程攀 田園

數(shù)值實(shí)驗(yàn)與《數(shù)值分析》教學(xué)的融合，有助于《數(shù)值分析》課堂教學(xué)的實(shí)效性的提升。本文從《數(shù)值分析》教學(xué)中存在的主要問(wèn)題入手，對(duì)數(shù)值實(shí)驗(yàn)在《數(shù)值分析》教學(xué)中的重要性進(jìn)行分析，并在此基礎(chǔ)上分析了數(shù)值實(shí)驗(yàn)應(yīng)用于《數(shù)值分析》教學(xué)的主要措施。

《數(shù)值分析》是各大高校理工科專業(yè)的重要必修課程。這一課程具有實(shí)用性強(qiáng)與實(shí)踐性強(qiáng)的特點(diǎn)?，F(xiàn)階段高校物理學(xué)專業(yè)、計(jì)算機(jī)專業(yè)和機(jī)械工程等專業(yè)對(duì)《數(shù)值分析》課程具有較為嚴(yán)格的掌握要求，經(jīng)濟(jì)管理專業(yè)中的風(fēng)險(xiǎn)投資專業(yè)與財(cái)務(wù)管理專業(yè)也對(duì)這一課程的掌握情況提出了一定的要求。就我國(guó)高校發(fā)展現(xiàn)狀而言，《數(shù)值分析》課程教學(xué)改革工作的開(kāi)展，是高校教育改革工作中的一項(xiàng)重要內(nèi)容。數(shù)值實(shí)驗(yàn)在《數(shù)值分析》教學(xué)中的重要性也得到了研究者的關(guān)注。

1 《數(shù)值分析》教學(xué)中存在的主要問(wèn)題

1.1 教學(xué)內(nèi)容過(guò)多，課時(shí)較少

《數(shù)值分析》課程教學(xué)內(nèi)容過(guò)多與課時(shí)過(guò)少的矛盾是《數(shù)值分析》教學(xué)中存在的突出矛盾。《數(shù)學(xué)分析》課程涉及到的知識(shí)點(diǎn)內(nèi)容較為很廣泛，隨著社會(huì)經(jīng)濟(jì)的不斷發(fā)展，這一課程的教學(xué)內(nèi)容會(huì)隨著科學(xué)理論的發(fā)展而不斷更新。在計(jì)算機(jī)技術(shù)高度發(fā)達(dá)的現(xiàn)代社會(huì)，《數(shù)值分析》課程與計(jì)算機(jī)技術(shù)之間也具有較為密切的聯(lián)系。一些建立在計(jì)算機(jī)技術(shù)基礎(chǔ)之上的新知識(shí)與新方法的新出現(xiàn)，也讓《數(shù)值分析》課程的學(xué)習(xí)內(nèi)容得到了拓展。在課程教學(xué)內(nèi)容較為廣泛的情況下，教師并不能在有限的課時(shí)內(nèi)，對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行充分講解。

1.2 教學(xué)內(nèi)容相對(duì)獨(dú)立

根據(jù)一些研究者的研究結(jié)果，《數(shù)值分析》課程不僅有知識(shí)點(diǎn)復(fù)雜多樣的特點(diǎn)，其教學(xué)內(nèi)容也具有一定的獨(dú)立性。教學(xué)內(nèi)容的獨(dú)立性是計(jì)算方法及數(shù)學(xué)理論的獨(dú)立性。在計(jì)算方法及數(shù)學(xué)理論的講解安排較為獨(dú)立的情況下，教師并不能對(duì)這一課程所涉及到的知識(shí)點(diǎn)的發(fā)展脈絡(luò)進(jìn)行充分講解。在教師自身難以對(duì)知識(shí)點(diǎn)發(fā)展歷程進(jìn)行有效梳理的情況下，學(xué)生也難以對(duì)與之相關(guān)的計(jì)算機(jī)知識(shí)與數(shù)學(xué)理論進(jìn)行綜合運(yùn)用。

1.3 重理論輕實(shí)踐

在課堂教學(xué)方面，教師在這一課程的講解過(guò)程中表現(xiàn)出了重理論輕實(shí)踐的問(wèn)題?，F(xiàn)階段《數(shù)值分析》課程與計(jì)算機(jī)技術(shù)之間具有較為密切的聯(lián)系，但是在傳統(tǒng)教學(xué)模式下，教師在教學(xué)過(guò)程中過(guò)于注重?cái)?shù)值方法原理的講授，在實(shí)踐教學(xué)內(nèi)容有待重視的情況下，學(xué)生往往難以對(duì)實(shí)驗(yàn)內(nèi)容產(chǎn)生較為深刻的體會(huì)，故而在課堂知識(shí)學(xué)習(xí)過(guò)程中，一些學(xué)生對(duì)教材中所涉及到的算法缺少深入了解。學(xué)生在學(xué)習(xí)到具體的理論知識(shí)以后，可能難以將相關(guān)知識(shí)應(yīng)用于實(shí)際問(wèn)題的解決過(guò)程之中。

1.4 直觀性差

隨著教學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展，多媒體技術(shù)開(kāi)始在《數(shù)值分析》教學(xué)中得到應(yīng)用，很多教師已經(jīng)開(kāi)始利用多媒體手段。多媒體技術(shù)與課堂教學(xué)之間的融合，有助于課堂教學(xué)的開(kāi)展，但是就《數(shù)值分析》教學(xué)的實(shí)際情況而言，課堂教學(xué)仍然存在著直觀性不足的問(wèn)題。以《數(shù)值分析》中工地誤差內(nèi)容為例，《數(shù)值分析》課程中所講解的誤差多以截?cái)嗾`差為主。拉格朗日插值計(jì)算是《數(shù)值分析》課程中的一大重要內(nèi)容。在傳統(tǒng)教學(xué)模式下，教師往往會(huì)從量的角度入手，對(duì)誤差的相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行講解。如拉格朗日插值的插值余項(xiàng)計(jì)算公式為：

根據(jù)上述公式的內(nèi)容，截?cái)嗾`差可以被看作是一種量化的概念，學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中往往會(huì)采用被動(dòng)記憶的記憶方式。利用多媒體技術(shù)對(duì)上述內(nèi)容進(jìn)行直觀展示，可以讓學(xué)生加深對(duì)這一理論結(jié)果的理解。

2 數(shù)值實(shí)驗(yàn)在《數(shù)值分析》教學(xué)中的重要性

2.1 有助于《數(shù)值分析》課堂教學(xué)的優(yōu)化

《數(shù)值分析》教學(xué)的可視化水平的提升，可以讓學(xué)生加深對(duì)課堂所學(xué)的知識(shí)內(nèi)容的了解。教師在《數(shù)值分析》課程教學(xué)中注重課堂教學(xué)的優(yōu)化，不僅可以讓學(xué)生的計(jì)算機(jī)技術(shù)應(yīng)用能力與數(shù)值計(jì)算能力得到提升，也可以讓學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣得到充分調(diào)動(dòng)。數(shù)值實(shí)驗(yàn)與《數(shù)值分析》教學(xué)之間的結(jié)合，有助于“純教學(xué)”式課堂教學(xué)模式的轉(zhuǎn)變。如在《數(shù)值分析》課程的傳統(tǒng)教學(xué)模式下，教師在課堂教學(xué)中會(huì)重點(diǎn)講解算法理論，數(shù)值實(shí)驗(yàn)可以讓一些與計(jì)算機(jī)有關(guān)的元素應(yīng)用于《數(shù)值分析》課程教學(xué)，以促進(jìn)學(xué)生綜合能力的提升。如針對(duì)一些學(xué)生在計(jì)算機(jī)領(lǐng)域存在的編程能力不足的問(wèn)題，教師可以在課堂教學(xué)階段，為學(xué)生提供算法計(jì)算流程圖，并設(shè)計(jì)一些與教學(xué)內(nèi)容有關(guān)的實(shí)驗(yàn)參考程序。在實(shí)踐教學(xué)中為學(xué)生提供實(shí)踐編程的機(jī)會(huì)，也可以讓他們加深對(duì)數(shù)值方法論的了解，進(jìn)而提升他們的學(xué)習(xí)興趣。

2.2 有助于《數(shù)值分析》算法原理的講解

《數(shù)值分析》課程中講解的算法可以被看作是數(shù)值實(shí)驗(yàn)的理論基礎(chǔ)。在課堂教學(xué)中，教師需要對(duì)這些算法的思想原則進(jìn)行講解。就《數(shù)值分析》課程的整個(gè)教學(xué)過(guò)程而言，這一課程所涉及到的算法的求取結(jié)果以目標(biāo)近似解為主。注重目標(biāo)近似解的求取，也是《數(shù)值分析》與《線性代數(shù)》及《概率論》課程之間的差異性的反映。讓學(xué)生對(duì)目標(biāo)近似解在《數(shù)值分析》課程中的重要性進(jìn)行明確，可以讓他們?cè)跀?shù)值實(shí)驗(yàn)實(shí)施過(guò)程中，明確試驗(yàn)?zāi)繕?biāo)，繼而擺脫注重解析解的固定化思維方式。差值問(wèn)題、擬合問(wèn)題、數(shù)值微分及積分（微分）方程數(shù)值等內(nèi)容也是《數(shù)值分析》課程中的重要內(nèi)容，教師在課堂教學(xué)中也可以指導(dǎo)學(xué)生利用函數(shù)逼近思想求取實(shí)際問(wèn)題的解。

2.3 有助于《數(shù)值分析》實(shí)踐教學(xué)的優(yōu)化

數(shù)值實(shí)驗(yàn)在《數(shù)值分析》教學(xué)之間的融合，也有助于《數(shù)值分析》實(shí)踐教學(xué)的優(yōu)化。上機(jī)實(shí)驗(yàn)課程是在《數(shù)值分析》課程中發(fā)揮著較為重要的作用。上機(jī)實(shí)驗(yàn)課要求學(xué)生在教室的指導(dǎo)下開(kāi)展計(jì)算機(jī)實(shí)操，以了解程序語(yǔ)言的使用方法。教師需要為學(xué)生提供一些由易到難的題目，供學(xué)生動(dòng)手編程，并要及時(shí)指出學(xué)生在編程期間出現(xiàn)的錯(cuò)誤支出。根據(jù)數(shù)值實(shí)驗(yàn)的實(shí)施需要，教師可以將《數(shù)值分析》課程中涉及到的一些算法設(shè)計(jì)成易于操作的界面。界面的可擴(kuò)展性是教師在界面設(shè)計(jì)方面所要關(guān)注的問(wèn)題。在界面設(shè)計(jì)完成以后，學(xué)生可以將自己開(kāi)發(fā)的程序安裝于算法操作界面之中，進(jìn)而在數(shù)值實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)建設(shè)完成以后，將其應(yīng)用于《數(shù)值分析》課程的學(xué)習(xí)過(guò)程之中。除此以外，這一界面也可以應(yīng)用于算法數(shù)值驗(yàn)算過(guò)程、算法實(shí)際應(yīng)用檢驗(yàn)與數(shù)學(xué)模型數(shù)值求解過(guò)程之中。

3 數(shù)值實(shí)驗(yàn)應(yīng)用于《數(shù)值分析》教學(xué)的主要措施

3.1 注重問(wèn)題教學(xué)法的應(yīng)用

問(wèn)題教學(xué)法是以人們?cè)谌粘Ｉ钪杏龅降膶?shí)際問(wèn)題為切入點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力的教學(xué)方法。在數(shù)值實(shí)驗(yàn)應(yīng)用于《數(shù)值分析》課程以后，仍然可以根據(jù)日常生活實(shí)際，編制一些與數(shù)值分析內(nèi)容有關(guān)的問(wèn)題，并讓學(xué)生結(jié)合問(wèn)題了解所學(xué)知識(shí)。根據(jù)《數(shù)值分析》課程的特點(diǎn)，教師可以借助歸納、分析及演練等方式完成具體數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建，并要借助數(shù)學(xué)模型對(duì)不同的解決辦法存在的優(yōu)缺點(diǎn)進(jìn)行分析，進(jìn)而將不同方法應(yīng)用于不同問(wèn)題的解決過(guò)程之中。例如曲線擬和在《數(shù)值分析》課程中具有較為重要的作用。如在地質(zhì)學(xué)領(lǐng)域，基準(zhǔn)面旋回變化理論可以被看作是高分辨率層序地層中的核心元素。與之相關(guān)的基準(zhǔn)面積可以被看作是一種上下升降震蕩界面。此種震蕩界面也可以被看作是一種橫向擺動(dòng)的彎曲界面。此種震蕩曲線與正弦曲線具有一定的相似性。在數(shù)值分析方面，此種基準(zhǔn)面變化曲線既可以被看作是標(biāo)準(zhǔn)化的正弦曲線，也可以被視為變形的正弦曲線。它也可以被看作是簡(jiǎn)單的正弦曲線或疊加化的復(fù)合正弦曲線。受基準(zhǔn)面變化曲線的影響，地層基準(zhǔn)面旋回樣式會(huì)呈現(xiàn)出多樣化的特點(diǎn)。如根據(jù)一些研究者的研究結(jié)果，其基準(zhǔn)面與sinx、sin2x及sin6x等因素之間具有一定的聯(lián)系，故而與之相關(guān)的基準(zhǔn)面問(wèn)題可以利用數(shù)值實(shí)驗(yàn)進(jìn)行求取，假設(shè)地質(zhì)學(xué)基準(zhǔn)面影響因素以sinx、sin2x、sin3x、sin4x、sin5x和sin6x等內(nèi)容有關(guān)，研究者可以以上述6種因素為基函數(shù)，對(duì)最小二乘法進(jìn)行應(yīng)用。以下公式為上述六種因素影響下的擬和公式：

就上述案例而言，數(shù)值實(shí)驗(yàn)在《數(shù)值分析》課程教學(xué)中可以發(fā)揮出激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)欲望的作用?；跀?shù)值方法的實(shí)際應(yīng)用案例的應(yīng)用，可以讓學(xué)生對(duì)數(shù)值方法的價(jià)值與含義進(jìn)行明確，進(jìn)而讓學(xué)生對(duì)這一課程的實(shí)用性有所了解。

3.2 注重對(duì)比教學(xué)法的應(yīng)用

對(duì)比教學(xué)法也是《數(shù)值分析》中常用的一種教學(xué)方法。此種方法與多媒體教學(xué)之間的有效結(jié)合，有助于《數(shù)值分析》課程的課堂教學(xué)效率的提升。在對(duì)比教學(xué)法應(yīng)用于課堂教學(xué)以后，教師可以讓學(xué)生對(duì)不同理論知識(shí)與計(jì)算方法的應(yīng)用情況進(jìn)行充分了解。數(shù)值分析在解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中發(fā)揮著較為重要的作用，對(duì)傳統(tǒng)方法與現(xiàn)代化數(shù)值分析之間的聯(lián)系與區(qū)別進(jìn)行明確，也有助于課堂教學(xué)效率的提升。借助某些特定案例對(duì)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)方法的解決方法及數(shù)值分析的解決方法進(jìn)行比較對(duì)比，可以讓學(xué)生更好地了解數(shù)值分析的相關(guān)知識(shí)。不同算法之間的比較分析，也可以應(yīng)用于數(shù)值分析教學(xué)之中。與數(shù)值試驗(yàn)有關(guān)的追趕法是適用于三對(duì)角方程組的一種算法，如假設(shè)A=[ ]，f=[5 6 7]，求解Ax=f

在解決此類問(wèn)題過(guò)程中，相關(guān)人員可以借助追趕法，構(gòu)建用于三對(duì)角方程組求解的程序的界面，該界面也需要具有準(zhǔn)確輸入數(shù)據(jù)的能力。追趕法可以被看作是LU分解的特殊表現(xiàn)形式。它建立在系數(shù)矩陣的實(shí)際特點(diǎn)的基礎(chǔ)之上。在矩陣法應(yīng)用于三對(duì)角方程組求解過(guò)程以后，矩陣三角分解計(jì)算可以與2個(gè)三角方程組的計(jì)算相結(jié)合，進(jìn)而讓算法呈現(xiàn)出緊湊化的特點(diǎn)，同Guass算法相比，追趕法在計(jì)算量方面也具有一定的優(yōu)勢(shì)。

3.3 注重思維方式的培養(yǎng)

《數(shù)值分析》課程與高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)及概率論等學(xué)科之間具有較為密切的聯(lián)系?！稊?shù)值分析》課程的教學(xué)內(nèi)容多集中于實(shí)際問(wèn)題的求解過(guò)程，高等數(shù)學(xué)等課程所關(guān)注的內(nèi)容為實(shí)際問(wèn)題的精確度及與之相關(guān)的理論推導(dǎo)。傳統(tǒng)的教育模式往往會(huì)讓教學(xué)主要內(nèi)容集中于高等數(shù)學(xué)方面，針對(duì)《數(shù)值分析》課程的特點(diǎn)，教師需要對(duì)學(xué)生在數(shù)值分析課程方面的思維方式的培養(yǎng)工作進(jìn)行強(qiáng)化。

結(jié)語(yǔ)：電子計(jì)算機(jī)技術(shù)的快速發(fā)展與新型數(shù)值軟件的研發(fā)，讓《數(shù)值分析》課程的重要性有所提升。數(shù)值實(shí)驗(yàn)與《數(shù)值分析》課堂教學(xué)的融合，有助于《數(shù)值分析》教學(xué)的優(yōu)化。

（作者單位：重慶交通大學(xué)）