馮玲 紀婉妮

(福州大學(xué)經(jīng)濟與管理學(xué)院,福州 350002)

采用量子力學(xué)中的費曼路徑積分方法,推導(dǎo)出了更符合市場一般化情形的隨機波動率股指期權(quán)定價模型.在此基礎(chǔ)上,以恒指期權(quán)為例進行實證研究預(yù)測30天的期權(quán)價格,同時將Heston模型作為對照組,并進行穩(wěn)健性檢驗.研究結(jié)果表明,本文構(gòu)建的股指期權(quán)定價模型通過求解費曼定價核的數(shù)值解,進而在線性算法上直接實現(xiàn)股指期權(quán)價格的預(yù)測,相比于Heston模型利用特征函數(shù)的方法,不論是在相同到期日不同執(zhí)行價格下還是在相同執(zhí)行價格不同到期日下,定價精度顯著提高.費曼路徑積分作為量子金融的主要方法,本文的研究將為其進一步應(yīng)用于金融衍生品定價提供參考.

1 引 言

2018年8 月31 日,證監(jiān)會對《關(guān)于上市股指期權(quán)、助力資本市場風險防范的提案》做出答復(fù),表示其將繼續(xù)指導(dǎo)中金所推進股指期權(quán)的研發(fā)工作,并于合適時機推出股指期權(quán).傳統(tǒng)的期權(quán)定價模型主要有Black-Scholes (BS)期權(quán)定價模型和Heston模型.BS期權(quán)定價模型雖然形式上較為簡潔,但其僅適用于波動率為常數(shù)時的歐式期權(quán)的定價,而對股指期權(quán)進行準確定價是發(fā)揮其風險管理功能的重要前提.Heston期權(quán)定價模型雖然考慮了波動率為隨機的情形下的期權(quán)定價問題,但其在求解過程中多次利用偏微分方程,這些偏微分方程是在假設(shè)了特征函數(shù)解的形式的基礎(chǔ)上,經(jīng)過推演得到相應(yīng)微分方程組,而偏微分方程的求解技術(shù)性要求較高,且不少學(xué)者在研究過程中發(fā)現(xiàn)該模型存在許多無法克服的不足[1-3],本文在實驗過程中就發(fā)現(xiàn)其在價格預(yù)測中出現(xiàn)缺失值.Heston模型適用于歐式期權(quán)的定價,但其并不是為股指期權(quán)量身定制的模型.當前,關(guān)于隨機波動率股指期權(quán)的定價研究主要有參數(shù)方法與非參數(shù)方法.參數(shù)方法主要是圍繞BS期權(quán)定價模型對股指期權(quán)定價展開研究,側(cè)重于股指運動變化的刻畫方面,比如在股指服從的分布中加入跳躍過程、利用廣義自回歸條件異方差模型(generalized autoregressive conditional heteroskedasticity model,GARCH)或時變波動率模型對BS期權(quán)定價公式進行修正[4-7].此外,也有學(xué)者試圖用一般均衡模型分析股指期權(quán)的定價問題[8].但是參數(shù)方法難以避開參數(shù)設(shè)定所帶來的誤差與人為影響,隨著計算機算法的飛快發(fā)展,非參數(shù)方法可以避開求解參數(shù)受到的限制,因此受到諸多學(xué)者的青睞.其一般都是基于計算機模擬得到數(shù)值解,諸如神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型,遺傳算法[9-11]等.然而非參數(shù)方法不能給出具體期權(quán)定價公式,也無法給出合理的經(jīng)濟解釋.因此,更符合市場一般化情形的股指期權(quán)定價模型亟待提出.本文基于費曼路徑積分方法研究股指期權(quán)定價問題,旨在探尋用跨學(xué)科的量子金融方法構(gòu)建一個更符合市場實際情形的股指期權(quán)定價模型.

1942 年,費曼基于量子物理的角度提出路徑積分方法(path integral method),用于解決傳統(tǒng)量子物理求解過程的繁瑣及不易理解的問題.費曼路徑積分就物理問題的求解給出全局函數(shù),從而為導(dǎo)出解析近似和數(shù)值解提供了強大的分析工具.費曼路徑積分已被證明在解決金融問題上的有效性.1988年,Dash[12]首次提出并闡述了路徑積分方法用于解決期權(quán)定價的思路.隨后其還分別對單因子期限模型和多因子期限模型給出了路徑積分的分析框架.然而,其缺少對具體應(yīng)用和數(shù)值算法的進一步研究.1997年,Baaquie等[13-19]進一步對費曼路徑積分在金融衍生品定價上的應(yīng)用展開更為深入的研究,并提供了一系列新的數(shù)值算法,從而大大簡化了數(shù)值分析的工作量.2015年,Kakushadze[20]用量子力學(xué)“半經(jīng)典”近似方法給出了對債券定價的顯式函數(shù),并且指出根據(jù)費曼圖可以將微擾量子力學(xué)技術(shù)應(yīng)用于“半經(jīng)典”近似之外.2017年,Issaka和Sengupta[21]采用費曼路徑積分方法對受列維過程驅(qū)動的金融市場的期權(quán)定價進行研究,得到轉(zhuǎn)移概率密度函數(shù)的閉式解.2018年,Ma等[22]提出了一般分數(shù)下的分數(shù)穩(wěn)定過程路徑積分期權(quán)定價模型.2018年,Paolinelli和Arioli[23]基于二次路徑積分采用一種不同的作用量,得到了參數(shù)較少的股票價格動態(tài)模型.雖然上述研究已經(jīng)對費曼路徑積分在金融市場上的應(yīng)用展開了大量的討論,但是該方法在股指期權(quán)價格的定價研究上并不深入.2003年,陳澤乾[24]基于對沖的視角對量子金融的金融意義進行闡述,解釋了金融資產(chǎn)價格行為用量子規(guī)律刻畫較經(jīng)典統(tǒng)計規(guī)律刻畫的優(yōu)越性.2007年,陳黎明和邱菀華[25]基于陳澤乾提出的二項式期權(quán)定價的量子模型,構(gòu)建了實物期權(quán)估值算法.然而,該算法還存在一些不足,如階段劃分的問題以及模型參數(shù)的確定問題.2014年,王鵬和魏宇[26]指出“金融物理學(xué)”在金融市場上眾多異象(anomalies)的解釋上較經(jīng)典理論具有優(yōu)勢,從而闡釋了金融物理興起的原因.上述研究雖然從量子金融的理論意義與應(yīng)用意義進行了解釋,但在具體的定價問題的解決上顯得相對淺顯.

在我國股指期權(quán)亟待推出的背景下,對股指期權(quán)定價模型展開研究具有重要的理論意義與應(yīng)用意義,本文基于風險中性定價框架,旨在應(yīng)用量子金融的主要方法--費曼路徑積分,構(gòu)建一個更符合市場實際的隨機波動率股指期權(quán)定價模型.本文的創(chuàng)新之處在于：首先,利用費曼定價核將一維情形(常數(shù)波動率)拓展到二維情形(隨機波動率),從而同時考慮股指價格及其方差的變動以包含豐富的價格運動信息,最終得到基于量子金融視角的股指期權(quán)定價模型; 其次,在計算機算法的處理上基于費曼路徑生成原理與大數(shù)定律的關(guān)系,運用Matlab模擬得到均值定價核,從而優(yōu)化股指期權(quán)價格的求解過程并大大提高定價精度,既可以保留參數(shù)方法在經(jīng)濟解釋上的優(yōu)越性,也可以充分實現(xiàn)數(shù)值算法在逼近市場價格上的優(yōu)勢.

本文的第2節(jié)對相關(guān)模型理論展開描述; 第3節(jié)構(gòu)建了隨機波動率費曼路徑積分股指期權(quán)定價模型; 第4節(jié)對費曼路徑積分股指期權(quán)定價模型進行算法設(shè)計,以恒指期權(quán)的歷史數(shù)據(jù)進行實證研究,并將Heston模型作為對照組以說明隨機波動率費曼路徑積分股指期權(quán)定價模型的有效性、探討本文構(gòu)建的模型的適用性; 第5節(jié)為結(jié)論.

2 模型描述

2.1 Heston模型

諸多學(xué)者針對經(jīng)典BS模型下所產(chǎn)生的波動率微笑與波動率皺眉展開了研究,其中較為經(jīng)典的是1993年Heston[27]提出的用特征函數(shù)的方法求解偏微分方程(26).假定其中k為常數(shù),V為方差.首先猜測(26)式具有和BS公式相似的解,

其中,右邊第一項是即期資產(chǎn)在最優(yōu)執(zhí)行時的現(xiàn)值,第二項是執(zhí)行價格的現(xiàn)值; P1,P2又可以看成是價內(nèi)期權(quán)的條件概率分布.令 x=lnS(t) ,則 P1,P2必須滿足偏微分方程：

P1,P2的特征函數(shù) f1(x,V,T;?) 和 f2(x,V,T;?) 均需滿足偏微分方程(2),且終端條件為

特征函數(shù)的解為

其中,

概率密度函數(shù) Pj(x,V,T;lnK) 可通過對特征函數(shù)的逆變換進行積分得到,

由(8)式求出概率密度 P1,P2,代入(1)式即可得歐式看漲期權(quán)的價格.

Heston模型顯著改善了BS模型在價格預(yù)測上的不足,能夠同時考慮標的資產(chǎn)價格以及標的資產(chǎn)收益率方差的變動.

2.2 費曼路徑積分

費曼路徑積分(Feynman path integral)是量子力學(xué)在薛定諤波動力學(xué)和海森伯的矩陣力學(xué)之外的第三種表示形式.在路徑積分理論中,微觀粒子處于某一時刻 tb的運動狀態(tài) ψ(xb,tb) ,完全由過去的某一時刻 ta(＜tb) 的所有可能的運動狀態(tài)ψ(xa,ta)所決定,即

傳播函數(shù)為

其中,const表示常數(shù),? 為普朗克常量.

作用泛函為

費曼路徑積分理論認為：粒子由 (xa,ta) 到(xb,tb)的各種路徑都是可能的,并且每條路徑 [x(t)]均具有概率幅 ～const×e?iS[x(t)].傳播函數(shù)K(xb,tb;xa,ta)是從 x(ta)=xa運動到 x(tb)=xb的所有運動路徑[x(t)]的概率幅的疊加,而對所有路徑的求和可以表達為無窮維積分(泛函積分)的形式,稱為費曼路徑積分.

2.3 費曼路徑積分定價理論

將費曼路徑積分方法應(yīng)用于期權(quán)定價研究時,最為關(guān)鍵的是關(guān)于期權(quán)定價公式的費曼核的求解,借鑒諸多學(xué)者的研究[12-18],本文稱其為費曼定價核.費曼定價核包含了期權(quán)定價所需的全部信息.令 p(x,y,τ,x′,y′) 為風險中性的條件概率,其中τ=T-t ,x和y分別代表 τ=T-t 時有價證券的價格和波動率,x′和 y′分別代表 τ=0 時有價證券的價格和波動率.在 τ=0 時,定價核用狄拉克δ函數(shù)(Dirac delta function)表示為

當 t≤T 時,由Feynman-Kac公式得看漲期權(quán)的價格為

其中,g(x′,y′) 為貼現(xiàn)到時間t的支付函數(shù),C(τ;x,y)為看漲期權(quán)在時間t的價格,則終值條件為 C(0,x′,y′)=g(x′,y′).

運用費曼路徑積分求解模型定價核時,首先需要尋找哈密頓量H的本征函數(shù).為此,在對角化的哈密頓量H中引入動量作為基矢,這可以簡單地使用狄拉克函數(shù)和傅里葉變換得到,

由標積 〈x|p〉=eipx,〈p|x′〉=e-ipx′,得

由此得到動量空間基矢 |p〉 的完備性方程為

費曼路徑積分的思想在于將τ拆成許多更小的時間段ε,估計 e-εH,并把這些更小時間段內(nèi)的所有估計得到的矩陣 e-εH進行連乘運算,這在概率論上相當于把所有可能的運動路徑的概率考慮進去,因此費曼路徑積分可以考慮所有可能的運動路徑,這就為將費曼路徑積分應(yīng)用于期權(quán)定價以得到更為精確的期權(quán)價格提供了理論支撐.為了分析的簡便,假設(shè)將τ拆分成N個相同的ε,則 τ=Nε ,令 N→∞ ,則 ε→0 ,則

邊界條件為

由Feynman公式得

路徑積分測度(the path-integration measure)為

由此,得離散時間下的費曼路徑積分

在許多情形下,歸一化的 Ni(ε) 與積分變量xi是獨立的,這種情形下,歸一化的常數(shù) Ni(ε) 可以忽略不計,此時 N→∞ ,并由邊界條件可以得到連續(xù)時間下的費曼路徑積分,

(22)式即為定價核的費曼路徑積分形式.

3 隨機波動率費曼路徑積分股指期權(quán)定價模型構(gòu)建

3.1 隨機波動率分布形式設(shè)定

1987 年,Scott[28]提出波動率可能服從均值回復(fù)過程,并用蒙特卡羅模擬算出了期權(quán)價格的數(shù)值解.1989年,Merville和Pieptea[29]使用S&P 500指數(shù)期貨看漲期權(quán)進行研究,并給出了市場波動率服從帶噪聲均值回復(fù)過程的證明.1993年,Heston[27]假定即期資產(chǎn)在時間t服從幾何布朗運動,

其中,V(t) 是方差,dW1(t) 是維納過程,假定波動率服從形如Stein和Stein[30]提出的均值回復(fù)過程,并借鑒Cox等[31]1985年提出的平方根過程,得到方差服從平方根過程,

其中,V(t)=σ2(t) ,θ是方差的長期均值,α是均值回復(fù)速度,ξ是反映方差過程的波動率,dW1和dW2為相關(guān)系數(shù)為ρ的高斯白噪聲.

可見,Heston模型的平方根過程,本質(zhì)上是均值回復(fù)過程的改進.且鑒于諸多學(xué)者的研究,指出波動率服從均值回復(fù)過程更符合市場的實際情形[27-31].因此,本文采用Heston的平方根過程刻畫方差的運動過程.

3.2 隨機波動率費曼路徑積分股指期權(quán)定價模型

由于紅利支付會使得股指的實際價值減少,借鑒Shreve在《金融隨機分析》[32]關(guān)于連續(xù)支付股息的股價模型,取股指模型為

其中,q為股息率,為分析的簡便,假定股息率為常數(shù); V(t)=σ2(t) ; μ為股指的期望收益率,θ是方差的長期均值,α是均值回復(fù)速度,ξ是反映方差過程的波動率,μ,α,θ,ξ 均為常數(shù); dW1和 dW2為相關(guān)系數(shù)為ρ的高斯白噪聲.由二次變分原理得,(dI)2=I2Vdt ,(dV)2=ξ2Vdt ,dIdt=dVdt=0 ,dIdV=ρξIVdt.

假定波動率風險的市場價格為λ,根據(jù)風險中性定價原理,股指的期望收益率μ等于無風險利率r,由Black和Scholes及Merton指出的任意資產(chǎn)價格滿足的偏微分方程[27],可得

令 I=ex,V=ey,則 x=lnI ,y=lnV ,-∞＜x＜+∞,-∞＜y＜+∞ ,則

得帶隨機波動率的哈密頓量 HSV如下：

由 〈x|p〉=eipx,〈y|p〉=eipy,可將(28)式轉(zhuǎn)化為量子場論下的哈密頓量,

則,費曼定價核

其中,

令

進行變量替換,并由量子場論下的二維高斯積分,則可得

其中,

由 LSV的公式可知,ASV是 xi的二次型和 yi的非線性函數(shù),因此原理上可以精確地對股指價格xi進行路徑積分,

令

則

通過高斯積分求解并借鑒Heston的處理方式,假定波動率風險的市場價格僅與 V(t) 相關(guān),基于風險中性的分析框架下,投資者不要求風險補償,令 λ=0.則,隨機波動率下費曼定價核的解為

其中,

A1是 DX 路徑積分的結(jié)果.

將費曼定價核與支付函數(shù)的乘積在 x′的所有可能取值范圍內(nèi)進行積分,可得歐式股指看漲期權(quán)價格為

至此,本文推導(dǎo)得到隨機波動率費曼路徑積分股指期權(quán)定價模型(38)式.費曼定價核包含了從時間T到t的股指的所有價格可能運動路徑的信息,是風險中性條件下股指期權(quán)定價的條件概率.從費曼路徑積分原理以及隨機波動率費曼路徑積分股指期權(quán)定價模型的推導(dǎo)過程可以看到,隨機波動率下的費曼定價核是股指價格以及方差從時間T到t的所有可能運動路徑的總的幾率幅.從(38)式可以看到,費曼路徑積分股指期權(quán)定價模型的核心在于求解隨機波動率定價核 pSV.

4 基于恒指期權(quán)的實證研究

由于滬深300股指期權(quán)的仿真交易不夠活躍,數(shù)據(jù)存在諸多異常值,不適合做實證研究.鑒于滬港通和港股通的相繼實施,香港金融市場與上海金融市場之間的相關(guān)性越來越明顯,因此,本文采用恒生指數(shù)期權(quán)的歷史數(shù)據(jù)進行實證研究.

4.1 樣本數(shù)據(jù)選取及數(shù)據(jù)來源

為檢驗?zāi)Ｐ皖A(yù)測效果,以2016年1月1日至2018年11月9日為樣本內(nèi)數(shù)據(jù),以2018年11月10日至2018年12月23日為樣本外數(shù)據(jù).本文預(yù)測30 d的價格,主要是考慮到有些期權(quán)即將到期,其時間價值的衰減速度隨著到期日的臨近逐漸加快,這會對定價產(chǎn)生非常大的影響.為分析模型效果,將Heston模型作為對照組,所有參數(shù)和市場數(shù)據(jù)都一致.

鑒于期權(quán)價格與其標的資產(chǎn)價格之間是一一對應(yīng)的關(guān)系,而本文采用恒指期權(quán)的歷史收盤價數(shù)據(jù)檢驗?zāi)Ｐ偷倪m用性,對應(yīng)地采用恒生指數(shù)日收盤價的對數(shù)作為x的代理變量,并以方差的對數(shù)作為y的代理變量.考慮到歷史波動率的不足,本文采用指數(shù)移動加權(quán)平均模型(exponential weighted moving average,EWMA)重新計算方差.以香港銀行同業(yè)拆借利率(Hongkong inter bank offered rate,HIBOR)作為無風險利率的代理變量.恒指日收盤價、恒指股息率、香港銀行同業(yè)拆借利率HIBOR、恒指期權(quán)日收盤價數(shù)據(jù)均來自Wind金融終端.

4.2 模型的參數(shù)估計

由于傳統(tǒng)參數(shù)估計方法需要的前提條件較多,且隨機波動率模型中存在不可觀測變量,模型的似然函數(shù)涉及高維積分[33],馬爾可夫鏈蒙特卡羅模擬方法(Markov chain Monte Carlo,MCMC)較傳統(tǒng)的參數(shù)估計方法而言,在盡量納入市場數(shù)據(jù)的同時可以免去似然函數(shù)的推導(dǎo)過程.對于某個分布π(θ),一般情況下,無論初始狀態(tài) θ0取何種分布,在經(jīng)過足夠的迭代次數(shù)后,馬爾可夫鏈將逐漸忽略其初始狀態(tài),基于細致平衡條件(detailed balance condition)[34]θn將收斂到平穩(wěn)分布.因此,本文將采用易于實現(xiàn)的MCMC參數(shù)估計方法,運用Winbugs軟件進行參數(shù)估計.

由于歷史波動率的計算公式賦予計算周期內(nèi)的所有時間距離等權(quán)重,使得波動率與實際值存在偏差.恒指期權(quán)屬于現(xiàn)貨期權(quán),其交易不如期貨期權(quán)活躍,難以滿足GARCH模型對參數(shù)估計的需要,而指數(shù)移動加權(quán)平均(EWMA)模型(EWMA模型為其中,σ 為波動率,u為變化率,w為介于0與1之間的某一常數(shù).當l很大時,項趨于零,而對應(yīng)于u的權(quán)重以w速度遞減)對價格的連續(xù)性要求較弱.鑒于摩根在1994年發(fā)表的RiskMetrics數(shù)據(jù)中采用 w=0.94 ,并且研究表明這一權(quán)重所預(yù)測得到的方差與實際方差非常接近.因此,本文取權(quán)重為 w=0.94 ,時間窗口為 l=150 ,計算恒指收盤價自1964年7月31日至2018年12月21日的方差,作為恒指方差的代理變量.以所有計算得到的方差的均值作為方差的長期均值的代理變量,可得θ=0.0857.雖然從方差的歷史走勢(見圖1)來看,有不少方差數(shù)值較大,但均迅速調(diào)整到較小的值.

圖1 EWMA模型得到的日方差圖Fig.1.Daily variance diagram from EWMA model.

至此,待估計參數(shù)只剩下α,ξ,ρ.令x(t)=lnI(t),(25)式經(jīng)伊藤引理變換,并進行歐拉離散化后,得

其中 Z1,Z2均服從標準正態(tài)分布.假設(shè)α～N(5.5,0.01),ρ～Γ(2.5,0.1) ,ξ～N(1,0.0625).為了獲取穩(wěn)定的參數(shù)估計結(jié)果,本文通過設(shè)置兩組初始值形成兩個迭代鏈,迭代100000次,并舍棄前4000次迭代值,通過觀察各參數(shù)的核密度圖(見圖2)均呈單峰情形,可見參數(shù)估計結(jié)果是穩(wěn)定的.

迭代100000次,舍棄前面4000次,樣本量為192000,參數(shù)估計結(jié)果列于表1,α,ρ,ξ參數(shù)估計結(jié)果依次為3.393,0.4201,1.574.

至此,得到隨機波動率費曼路徑積分股指期權(quán)定價模型所需的所有參數(shù),分別為 θ=0.0857 ,α=3.393,ρ=0.4201 ,ξ=1.574.接下來,本文將基于該組參數(shù)進行價格預(yù)測.

圖2 核密度圖Fig.2.Kernel density.

表1 參數(shù)估計結(jié)果Table 1.Parameter estimates.

4.3 費曼路徑積分股指期權(quán)定價模型的算法設(shè)計

令 y=lnV ,則(25)式的方差的平方根過程由伊藤引理可得

將(40)式進行歐拉離散化,可得

其中,Z～N(0,1) ,δyi=yi-yi-1,由于 τ=T-t ,而預(yù)測的是t時刻的期權(quán)價格,所以,時間步長為-ε.由此可見,δyi為正態(tài)隨機變量,并且其均值為方差為 ξ2e-yiε ,且其概率密度函數(shù)的表達式如下：

離散化過程的聯(lián)合概率密度為

設(shè)Y為由變量 yi構(gòu)成的數(shù)組,因此Y為N維矩陣,則其概率密度函數(shù)為

從(44)式可以看到,概率密度函數(shù) p(Y) 雖然看起來較為復(fù)雜,但其實質(zhì)為 yi隨機游走的概率分布.

設(shè)pSV(x,y,τ;x′)=p(Y)·g(Y),則

費曼定價核重述為

如圖3所示,將剩余到期日平均地分成N個ε,對應(yīng)地插入 N-1 個隔板,在每個隔板上隨機地取盡可能多的點(圖中只呈現(xiàn)了8個點).在每個隔板上隨機地各取一個點相連接起來,即可生成一條路徑,如圖3中有3條相互獨立的路徑.可見,我們無法知道具體的路徑走勢,唯一可以確定的是,根據(jù)大數(shù)定律得到的在每個隔板上所有隨機點的平均值.在費曼路徑積分中,假定每條路徑都是等可能的,那么對于模擬得到的所有的 yi可以由大數(shù)定律得到確定的均值.基于此,本文在算法設(shè)計上做了簡化處理：路徑的隨機生成是無法預(yù)知的,但可以確定的是在每個預(yù)測點的逼近的均值,而這個均值是所有可能的路徑共同決定的結(jié)果,因此可以得到取均值后的費曼定價核.

圖3 路徑圖Fig.3.Path diagram.

2000 年Baaquie等[35]指出,在路徑積分期權(quán)定價中,時間步長不宜過小.為此,借鑒其做法,步數(shù)設(shè)為N=128步,時間步長 ε=τ/128 ,其中τ為剩余交易日.

δyi的分布已知為正態(tài)分布,因此可以用蒙特卡羅模擬在每個時間步長各模擬10000個 δy 的值,并分別取均值得到則其中,yt為EWMA模型所得的方差的對數(shù).

計算

4.4 基于算法設(shè)計的模型效果比較

4.4.1 相同到期日不同執(zhí)行價格下的價格預(yù)測

在到期日均為2019年3月時,從圖4至圖6可以看到,不論是實值期權(quán)(K ＜ 25800)、平值期權(quán)(K=25800)還是虛值期權(quán)(K＞25800),費曼路徑積分股指期權(quán)定價模型與Heston模型都能較好地刻畫市場價格的走勢.但是,從定價精度來看,費曼路徑積分股指期權(quán)定價模型對于市場價格的擬合曲線都較Heston模型更為準確.

圖4 實值期權(quán)(以K=25200為例)Fig.4.In-the-money option (K=25200 as an example).

圖5 平值期權(quán)(K=25800)Fig.5.At-the-money option (K=25800 as an example).

圖6 虛值期權(quán)(以K=26400為例)Fig.6.Out-of-the-money option (K=26400 as an example).

4.4.2 相同執(zhí)行價格不同到期日下的價格預(yù)測

由于平值期權(quán)的交易更為活躍,對其進行價格預(yù)測更具有應(yīng)用價值.因此,本文采用執(zhí)行價格為25800的平值期權(quán),對到期日分別為2019年2月、2019年3月、2019年6月、2019年9月的恒指期權(quán),進行價格預(yù)測.為了保持前后對比的一致性,仍然以2018年11月10日至2018年12月23日為樣本外數(shù)據(jù),預(yù)測恒指期權(quán)30天的價格.由于到期日不同,剩余到期日也發(fā)生了改變,本文在實證的基礎(chǔ)上發(fā)現(xiàn)步數(shù)取128步的時候模型是較為穩(wěn)定的,這與Baaquie等[35]2000年的研究結(jié)果一致.通過調(diào)整對應(yīng)的時間單位長度,發(fā)現(xiàn)在時間步長為0.001-0.002時,模型的預(yù)測效果較好.

可以看到在到期日為2019年2月(圖7)、2019年3月(圖5)、2019年9月(圖8)時,費曼路徑積分股指期權(quán)定價模型的定價精度明顯較Heston模型更為精確.在到期日為2019年6月(圖9)的時候,兩種模型的定價效果基本持平.

4.5 穩(wěn)健性檢驗

為進一步增強實證結(jié)果的說服力,接下來對隨機波動率下費曼路徑積分股指期權(quán)定價模型以及Heston模型的股指期權(quán)定價效果進行穩(wěn)健性檢驗.本文使用均方根誤差(root mean squared error,RMSE)和Theil不等系數(shù)(Theil inequality coefficient)兩個評價指標對這兩個模型的定價效果進行評價.兩個評價指標的計算公式分別為(47)和(48)式.

圖7 到期日為2019年2月時兩模型的平值期權(quán)價格對比圖Fig.7.A comparison of the two models with maturity date of February 2019.

圖8 到期日為2019年9月時兩模型的平值期權(quán)價格對比圖Fig.8.A comparison of the two models with maturity date of September 2019.

圖9 到期日為2019年6月時兩模型的平值期權(quán)價格對比圖Fig.9.A comparison of the two models with maturity date of June 2019.

均方根誤差又稱為標準誤差,用于衡量預(yù)測的絕對誤差,一般而言,誤差值越小說明預(yù)測準確度越高.其對誤差的極端情況的反映極為敏感,因此能夠較好地反映模型預(yù)測的精確度.均方根誤差是有量綱的評價指標,對于費曼路徑積分股指期權(quán)定價與Heston模型期權(quán)定價的效果比較來說,在單位為港幣的情況下,可以直觀地看到其在經(jīng)濟意義上與市場價格的標準誤差.Theil不等系數(shù)介于0和1之間,數(shù)值越小說明模型的預(yù)測效果越好.Theil不等系數(shù)剔除了單位的影響,是一種無量綱的評價指標.因此,結(jié)合這兩個評價指標可以從有量綱與無量綱這兩種情形,對費曼路徑積分定價模型及Heston模型的定價效果進行評價.

從圖10以及圖11可以直觀地看到在期權(quán)到期日為2019年3月時,不論是實值期權(quán)(K ＜25800)、平值期權(quán)(K=25800)還是虛值期權(quán)(K＞25800),費曼路徑積分股指期權(quán)定價模型的RMSE及Theil不等系數(shù)都較Heston期權(quán)定價模型來得低.可見,在相同到期日不同執(zhí)行價格下,費曼路徑積分股指期權(quán)定價模型在價格預(yù)測上較Heston模型有了明顯的改進.

圖10 相同到期日不同執(zhí)行價格下兩種模型的RMSE對比圖Fig.10.RMSE for the two models on the same due date.

從表2評價指標值可以看到,在到期日為2019年6月時,費曼路徑積分股指期權(quán)定價模型與Heston模型的RMSE與Theil不等系數(shù)差別不大,但在其他到期日下,費曼路徑積分股指期權(quán)定價模型的評價指標值都遠小于Heston模型.可見,費曼路徑積分股指期權(quán)定價模型顯著較Heston模型準確.

圖11 相同到期日不同執(zhí)行價格下兩種模型的Theil不等系數(shù)對比圖Fig.11.Theil inequality coefficients for the two models on the same maturity date.

表2 K=25800下兩種模型不同到期日下的評價指標值Table 2.K=25800,the evaluation index values of the two models under different maturity dates.

5 結(jié) 論

從以上研究可以看到,Heston模型仍然是基于傳統(tǒng)的BS模型的思路,結(jié)合特征函數(shù)法求解原本BS模型中的 N(d1) 與 N(d2) ,其所求期權(quán)價格的閉式解基于復(fù)雜的偏微分方程求解過程.而本文所構(gòu)建的隨機波動率股指期權(quán)定價模型僅由費曼定價核和支付函數(shù)的無窮維積分形式構(gòu)成,費曼定價核包含了股指期權(quán)定價所需的全部信息,通過本文的實證研究,發(fā)現(xiàn)該定價核的數(shù)值解容易通過計算機運行模擬得到.相比于Heston模型而言,不需要其他的邊界條件.本文提出的模型,核心在于求解費曼定價核,本文基于費曼路徑生成原理與大數(shù)定律的關(guān)系,運用Matlab模擬得到均值定價核,可以大大優(yōu)化股指期權(quán)價格的求解過程.基于恒指期權(quán)的實證結(jié)果表明,在相同到期日下,不論是實值、平值還是虛值期權(quán),費曼路徑積分股指期權(quán)定價模型在定價精度上顯著優(yōu)于Heston模型.在平值期權(quán)下,對不同到期日的期權(quán)進行價格預(yù)測,費曼路徑積分股指期權(quán)定價模型仍然較Heston模型來得精確.可見,隨機波動率費曼路徑積分股指期權(quán)定價模型在價格預(yù)測上是穩(wěn)健的,并且可以帶來較好的預(yù)測效果.

基于以上研究,可以看到費曼路徑積分股指期權(quán)定價模型在定價處理上具有很大的靈活性.根據(jù)大數(shù)定律以及費曼路徑的生成原理,通過蒙特卡羅模擬方差運動路徑.在得到均值定價核的基礎(chǔ)上,將均值定價核與支付函數(shù)的乘積對 x′進行離散化處理,求均值定價核與支付函數(shù)的乘積的曲線面積以得到期權(quán)價格的數(shù)值解,從而優(yōu)化了期權(quán)價格計算過程,并大大提高了股指期權(quán)的定價精度.

采用費曼路徑積分方法構(gòu)建股指期權(quán)定價模型,相比于傳統(tǒng)的期權(quán)定價模型(如BS,Heston模型),其顯著的優(yōu)點體現(xiàn)在：首先,路徑積分在解決多變量問題上具有優(yōu)越性,費曼定價核代表所有的定價信息,對其展開變形可以將一維情形拓展到多維情形,因此可以用路徑積分的方法將股指收盤價和標的股指波動率的變動同時考慮進去,進而可以改進經(jīng)典B-S-M模型; 其次,基于費曼路徑生成原理與大數(shù)定律之間的關(guān)系,通過Matlab軟件得到均值定價核,不僅優(yōu)化了計算過程也顯著提高了定價精度.

本文構(gòu)建的費曼路徑積分股指期權(quán)定價模型,對于提高股指期權(quán)的定價精度具有重要的理論意義,豐富了股指期權(quán)的定價手段,開拓了更為廣闊的研究視角.然而,本文在對波動率風險的市場價格上的討論較為簡單,今后可以對此展開更為深入的研究.