魏安清

（石家莊市交建高速公路管理有限公司平贊分公司，河北石家莊 050000）

對(duì)于完好的簡(jiǎn)支梁，通過結(jié)構(gòu)頻率可以反推出結(jié)構(gòu)的動(dòng)剛度EId。通過撓度可反推出結(jié)構(gòu)的靜剛度EIs，理論上有EId=EIs。由于結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性測(cè)試簡(jiǎn)單快捷，部分學(xué)者對(duì)“以動(dòng)代靜”快速評(píng)估結(jié)構(gòu)狀態(tài)的相關(guān)方法進(jìn)行了研究，并初步應(yīng)用于工程實(shí)踐［1-4］。但中小跨徑簡(jiǎn)支梁橋常用的鋼筋混凝土梁正常使用階段可能發(fā)生受力開裂，相關(guān)研究表明，已受力開裂的鋼筋混凝土簡(jiǎn)支梁動(dòng)靜剛度存在明顯差異，但兩者動(dòng)靜剛度差異產(chǎn)生原因及相關(guān)關(guān)系有待進(jìn)一步研究［3-6］。本文基于單裂縫Euler-bernoulli簡(jiǎn)支梁撓度及頻率計(jì)算公式，討論單裂縫簡(jiǎn)支梁的動(dòng)剛度、靜剛度變化規(guī)律以及兩者間的關(guān)系，最后通過4片矩形截面鋼筋混凝土簡(jiǎn)支梁分級(jí)加載開展相關(guān)試驗(yàn)研究。

1 單裂縫簡(jiǎn)支梁撓度及頻率理論公式

結(jié)構(gòu)裂縫的模擬方法主要有3類：分離的彈簧模型、局部剛度折減、實(shí)體有限元分析。本文采用分離的彈簧模型，在結(jié)構(gòu)裂縫處把結(jié)構(gòu)分成獨(dú)立的2部分，通過加入轉(zhuǎn)動(dòng)彈簧模型來模擬裂縫。

文獻(xiàn)［7］中的轉(zhuǎn)動(dòng)彈簧模型表示為

式中：Keq為彎曲彈簧的剛度系數(shù)；E為簡(jiǎn)支梁的彈性模量；I0為完好截面抗彎慣性矩；h為矩形梁的高度；β為歸一化裂縫深度；β=d/h；d為裂縫深度；C(β)=β(2-β)/0.9(1-β)2。

令1/EI（x）為Euler梁的抗彎柔度，對(duì)于無損傷等截面梁其為常數(shù)；對(duì)于損傷梁，裂縫會(huì)導(dǎo)致該處抗彎柔度增大。為了使問題簡(jiǎn)化，引入狄拉克δ函數(shù)，利用裂縫處局部柔度的跳躍性增大來模擬裂縫的影響。具體表達(dá)式為

式中：1/（EI0）為完好梁的抗彎柔度；a為裂紋導(dǎo)致的附加彎曲柔度系數(shù)；xc為裂紋到簡(jiǎn)支梁左支點(diǎn)的距離。

根據(jù)裂縫處的變形協(xié)調(diào)條件，推導(dǎo)得到

根據(jù)簡(jiǎn)支梁的邊界條件，通過結(jié)構(gòu)力學(xué)方法推導(dǎo)可得到單裂縫簡(jiǎn)支梁撓度及頻率的計(jì)算公式。

均布力作用下單裂縫簡(jiǎn)支梁的撓度計(jì)算公式為

式中：q為均布力；l為計(jì)算跨徑；x為計(jì)算位置。

當(dāng)無裂縫時(shí)，a=0，xc=0，得到撓度公式為

集中力作用下單裂縫簡(jiǎn)支梁撓度的計(jì)算公式為

式中：P為集中力；xp為其作用位置；U（x-xp）為階躍函數(shù)，x-xp≥0時(shí)U（x-xp）=1，否則為0。

當(dāng)無裂縫時(shí)，得到集中力作用下?lián)隙扔?jì)算公式

單裂縫簡(jiǎn)支梁的頻率計(jì)算正則方程為

式中：λ=xc/l；t=βl；β4=ω2m/EI，ω=2πf。

由式（8）求出t，即可求得簡(jiǎn)支梁的頻率f。式（8）為超越方程，本文采用數(shù)值方法進(jìn)行求解。

當(dāng)簡(jiǎn)支梁完好時(shí)λ=0，式（8）可簡(jiǎn)化為sintsinht=0；對(duì)應(yīng)頻率公式為

2 單裂縫簡(jiǎn)支梁動(dòng)靜剛度變化規(guī)律

理論計(jì)算模型是計(jì)算跨徑為3.20 m 的簡(jiǎn)支梁，截面尺寸b×h=0.15 m×0.25 m，彈性模量取34.5 GPa，材料密度取2 600 kg/m3。取裂紋深度為0.4h進(jìn)行分析，計(jì)算時(shí)取均布力q=10 kN/m，集中力P=20 kN。完好簡(jiǎn)支梁跨中撓度均為2.03 mm，一階頻率為40.33 Hz，二階頻率為161.31 Hz。

荷載作用下跨中撓度與裂縫相對(duì)位置的關(guān)系見圖1?？梢钥闯觯虞d方式對(duì)裂縫梁跨中撓度影響很大，跨中集中力作用下的撓度遠(yuǎn)大于均布力作用下的撓度；同一加載方式，裂縫越靠近跨中，對(duì)應(yīng)的撓度值越大。

頻率與裂縫相對(duì)位置的關(guān)系見圖2?？梢钥闯?，裂縫位于振型節(jié)點(diǎn)時(shí)，對(duì)該階頻率無影響，裂縫離振型節(jié)點(diǎn)越遠(yuǎn)對(duì)應(yīng)頻率值越小。

圖1 荷載作用下跨中撓度與裂縫相對(duì)位置的關(guān)系

圖2 頻率與裂縫相對(duì)位置的關(guān)系

由裂縫梁在荷載作用下的撓度按照式（5）、式（7）反算得到簡(jiǎn)支梁的靜剛度EIs。由裂縫梁的頻率按照式（9）反算得到簡(jiǎn)支梁的動(dòng)剛度EId。為了方便分析，將反算得到的剛度除以結(jié)構(gòu)完好時(shí)對(duì)應(yīng)的剛度得到歸一化剛度。不同位置裂縫對(duì)簡(jiǎn)支梁歸一化靜剛度、動(dòng)剛度的影響見圖3。

圖3 裂縫位置的影響

由圖3可以看出，通過跨中撓度反算得到的結(jié)構(gòu)靜剛度與加載方式有關(guān)。對(duì)于同樣的裂縫位置，均布力作用下跨中撓度反算靜剛度大于跨中集中力作用下的跨中撓度反算靜剛度。通過頻率反算得到的動(dòng)剛度與頻率階次有關(guān)。裂縫位于振型節(jié)點(diǎn)時(shí)對(duì)反算動(dòng)剛度無影響，裂縫離振型節(jié)點(diǎn)越遠(yuǎn)對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)剛度影響越大。

對(duì)比圖3（a），圖3（b）可以看出，一階頻率反算得到的動(dòng)剛度隨裂縫位置變化規(guī)律與靜撓度反算得到的靜剛度類似，但動(dòng)剛度大于對(duì)應(yīng)的靜剛度。因此，要建立開裂簡(jiǎn)支梁動(dòng)剛度與靜剛度之間的關(guān)系，應(yīng)以一階頻率為主。

3 鋼筋混凝土簡(jiǎn)支梁試驗(yàn)研究

3.1 試驗(yàn)過程簡(jiǎn)述

模型試驗(yàn)用鋼筋混凝土簡(jiǎn)支梁為矩形截面梁，共4 片梁，梁高0.15 m，梁寬0.25 m，梁長(zhǎng)3.5 m。受力主筋采用5 根直徑12 mm 的HRB335 鋼筋，保護(hù)層厚度為25 mm，箍筋采用雙肢直徑8 mm 的R235鋼筋，箍筋間距為125 mm。結(jié)構(gòu)混凝土采用C50，經(jīng)實(shí)測(cè)混凝土密度為2 471 kg/m3，計(jì)入鋼筋質(zhì)量計(jì)算得到簡(jiǎn)支梁?jiǎn)卧L(zhǎng)度質(zhì)量為102.8 kg/m。在支點(diǎn)、1/4點(diǎn)及跨中梁底各布置1個(gè)撓度測(cè)點(diǎn)，共有5個(gè)撓度測(cè)點(diǎn)。撓度測(cè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)梁頂各布置1個(gè)加速度測(cè)點(diǎn)，共5個(gè)加速度測(cè)點(diǎn)。

靜載試驗(yàn)采用機(jī)械千斤頂分級(jí)加載，千斤頂頂部設(shè)壓力傳感器以便控制加載壓力。試驗(yàn)時(shí)簡(jiǎn)支梁的兩支點(diǎn)間距為3.2 m。其中1，2 號(hào)梁采用分配梁兩點(diǎn)加載方式，加載位置距離兩側(cè)支點(diǎn)1.10 m，跨中純彎段1.00 m；3，4 號(hào)梁采用跨中單點(diǎn)加載方式。頻率測(cè)試采用力錘激振，每次頻率測(cè)試前卸去千斤頂、分配梁等，保證梁體附加質(zhì)量。錘擊位置距跨中20 cm，每級(jí)荷載下錘擊15次，取平均頻率作為對(duì)應(yīng)等級(jí)荷載作用后簡(jiǎn)支梁的實(shí)測(cè)頻率。

3.2 試驗(yàn)結(jié)果分析

每片梁均加載至梁體開裂破壞、荷載不能穩(wěn)定時(shí)為止。實(shí)測(cè)得到各級(jí)荷載P作用下試驗(yàn)梁跨中彈性撓度y及一階頻率f1見表1。

表1 各試驗(yàn)梁實(shí)測(cè)結(jié)果

參照第2 節(jié)的方法，由試驗(yàn)梁在荷載作用下的撓度按式（7）反算得到簡(jiǎn)支梁的靜剛度EIs，由試驗(yàn)梁一階頻率按照式（9）反算得到簡(jiǎn)支梁的動(dòng)剛度EId。試驗(yàn)過程對(duì)梁體裂縫發(fā)展情況進(jìn)行觀測(cè)（見圖4），第一級(jí)加載時(shí)各試驗(yàn)梁均未見開裂，本文認(rèn)為試驗(yàn)梁初始狀態(tài)時(shí)的靜剛度與第1級(jí)加載后靜剛度相同。

圖4 試驗(yàn)梁裂縫發(fā)展示意

各級(jí)荷載加載后的反算剛度除以試驗(yàn)梁初始狀態(tài)的剛度得到歸一化剛度。各片試驗(yàn)梁在各級(jí)荷載作用后的歸一化剛度變化見圖5。可以看出，隨著試驗(yàn)荷載的增加，各試驗(yàn)梁的動(dòng)剛度、靜剛度都有逐漸變小的趨勢(shì)；在加載初期裂縫初步發(fā)育的時(shí)候，試驗(yàn)梁動(dòng)剛度、靜剛度變化基本一致；隨著荷載的增大梁體裂縫進(jìn)一步發(fā)育，靜剛度下降較快，動(dòng)剛度大于靜剛度。這與前面的分析結(jié)論是相符的。

圖5 梁歸一化剛度變化

4 結(jié)論

1）單裂縫簡(jiǎn)支梁動(dòng)剛度與頻率階次相關(guān)，裂縫位于振型節(jié)點(diǎn)時(shí)對(duì)動(dòng)剛度無影響，裂縫離振型節(jié)點(diǎn)越遠(yuǎn)對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)剛度影響越大，應(yīng)采用一階頻率計(jì)算動(dòng)剛度。

2）鋼筋混凝土簡(jiǎn)支梁在裂縫初始發(fā)育時(shí)動(dòng)剛度、靜剛度變化基本一致；梁體裂縫進(jìn)一步發(fā)育后，靜剛度下降較快，動(dòng)剛度大于靜剛度。

3）鋼筋混凝土簡(jiǎn)支梁開裂初期可用實(shí)測(cè)結(jié)構(gòu)基頻代替荷載試驗(yàn)了解結(jié)構(gòu)的剛度情況，但梁體開裂嚴(yán)重時(shí)應(yīng)謹(jǐn)慎使用這種方法。

4）鋼筋混凝土簡(jiǎn)支梁動(dòng)剛度、靜剛度變化趨勢(shì)分界點(diǎn)對(duì)應(yīng)的裂縫狀態(tài)（高度、寬度、間距等）尚需針對(duì)不同截面形式開展進(jìn)一步研究。