周 泉

(湖北省黃石市第三中學(xué) 黃石 435000)

人教版高中生物學(xué)教材必修3《穩(wěn)態(tài)與環(huán)境》給出了反饋調(diào)節(jié)的概念模型： 在一個(gè)負(fù)反饋調(diào)節(jié)系統(tǒng)中，“系統(tǒng)本身工作的作用效果，反過來又作為信息調(diào)節(jié)該系統(tǒng)的工作”。根據(jù)調(diào)節(jié)機(jī)制和作用效應(yīng)的不同，反饋調(diào)節(jié)系統(tǒng)分為正反饋調(diào)節(jié)系統(tǒng)和負(fù)反饋調(diào)節(jié)系統(tǒng)。通過負(fù)反饋調(diào)節(jié)，受控部分的活動向和它原先活動相反的方向發(fā)生改變，使系統(tǒng)活動保持穩(wěn)定。捕食者與獵物種群數(shù)量的相對穩(wěn)定是負(fù)反饋調(diào)節(jié)作用的結(jié)果，若以捕食者—獵物種群數(shù)量關(guān)系為例，建立數(shù)學(xué)模型，可以獲得兩種曲線圖，即波形圖和循環(huán)圖。

1 負(fù)反饋調(diào)節(jié)的波形圖

以時(shí)間為橫坐標(biāo)，種群數(shù)量為縱坐標(biāo)，作捕食者和獵物種群數(shù)量隨時(shí)間的變化曲線，可以得到由兩條曲線組成的波形圖(圖1)。由圖1可知，曲線N與曲線P間存在“跟隨”關(guān)系，即曲線P隨曲線N的變化而發(fā)生變化，則曲線N代表獵物種群數(shù)量隨時(shí)間的變化曲線，曲線P代表捕食者種群數(shù)量隨時(shí)間的變化曲線。此外，該波形圖顯示出捕食者與獵物的種群數(shù)量皆在一定范圍內(nèi)波動，受負(fù)反饋調(diào)節(jié)作用。

圖1 負(fù)反饋調(diào)節(jié)的波形圖

2 負(fù)反饋調(diào)節(jié)的循環(huán)圖

以獵物種群數(shù)量為橫坐標(biāo)，捕食者種群數(shù)量為縱坐標(biāo)，作捕食者種群數(shù)量隨獵物種群數(shù)量的變化曲線，可以得到逆時(shí)針方向圓的循環(huán)圖(圖2)。將方向圓均分為四段，分別分析獵物與捕食者的種群數(shù)量變化情況。在①區(qū)段，獵物種群數(shù)量減少，捕食者種群數(shù)量增加；在②區(qū)段，獵物種群數(shù)量繼續(xù)減少，捕食者種群數(shù)量開始減少；在③區(qū)段，獵物種群數(shù)量開始增加，捕食者數(shù)量繼續(xù)減少；在④區(qū)段，獵物種群數(shù)量繼續(xù)增加，捕食者種群數(shù)量開始增加，此后依次循環(huán)。圖2中的①②③④區(qū)段反映的種群數(shù)量變化情況依次與圖1中的abcd區(qū)段對應(yīng)。

圖2 負(fù)反饋調(diào)節(jié)的循環(huán)圖

3 波形圖與循環(huán)圖的函數(shù)聯(lián)系

負(fù)反饋調(diào)節(jié)的波形圖能較直觀地反映出捕食者與獵物的“跟隨”關(guān)系，方便判斷曲線的含義。在X、Y軸所示含義未知的情況下，分段描述負(fù)反饋調(diào)節(jié)循環(huán)圖中的方向圓，可以轉(zhuǎn)化為波形圖，進(jìn)而判斷X、Y軸所示含義。循環(huán)圖的分析略顯繁瑣，在此，筆者將利用數(shù)學(xué)方法進(jìn)行科學(xué)分析，建立波形圖與循環(huán)圖的函數(shù)聯(lián)系。

3.1 逆時(shí)針方向圓的轉(zhuǎn)換 設(shè)逆時(shí)針方向圓是半徑為1的單位圓，圓心為O點(diǎn)(2， 2)，圓上B點(diǎn)(x，y)以A點(diǎn)(3， 2)為起點(diǎn)逆時(shí)針循環(huán)運(yùn)動(圖3)?！螦OB用α來表示，則可得x、y值的表達(dá)式：

x=cosα+2，y=sinα+2

圖3 逆時(shí)針方向圓的坐標(biāo)圖

由x、y值的表達(dá)式可知，逆時(shí)針方向圓上點(diǎn)的坐標(biāo)值可分別對應(yīng)于正弦函數(shù)、余弦函數(shù)，即可用三角函數(shù)曲線表示方向圓。α值與時(shí)間值成正比，故以時(shí)間為橫坐標(biāo)、種群數(shù)量為縱坐標(biāo)，可作三角函數(shù)曲線(圖4)。進(jìn)而，可快速判斷曲線X與曲線Y間的“跟隨”關(guān)系，即圖3中X軸代表獵物、Y軸代表捕食者。

圖4 逆時(shí)針方向圓的轉(zhuǎn)換

3.2 順時(shí)針方向圓的轉(zhuǎn)換 同理，仍設(shè)順時(shí)針方向圓為單位圓，圓心為O點(diǎn)(2, 2)，圓上C點(diǎn)(x, y)以A點(diǎn)(3, 2)為起點(diǎn)順時(shí)針循環(huán)運(yùn)動(圖5)?！螦OC用(2π―α)來表示，則可得x、y值的表達(dá)式：

圖5 順時(shí)針方向圓的坐標(biāo)圖

α值與時(shí)間值成正比，故以時(shí)間為橫坐標(biāo)，種群數(shù)量為縱坐標(biāo)，依據(jù)x、y值的表達(dá)式，可將順時(shí)針方向圓曲線轉(zhuǎn)換為三角函數(shù)曲線(圖6)。若以波形圖中的曲線X為參照，圖4與圖6中的曲線Y是倒置關(guān)系，將導(dǎo)致曲線X與曲線Y“跟隨”關(guān)系的改變，即圖5中X軸代表捕食者、Y軸代表獵物。

圖6 順時(shí)針方向圓的轉(zhuǎn)換

4 總結(jié)

在描述捕食者與獵物間存在的負(fù)反饋調(diào)節(jié)關(guān)系時(shí)，波形圖是較常使用的數(shù)學(xué)模型。循環(huán)圖直觀性較差，分析起來難度較大，要求學(xué)生對方向圓的動態(tài)變化作出準(zhǔn)確判斷。在X、Y軸所示含義均未給定的情況下，對循環(huán)圖進(jìn)行分析，需注意分析起點(diǎn)的選擇，選定x、y值的最大值或最小值所對應(yīng)的點(diǎn)為分析起點(diǎn)。此外，在將循環(huán)圖轉(zhuǎn)換為波形圖的過程中，注意對循環(huán)圖中單位圓上動點(diǎn)運(yùn)動方向的處理，不同的方向圓將對應(yīng)不同含義的X軸與Y軸。