,而線性相關(guān)性只適用于輸入變量符合正態(tài)分布的情況,不能很好地適應(yīng)現(xiàn)代電力系統(tǒng)廣泛接入新能源發(fā)電的實(shí)際情況.文獻(xiàn)[10]采用Nataf變換來實(shí)現(xiàn)非正態(tài)變量向正態(tài)變量的轉(zhuǎn)換,但其難點(diǎn)在于非正態(tài)變量轉(zhuǎn)換到正態(tài)情況下相關(guān)系數(shù)的求解,求解相關(guān)系數(shù)的過程比較繁瑣.本文采用Copula函數(shù)來建立輸入變量之間的相關(guān)關(guān)系,并采用秩相關(guān)系數(shù)描述非正態(tài)輸入變量之間的相關(guān)性,提出一種QMC模擬結(jié)合Copula理論的PLF計(jì)算方法.以IEEE14節(jié)點(diǎn)的PLF計(jì)算和IEEE30節(jié)點(diǎn)的最優(yōu)潮流計(jì)算為例,驗(yàn)證了本文所提方法的有效性.

1 Copula理論

聯(lián)合概率分布函數(shù)可以較好地描述隨機(jī)變量之間的關(guān)聯(lián)情況,但是在實(shí)際工程應(yīng)用中輸入變量之間的聯(lián)合概率分布函數(shù)通常難以獲得.

Copula理論最早由Sklar1959年首次提出,通過一個(gè)連接函數(shù)與N個(gè)邊緣分布函數(shù)來建立聯(lián)合分布函數(shù)[11].假設(shè)有隨機(jī)變量X1,X2,…,X N,其聯(lián)合分布函數(shù)為F,各自的邊緣分布函數(shù)為F Xi(x i)=u i,i=1,2,…,N,則存在一個(gè)連接函數(shù)C(u1,u2,…,u N)使得：

Copula函數(shù)有許多種類型,本文選用高斯Copula函數(shù)描述相關(guān)性.

N元高斯Copula函數(shù)可表示為如下形式：

式中,ρ為N元標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的積距相關(guān)系數(shù);Φp是N元標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù).

Pearson相關(guān)系數(shù)ρp、Spearman秩相關(guān)系數(shù)ρs、Kendall相關(guān)系數(shù)ρk等相關(guān)性測(cè)度常用來描述變量之間的相關(guān)關(guān)系.由于ρp只適用于描述正態(tài)變量之間的非線性相關(guān)性,ρs可以描述非正態(tài)變量之間的非線性相關(guān)性,所以本文采用ρs描述變量之間的相關(guān)關(guān)系,且文獻(xiàn)[12]給出了聯(lián)合正態(tài)分布的ρp與ρs之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系,如式(3)所示.

由風(fēng)電場歷史風(fēng)速數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)得到風(fēng)速間相關(guān)系數(shù)ρs,通過式(3)計(jì)算得到ρp,構(gòu)建風(fēng)電場風(fēng)速之間的高斯Copula函數(shù).通過對(duì)高斯Copula函數(shù)進(jìn)行抽樣可得到相關(guān)的N元隨機(jī)數(shù)向量Um,即

多風(fēng)電場風(fēng)速之間聯(lián)合概率分布是一個(gè)多維概率分布問題,可以用Gibbs采樣方式來實(shí)現(xiàn)多維概率分布的采樣.

2 準(zhǔn)蒙特卡洛概率潮流

2.1 QMC法及原理

QMC模擬法與MCS模擬法都是在所在的高維超立方體中進(jìn)行大量抽樣,再進(jìn)行求平均來估計(jì)所求問題的解.但QMC模擬法與MCS模擬法的本質(zhì)區(qū)別在于,MCS方法是通過對(duì)完全隨機(jī)的偽隨機(jī)數(shù)序列rand進(jìn)行抽樣來估計(jì)所求解的問題,而QMC采用的是低偏差序列.

星偏差常用來描述點(diǎn)列的均勻性[13],設(shè)點(diǎn)集P={X1,X2,…,X s},X∈[0,1]d,定義該點(diǎn)集的偏差如式(5)所示：

式中,J是[0,1]d中所有形如的子集的集合;A(E;P)是點(diǎn)列{X1,X2,…,X s}包含在區(qū)域E中的點(diǎn)的個(gè)數(shù);m是[0,1]d上的Lebesgue測(cè)度[14].

定義集合P的星號(hào)偏差為：

式中,J*是[0,1]d中所有形如的子集的集合,點(diǎn)集P的星號(hào)偏差為：

滿足式(7)要求的序列稱為低偏差序列,其中C d表示由于系統(tǒng)誤差造成的常數(shù).

文獻(xiàn)[15]給出了QMC模擬法在數(shù)值積分中的理論誤差上界Koksma-Hlawka不等式：

式中,V(F)是函數(shù)F在Hardy和Krause意義下的方差.

由文獻(xiàn)[16]可知采用QMC模擬法的收斂階為O(s-1),而 MCS的收斂階為O(s-1/2),顯然采用QMC模擬法可以加快算法的收斂.

Sobol序列在維數(shù)較高的情況可以很好地保持均勻性,且易于計(jì)算機(jī)生成,文獻(xiàn)[17]給出了一維Sobol序列的構(gòu)造方法.本文采用Sobol序列構(gòu)造QMC概率潮流算法.

為直觀說明低偏差序列采樣的均勻性,下面對(duì)Sobol序列與偽隨機(jī)序列在二維情況下分別采樣300、500、1 000次,繪制圖形如圖1所示.由圖1可以看出,準(zhǔn)隨機(jī)序列可以均勻地覆蓋采樣區(qū)間,而偽隨機(jī)序列則存在集聚現(xiàn)象不能較好地覆蓋采樣空間,因而降低了采樣效率.

2.2 QMC概率潮流算法流程

潮流計(jì)算時(shí),系統(tǒng)潮流方程簡寫為：

圖1 二維隨機(jī)序列對(duì)比圖

式中,Y為系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)注入功率;V為節(jié)點(diǎn)電壓向量;Z為支路有功及無功向量,由于節(jié)點(diǎn)注入功率Y受負(fù)荷波動(dòng)及所接入的風(fēng)電場的出力波動(dòng)影響為隨機(jī)變量,所以V、Z也為隨機(jī)向量.本文所提QMC模擬結(jié)合Copula理論的PLF具體計(jì)算流程如下：

1)初始化系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)參數(shù)、秩相關(guān)系數(shù)ρs、確定性潮流次數(shù)n;

2)通過公式(3)計(jì)算高斯Copula函數(shù)相關(guān)系數(shù)ρp;

3)通過ρp建立風(fēng)電場之間風(fēng)速的高斯Copula函數(shù),采用Gibbs抽樣生成相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布序列Z,并通過等概率原則得到均勻分布序列U;

4)對(duì)U按從升序排序并記錄位置信息Ls;

5)通過準(zhǔn)蒙特卡洛抽樣產(chǎn)生低差異性序列Us,并按從小到大的順序排列,然后通過位置信息Ls,將排列后的Us中的每個(gè)元素按照對(duì)應(yīng)的位置信息重新進(jìn)行排列得到序列Usp,實(shí)現(xiàn)相關(guān)關(guān)系從U到Usp的轉(zhuǎn)換;

6)通過等概率原則Xs=F-1(Usp),求得相關(guān)的樣本序列;

7)進(jìn)行QMC模擬并統(tǒng)計(jì)節(jié)點(diǎn)電壓和支路功率的概率信息.

3 案例分析

3.1 PLF驗(yàn)證所提QMC方法及Copula相關(guān)性處理方法的有效性

在Matlab2014a平臺(tái)編制相應(yīng)程序?qū)崿F(xiàn)本文所提QMC模擬和Copula理論相結(jié)合的PLF算法.對(duì)IEEE-14節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)進(jìn)行修改,在節(jié)點(diǎn)13、14上分別接入一個(gè)額定出力為15MW的風(fēng)電場,風(fēng)速隨機(jī)性采用形狀參數(shù)為3.97、尺度參數(shù)為10.7的Weibull分布模型來描述.負(fù)荷隨機(jī)性采用期望為額定值,標(biāo)準(zhǔn)差取期望值的10%的正態(tài)分布來描述.

式中,k=3.97,c=10.7.

風(fēng)電場有功出力與風(fēng)速的關(guān)系滿足：

式中,PWR為風(fēng)電場額定功率;vci、vr和vco分別是切入風(fēng)速、額定風(fēng)速和切出風(fēng)速,大小分別為2.5、13和25 m/s.

風(fēng)電出力的秩相關(guān)系數(shù)取0.8,以MCS模擬20 000次所得結(jié)果作為真值,并定義相對(duì)誤差指標(biāo)如下：

3.1.1 收斂性判斷

為分析QMC方法的收斂性,在IEEE14節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)中采用QMC、LHS和 MCS3種模擬方法進(jìn)行相同規(guī)模的采樣并統(tǒng)計(jì)3種模擬方法與20000次MCS模擬得到真值的相對(duì)誤差,3種模擬方法收斂性對(duì)比如圖2所示.

圖2 QMC、LHS、MCS 3種模擬方法在同等采樣規(guī)模下的誤差對(duì)比

從圖2可以看出,當(dāng)QMC模擬的采樣規(guī)模為200次時(shí),節(jié)點(diǎn)電壓、支路功率、電壓相角的期望值均能很好地收斂,而LHS模擬則需要采樣500次才可以勉強(qiáng)達(dá)到QMC模擬200次的計(jì)算精度.對(duì)于節(jié)點(diǎn)電壓、支路功率、相角的標(biāo)準(zhǔn)差,500次QMC模擬就可以可靠收斂.對(duì)于PLF計(jì)算結(jié)果的期望值,LHS相比于MCS有比較好的收斂特性,但對(duì)于PLF計(jì)算結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)差,LHS收斂情況則與MCS的收斂情況差不多,QMC對(duì)于PLF計(jì)算結(jié)果的期望和標(biāo)準(zhǔn)差均能以較小的采樣規(guī)模達(dá)到較好收斂效果.說明QMC模擬所采用的低偏差序列可以比較均勻地覆蓋采樣空間,提高采樣效率.

3.1.2 QMC的模擬精度

在3.1節(jié)所建立的考慮風(fēng)速相關(guān)性的IEEE14節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)中分別進(jìn)行采樣次數(shù)為500次的QMC模擬,1 000次的LHS模擬,5 000次的MCS模擬,并繪制節(jié)點(diǎn)電壓、相角支路功率的概率圖形如圖3所示.

圖3 QMC、MCS、LHS 3種模擬方式下輸出變量的概率密度和累計(jì)概率分布

由圖3可得,采樣規(guī)模500次的QMC模擬與5 000次的MCS模擬得到的結(jié)果幾乎一致,而達(dá)到同樣的模擬精度LHS需要進(jìn)行1000次潮流計(jì)算,說明Sobol序列可以均勻地覆蓋樣本空間,克服MCS收斂需要大規(guī)模樣本的弊端,以較小的樣本達(dá)到較高的精度.同時(shí)說明在相同采樣規(guī)模下QMC的模擬精度要遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于其他兩種采樣方式.

3.1.3 相關(guān)性對(duì)于計(jì)算準(zhǔn)確度的影響

考慮風(fēng)速相關(guān)系數(shù)變化時(shí)9節(jié)點(diǎn)的電壓的期望值與標(biāo)準(zhǔn)差的變化情況,具體情況見表1.

表1 9節(jié)點(diǎn)電壓期望值與標(biāo)準(zhǔn)差

由表1可以看出,當(dāng)ρs由0、0.1、0.3、0.5、0.7、0.9依次增加時(shí),節(jié)點(diǎn)9的電壓期望值變化率依次為5.828×10-6、8.742×10-6、7.771×10-6、6.799×10-6、6.799×10-6,節(jié)點(diǎn)9電壓標(biāo)準(zhǔn)差的變化率依次為 0.018 814、0.033 783、0.031 622、0.029 834、0.031 299.由以上數(shù)據(jù)可以看出風(fēng)速之間的相關(guān)性的不同取值,對(duì)于節(jié)點(diǎn)電壓期望值的影響不大,而對(duì)于節(jié)點(diǎn)電壓標(biāo)準(zhǔn)差的影響較大,基本隨相關(guān)系數(shù)的變化呈現(xiàn)線性關(guān)系.風(fēng)速相關(guān)性的增強(qiáng)使得同一地區(qū)風(fēng)電場同時(shí)增加或減少出力的概率增加.對(duì)應(yīng)在節(jié)點(diǎn)電壓上,風(fēng)電出力的同時(shí)性越強(qiáng)使得節(jié)點(diǎn)電壓位于高電壓段和低壓段的概率增加,增大了節(jié)點(diǎn)電壓發(fā)生越限的風(fēng)險(xiǎn).

3.1.4 QMC、LHS、MCS 3種模擬方法CPU耗時(shí)

對(duì)比QMC、LHS均采樣1 000次 MCS模擬20 000次的CPU耗時(shí)見表2.

表2 QMC、LHS、MCS3種方法的計(jì)算時(shí)間

由表2可以看出QMC模擬1 000次CPU所耗費(fèi)的時(shí)間與LHS模擬1 000次CPU耗費(fèi)的時(shí)間一致,說明本文所提的QMC模擬的有效性.

3.2 最優(yōu)潮流計(jì)算

傳統(tǒng)最優(yōu)潮流(optimal powerflow,OPF)常描述為如下形式[18]：

式中,a0i、a1i、a2i為常規(guī)發(fā)電機(jī)組的成本系數(shù);SB、SG、SR、Sl分別為系統(tǒng)所有節(jié)點(diǎn)、發(fā)電機(jī)、無功源、支路的集合;PGi、QGi為發(fā)電機(jī)i的有功、無功出力;PDi、QDi為節(jié)點(diǎn)i的有功、無功負(fù)荷;V i、θi為節(jié)點(diǎn)i電壓幅值與相角,θij=θi-θj;G ij、B ij為節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納;PL為線路L的有功潮流.

本文在OPF計(jì)算中主要考慮風(fēng)電場出力及負(fù)荷的不確定性,利用現(xiàn)代內(nèi)點(diǎn)法解決等式約束與不等式約束條件下的非線性規(guī)劃問題.風(fēng)電場及負(fù)荷的概率模型如同3.1節(jié),將改進(jìn)的IEEE 30節(jié)點(diǎn)劃分為兩個(gè)區(qū)域A1和A2,如圖4所示.A1區(qū)域在14和15節(jié)點(diǎn)接入兩個(gè)額定容量為15 MW的風(fēng)電場,A2區(qū)域在29和30節(jié)點(diǎn)接入兩個(gè)額定容量15 MW的風(fēng)電場,區(qū)域內(nèi)風(fēng)速秩相關(guān)系數(shù)取0.8,區(qū)域之間保持獨(dú)立,采用QMC模擬法在處理OPF問題時(shí),可以利用現(xiàn)有的確定性最優(yōu)潮流模型,適應(yīng)性好,相比于MCS方法可以以較少的模擬次數(shù)獲得較高的精度.

圖4 改進(jìn)的IEEE-30節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)

本文對(duì)比了不考慮風(fēng)電出力及負(fù)荷波動(dòng)、考慮風(fēng)電出力及負(fù)荷波動(dòng)但不考慮風(fēng)速相關(guān)性、考慮風(fēng)電出力及負(fù)荷波動(dòng)同時(shí)考慮風(fēng)速相關(guān)性這3種情況下系統(tǒng)進(jìn)行OPF計(jì)算時(shí)的燃料成本及網(wǎng)損情況見表3.由表3可以看出,考慮新能源接入電力系統(tǒng)的OPF計(jì)算相比于傳統(tǒng)電力系統(tǒng),燃料成本下降了265.127$/h,網(wǎng)損下降了23%;考慮風(fēng)電及負(fù)荷的隨機(jī)波動(dòng)后OPF計(jì)算相比于考慮風(fēng)電及負(fù)荷確定性模型,燃料成本增加了125.791$/h,網(wǎng)損增加了3.2%;考慮風(fēng)電出力及負(fù)荷隨機(jī)波動(dòng)及風(fēng)速相關(guān)性的OPF計(jì)算相較于只考慮風(fēng)電出力及負(fù)荷隨機(jī)波動(dòng)的情況燃料成本增加了1.259 4/h,網(wǎng)損增加了0.69%.

表3 3種場景下的系統(tǒng)最優(yōu)潮流運(yùn)行燃料成本及網(wǎng)損對(duì)比

以上分析可以看出風(fēng)電接入電力系統(tǒng)可以有效地降低系統(tǒng)的燃料成本及網(wǎng)損,風(fēng)速的隨機(jī)波動(dòng)使得風(fēng)電場出力的實(shí)際值要比額定出力要小,考慮風(fēng)速隨機(jī)波動(dòng)會(huì)使得風(fēng)電場出力的等效值變小,使得系統(tǒng)燃料成本及網(wǎng)損增加.通過場景3與場景4的對(duì)比可以看出忽略風(fēng)電出力的相關(guān)性會(huì)使得系統(tǒng)燃料成本及網(wǎng)損增加.忽略風(fēng)電出力及負(fù)荷的隨機(jī)波動(dòng),以及風(fēng)電場風(fēng)速之間的相關(guān)性會(huì)使得電力系統(tǒng)規(guī)劃偏于樂觀,對(duì)系統(tǒng)的經(jīng)濟(jì)調(diào)度與安全運(yùn)行造成一定影響.

4 結(jié) 論

本文提出一種Copula理論和QMC相結(jié)合的PLF計(jì)算方法.在IEEE14和IEEE30節(jié)點(diǎn)上進(jìn)行PLF和OPF計(jì)算,得到以下結(jié)論：1)采用Copula理論可以很好地處理輸入變量之間的非線性相關(guān)關(guān)系,為新能源滲透率不斷加大的現(xiàn)代電力系統(tǒng)分析提供了一個(gè)有效的相關(guān)性處理方法.2)QMC模擬可以提高采樣的均勻性,解決了MCS方法的收斂需要大量樣本支撐的問題,在相同的采樣規(guī)模下QMC的模擬精度要遠(yuǎn)高于MCS與LHS模擬.3)風(fēng)速相關(guān)性會(huì)增加風(fēng)電場的出力波動(dòng),雖然對(duì)于節(jié)點(diǎn)電壓、相角、支路有功、支路無功的期望值影響不大,但對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)差的影響較大.同時(shí)IEEE-30節(jié)點(diǎn)的算例表明,忽略風(fēng)速之間的相關(guān)性會(huì)使得運(yùn)行規(guī)劃人員對(duì)于電力系統(tǒng)的規(guī)劃設(shè)計(jì)偏于樂觀,增加系統(tǒng)運(yùn)行風(fēng)險(xiǎn).