蔡海濤 林運來

(1.福建省莆田第二中學 351131 2.福建廈門大學附屬實驗中學 363123)

1 問題提出

中學數(shù)學是由概念、命題經(jīng)推理組成的邏輯體系.概念、命題和推理是邏輯思維的三大基本形式.其中，概念是邏輯思維的細胞，是反映事物本質(zhì)屬性和特征的思維形式.數(shù)學概念是反映現(xiàn)實世界空間形式和數(shù)量關(guān)系本質(zhì)屬性的思維過程.可見，數(shù)學概念在數(shù)學學習中占有重要位置.因此，數(shù)學概念的教學理應回歸概念的本源.但是，在概念教學中，教師往往采用“一個定義，幾項注意”的方式，講完概念就做題，做了題才發(fā)現(xiàn)學生對概念一知半解，則讓他們做更多的題，凡此種種，導致課堂上給學生帶去的不是享受、成功、體驗，而是單調(diào)、無趣和一知半解.

A.37.5分鐘 B.40.5分鐘

C.49.5分鐘 D.52.5分鐘

圖1

本題以勻速圓周運動為背景，考查任意角三角函數(shù)的定義、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等基礎(chǔ)知識.根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識，或結(jié)合平面幾何知識進行直觀判斷，不難得出正確選項.可是全省實測均分僅為1.8分，讓人感到出乎意料．考試結(jié)束后對部分考生進行訪談，了解其答題情況后，發(fā)現(xiàn)很多學生錯誤的原因在于不會從題目中獲取有用信息，不會利用三角函數(shù)的概念來解答.

在高考復習中，是不是我們在刷題的路上走得太遠了?是否應該停下來思考我們丟了什么?新時期的高考已經(jīng)從能力立意到素養(yǎng)導向，所以概念教學需要與時俱進，改變教學方法，以培養(yǎng)學生的數(shù)學核心素養(yǎng)為目標.筆者談談自己的一些思考與體會，期與同行交流.

2 核心素養(yǎng)下的高中數(shù)學概念教學

2.1 合理制定教學目標，明確核心素養(yǎng)的植入點

案例1橢圓的概念

建構(gòu)橢圓的概念，可制定的教學目標是：經(jīng)歷從具體情景中抽象出橢圓的過程，利用細繩畫橢圓的方法將橢圓定義具體化，加強橢圓的定義和圖形特征的理解，掌握橢圓的定義，提升直觀想象素養(yǎng).完成該教學目標可做如下教學設計：

通過多媒體展示生活中圖形(圖2)及衛(wèi)星的運行軌跡(圖3)，讓學生經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓的過程，通過觀察、探究揭示橢圓的幾何特征，發(fā)展直觀想象素養(yǎng).

圖2

圖3

接下來，引導學生拿出事先準備好的繩子，小組合作做如下的實驗：

(1)取一條細繩；

(2)把它的兩端固定在板上的兩點F1,F2；

(3)用鉛筆尖把細繩拉緊，在板上慢慢移動，觀察畫出的圖形(圖4、圖5).

圖4

圖5

學生畫好后，教師利用幾何畫板驗證橢圓的形成過程，通過實驗，容易觀察得到的圖形為橢圓.在幾何畫板的展示中，引導學生思考在橢圓的形成過程中哪些量改變，哪些量不變？通過觀察，學生發(fā)現(xiàn)到鉛筆尖對應點M與F1,F2的距離|MF1|,|MF2|改變，而|MF1|+|MF2|及|F1F2|的值不變.接著,教師引導學生類比圓的定義引出橢圓的定義.此時,學生往往會回答:平面內(nèi)與兩個定點距離之和為定值的點的軌跡為橢圓.教師應引導學生再仔細考慮有沒有不足之處,提出如下問題:

問題1改變兩圖釘之間的距離，使其與繩長相等，畫出的圖形還是橢圓嗎？

圖6

問題2繩長能小于兩圖釘之間的距離嗎？

圖7

由此得到結(jié)論：繩長記為2a，兩定點間的距離記為2c(c>0).

(1)當2a>2c時，軌跡；

(2)當2a=2c時，軌跡；

(3)當2a<2c時，軌跡；

由以上的數(shù)學實驗再類比圓的定義，引導學生對橢圓進行定義.在學生觀察實驗中，從提出問題、建立模型、求解模型、檢驗結(jié)果再完善模型，發(fā)展了數(shù)學建模的素養(yǎng).

2.2 精心設計問題情境，抓準核心素養(yǎng)的著力點

案例2對數(shù)的概念

對數(shù)概念對高一學生有一定的難度，為了更好地讓學生理解，可設置一些問題，找準核心素養(yǎng)的著力點.

教師創(chuàng)設問題情境：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”.

問題1(1)取5次，還有多長？(2)取多少次，還有0.125尺?

設計意圖好的開端是成功的一半，情境引入對后續(xù)的學習有重要的作用.這個情境融入數(shù)學文化，體現(xiàn)了學習對數(shù)的人文價值，讓學生覺得親切自然，然后根據(jù)題意，設未知數(shù)，列出方程，思考如何表示x，激發(fā)其對學習對數(shù)的興趣，抓住了學生認識新知的邏輯起點，滲透方程、轉(zhuǎn)化等思想，發(fā)展學生數(shù)學抽象和數(shù)學建模素養(yǎng).

由問題1引出對數(shù)的定義：一般地，如果ax=N(a>0,a≠1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù)，記作x=logaN，其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù).此時學生往往對概念的理解還是不到位的，僅僅是了解對數(shù)式與指數(shù)式可以互化:ab=N?b=logaN.于是提出問題2.

問題2(1)為什么對數(shù)的定義中要求底數(shù)a>0且a≠1？(2)是否是所有的實數(shù)都有對數(shù)呢？

設計意圖讓學生明確對數(shù)式與指數(shù)式形式的區(qū)別，a，b和N位置的不同，在互化中發(fā)展邏輯推理與數(shù)學運算素養(yǎng).

問題3

1.將下列指數(shù)式寫成對數(shù)式：

2.將下列對數(shù)式寫成指數(shù)式：

(1)log5125=3；(2)log0.58=-3；

(3)log10a=1.1.

設計意圖讓學生進一步熟悉對數(shù)式與指數(shù)式的相互轉(zhuǎn)化，加深對對數(shù)概念的理解.并讓學生指出對數(shù)式與指數(shù)式互化時應注意哪些問題，增強運算、觀察、類比、交流等活動，培養(yǎng)學生嚴謹?shù)乃季S品質(zhì)，發(fā)展數(shù)學運算素養(yǎng).

問題4求下列各式的值：

(1)log31=；(2)lg1=；

(3)log0.51=；(4)ln1=.

思考：你發(fā)現(xiàn)了什么？

問題5求下列各式的值：

(1)log33=；(2)lg10=；

(3)log0.50.5=；(4)lne=.

思考：你發(fā)現(xiàn)了什么？

設計意圖問題4和5讓學生自己得出“1的對數(shù)等于零”和“底數(shù)的對數(shù)等于1”這兩個結(jié)論，從而更好地理解和掌握對數(shù)的性質(zhì)，培養(yǎng)學生類比、分析、歸納的能力，積累數(shù)學基本活動經(jīng)驗，在學生歸納小結(jié)中發(fā)展了學生數(shù)學運算和邏輯推理素養(yǎng).

問題6求下列各式的值：

(1)2log23=；(2)6log60.3=；

(3)0.2log0.20.3=.

思考:你發(fā)現(xiàn)了什么?

問題7求下列各式的值:

(1)log334=；(2)log0.90.95=；

(3)lne0.1=.

思考:你發(fā)現(xiàn)了什么?

設計意圖問題6和7讓學生自己推導得出結(jié)論alogaN=N及l(fā)ogaaN=N，在歸納中發(fā)展學生數(shù)學抽象和邏輯推理素養(yǎng).

以上7個問題形成的“問題串”，讓學生在獨立思考、自主探究、合作交流等學習方式下，經(jīng)歷了實質(zhì)性思維參與過程， 提升了學生的素養(yǎng).

2.3 整體把握教學內(nèi)容，推動核心素養(yǎng)的生長點

學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)水平的達成不是一蹴而就的，具有階段性、連續(xù)性、整合性等特點.教師應理解不同數(shù)學學科核心素養(yǎng)水平的具體要求，不僅關(guān)注每一節(jié)課的教學目標，更要關(guān)注主題、單元的教學目標.所以，整體把握教學內(nèi)容對促進數(shù)學學科核心素養(yǎng)連續(xù)性和階段性發(fā)展具有重要意義.

案例3數(shù)列的概念

片斷1概念引入

教師寫出一組數(shù)：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，…引導同學們一起來觀察這組數(shù)的奇妙屬性.

生1:從第三項開始，每一項是前兩項的和.

生2:從第二項開始，每個奇數(shù)項的平方都比前后兩項之積多1.

生3:從第二項開始，每個偶數(shù)項的平方都比前后兩項之積少1.

生4:隨著這一列數(shù)項數(shù)的增加，前一項與后一項之比越逼近黃金分割0.6180339887……

師:這組數(shù)是意大利數(shù)學家斐波那契發(fā)現(xiàn)的，因此這個數(shù)列又叫斐波那契數(shù)列.

然后,教師通過這個例子引出數(shù)列及相關(guān)概念.

設計意圖利用數(shù)學文化引入，介紹數(shù)學家或數(shù)學史，可提高學生的學習興趣和求知欲望，通過數(shù)學文化的領(lǐng)航，抽象出數(shù)列的知識框架，明確了數(shù)列的學習目標，為這節(jié)課乃至整個單元的學習做好鋪墊.滲透數(shù)學文化，可以幫助學生打開一扇窗，引導學生去探索數(shù)學美的世界.

片斷2概念理解

師:由數(shù)列的概念可以發(fā)現(xiàn)，在數(shù)列中由項的序號可得對應項，即對于每一個序號n，都有唯一的項an與之對應，你能從中得到什么啟示？

生5:數(shù)列是函數(shù).

師:很好,所以數(shù)列也是種函數(shù),數(shù)列與函數(shù)有何聯(lián)系和區(qū)別?

生6:數(shù)列是種特殊的函數(shù),特殊在定義域是正整數(shù),圖象是一些孤立的點.

師:通項公式可以看成數(shù)列的函數(shù)解析式.利用一個數(shù)列的通項公式，你能確定這個數(shù)列哪些方面的性質(zhì)？

生7:寫出該數(shù)列的某些項.

生8:求該數(shù)列中的任意一項或判斷某個數(shù)是否為該數(shù)列中的項.

生9:判斷該數(shù)列的增減性及是有窮數(shù)列還是無窮數(shù)列.

生10: 求該數(shù)列最大最小項.

師:你是用什么方法得出以上的性質(zhì)?

生11:列表、圖象、通項公式等.

設計意圖了解數(shù)列是一種特殊函數(shù)，這是數(shù)列概念的核心,學生知道了這點后,在今后研究數(shù)列時,就懂得可以類比研究函數(shù)的方法,研究對象從函數(shù)到數(shù)列是變了，但“研究套路”不變，思想方法不變！這就是數(shù)學基本思想、數(shù)學基本活動經(jīng)驗的力量！由此發(fā)展了學生的數(shù)學抽象素養(yǎng).指導學生從列表、圖象、通項公式等方法表示數(shù)列，與函數(shù)的表示方法進行類比，進一步認識數(shù)列的函數(shù)本質(zhì)，發(fā)展了學生的直觀想象素養(yǎng).

2.4 深度融合信息技術(shù)，發(fā)展核心素養(yǎng)的增長點

案例4離心率的概念

離心率的概念抽象性強，直接引入較為生硬，學生不易掌握.圓錐曲線的第二定義是圍繞著離心率展開的，深入理解離心率的概念是掌握圓錐曲線性質(zhì)的基礎(chǔ)．教學過程中，教師可以借助信息技術(shù)進行概念的引入，操作流程為教師提出問題→學生探究→信息技術(shù)驗證.具體過程如下：

教師打開幾何畫板，引導學生觀察橢圓不同的形狀，有的“扁”，有的“圓”.教師提出問題1：我們該用一個什么樣的量來刻畫橢圓的“扁圓”程度？這個問題對于學生有較大的挑戰(zhàn)性，一般較難回答.此時，教師可以啟發(fā)學生回顧用定長畫橢圓的過程與哪些基本量有關(guān)，從而猜測橢圓的“扁圓”程度與橢圓的哪些基本量有關(guān)？

生：橢圓的“扁圓”程度與基本量a與c有關(guān).

師:打開幾何畫板，當a不變時，改變c的大小，橢圓的“扁圓”程度發(fā)生變化，說明橢圓的“扁圓”程度與c有關(guān)；當c不變時，改變a的大小，橢圓的“扁圓”程度發(fā)生變化，由此說明橢圓的“扁圓”程度與a有關(guān).綜上說明橢圓的“扁圓”程度與a、c都有關(guān).

問題2：怎樣用a、c來刻畫橢圓的“扁圓”程度.

師:打開幾何畫板，如圖8所示，先拖動點Q，確定a+c的值，確定后，再拖動點P，拖動過程中，a、c的值在變化，但a+c的值保持不變，橢圓的“扁圓”程度發(fā)生變化，由此說明不能用a+c來刻畫橢圓的“扁圓”程度.

如圖9所示，先拖動點E，確定a-c的值，確定后，再拖動點A，拖動過程中，a、c的值在變化，但a-c的值保持不變，橢圓的“扁圓”程度發(fā)生變化，由此說明不能用a-c來刻畫橢圓的“扁圓”程度.

圖8

圖9

如圖10所示，先拖動點P，確定a·c的值，確定后，再拖動點Q，拖動過程中，a、c的值在變化，但a·c的值保持不變，橢圓的“扁圓”程度發(fā)生變化，由此說明不能用a·c來刻畫橢圓的“扁圓”程度.

圖10

圖11

設計意圖學生繪制橢圓圖形過程中，由直觀感知自然地分析橢圓的“扁圓”程度是由哪些量刻畫.根據(jù)學生思考及交流提出的探究方案，教師提出問題并引導學生探究猜測，結(jié)合幾何畫板加強直觀感受并進行驗證，通過這一系列過程使學生感受到研究問題的方法，特別是多變量問題該如何處理，即先猜后證的方法，感受到自己探究的價值，從而體會定義生成的完美，至此得出離心率這一概念.探究的過程使學生明白數(shù)學中的任何發(fā)現(xiàn)都并非“一蹴而就”的，需要鍥而不舍的鉆研精神.

對概念進行研究，教學中應從本質(zhì)上理解，從而達到觸類旁通的效果．離心率作為刻畫圓錐曲線性質(zhì)的核心概念，是運用數(shù)形結(jié)合的思想方法來研究圓錐曲線．深入剖析離心率的探究歷程對學生的數(shù)學抽象、直觀想象以及邏輯推理等數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)具有重大的意義．在探究的過程中，充分地融合了信息技術(shù)，利用幾何畫板驗證學生探究的幾個方案，實現(xiàn)了信息技術(shù)增大課堂容量的功能；在橢圓的“扁圓”程度變化的過程中，實現(xiàn)了信息技術(shù)“抽象問題具體化”、“隱性問題顯性化”、“靜態(tài)問題動態(tài)化”的功能，循序漸進地、有目的性地探究數(shù)學概念的內(nèi)涵，解析它們在數(shù)學知識結(jié)構(gòu)中的相互關(guān)聯(lián)，提高學生的學習能力與數(shù)學能力，達到對學生關(guān)鍵能力培養(yǎng)的目標．

3 寫在最后

李邦河院士說過：“數(shù)學根本是玩概念的，不是玩技巧的，技巧不足道也！”數(shù)學概念是導出全部數(shù)學定理、法則的邏輯基礎(chǔ)，數(shù)學概念是相互聯(lián)系、由簡到繁形成學科體系.數(shù)學概念不僅是建立理論系統(tǒng)的中心環(huán)節(jié)，同時也是解決問題的前提.因此，概念教學是數(shù)學基礎(chǔ)知識和基本技能教學的核心，而在概念教學中滲入核心素養(yǎng)，將有助于學生以后相關(guān)內(nèi)容的學習，對后續(xù)數(shù)學的學習也起到重要的作用.