石航 王麗丹

1) (非線性電路與智能信息處理重慶市重點實驗室,重慶 400715)

2) (西南大學電子信息工程學院,重慶 400715)

3) (智能傳動和控制技術聯(lián)合工程實驗室,重慶 400715)

4) (類腦計算與智能控制重慶市重點實驗室,重慶 400715)

5) (重慶市腦科學協(xié)同創(chuàng)新中心,重慶 400715)

6) (西南大學西塔學院,重慶 400715)

隨著計算機科學的快速發(fā)展,信息的存儲和傳播常常在各類計算機硬件以及多種網絡之間進行,傳統(tǒng)的信息加密方案已逐漸不再適用.因此,基于計算機的信息加密算法近年來逐步成為研究熱點.通過結合小波包變換、壓縮感知、混沌系統(tǒng)等理論,一種基于壓縮感知和多維混沌系統(tǒng)的多過程圖像加密方案被提出.該加密方案實現(xiàn)了針對灰度圖像的壓縮和加密及對應的解壓、解密過程.小波包變換理論被應用到圖像的預處理階段對原始圖像進行小波包分解,同時結合閾值處理方法對分解后所得的圖像信號分量進行分類,并在之后的處理過程中根據(jù)圖像信號分量的特性對其有區(qū)分地進行壓縮、加密或者保留.在圖像壓縮階段,引入壓縮感知算法克服傳統(tǒng)采樣定理采樣成本高及重構質量偏低等弊端.在圖像加密階段,結合多類、多維度混沌系統(tǒng)對相關圖像信號分量進行置亂.最后,應用壓縮、加密以及小波包變換的逆過程實現(xiàn)對原始圖像的完整重構.仿真結果表明,該圖像加密方案在抵抗外界干擾時憑借算法魯棒性有效地保護了密文圖像的基本信息,且在應對明文攻擊等破解手段時不泄露任何有用信息.此外,經該加密方案加密后的密文圖像的信息熵及相關系數(shù)等指標相比于參考文獻中加密算法更加接近于理想值,其加密性能有明顯的提升.

1 引 言

針對數(shù)字圖像的加密方案往往要求密文圖像在視覺效果上不能暴露明文圖像的有效信息,且相鄰像素點間要具有極強的隨機性,因此,數(shù)字圖像加密方案往往會引入一些偽隨機過程處理數(shù)字圖像或使用一些偽隨機序列對圖像進行編碼以達到加密的目的.眾所周知,混沌映射與混沌系統(tǒng)具有初值敏感性以及不可預測性等特點,將混沌理論運用到數(shù)字圖像加密中能夠得到相較于普通偽隨機過程更大的密鑰空間,進而提高密文圖像的安全性.吳成茂[1]在離散Arnold映射的基礎上進行改進并應用于圖像的置亂加密; Lin等[2]利用超混沌Chen系統(tǒng)提出了一種基于超混沌系統(tǒng)的圖像加密算法; Li等[3]通過結合二維Logistic系統(tǒng)與新二維離散系統(tǒng)提出一種能極大擴展密鑰空間且增強安全性的圖像加密方案.這些研究成果充分說明了在數(shù)字圖像加密方案引入混沌系統(tǒng)的可行性以及可靠性.

使用數(shù)字圖像存儲信息的缺陷在于其往往包含許多冗余的信息,因此,針對數(shù)字圖像的處理方案一般會引入圖像壓縮算法以減少處理過程中的數(shù)據(jù)量以提高算法的執(zhí)行效率,但是傳統(tǒng)的壓縮算法在實際應用中往往存在采樣成本高、重構質量低的缺陷,對后續(xù)的圖像處理造成了負面影響.壓縮感知(compress sensing,CS)作為一種新興的壓縮理論指出在被采樣信號為稀疏信號的前提下,可以通過遠低于傳統(tǒng)采樣定理的采樣率對信號進行采樣和重構[4],因此壓縮感知理論非常適合運用在較為復雜的圖像處理方案中.Chai等[5]和Zhu等[6]在數(shù)字圖像加密方案中引入了壓縮感知理論,實現(xiàn)了在較少數(shù)據(jù)量下對明文圖像進行加密處理,在極大地改善加密算法的執(zhí)行效率的同時,仍保證了加密方案的安全性.

本文提出了一種基于壓縮感知和混沌系統(tǒng)的數(shù)字圖像加密方案,通過引入壓縮感知理論,對部分圖像信號分量進行壓縮處理,減少了加密過程中需要處理的數(shù)據(jù)量,降低了原始圖像信息在處理過程中的損耗.同時,使用多維混沌系統(tǒng)對待加密的圖像信號分量進行像素擴散、置亂,利用多維混沌系統(tǒng)的隨機性保證了密文圖像的安全性.該圖像加密方案能夠在改善算法執(zhí)行效率的同時,保證密文圖像的可靠性.

2 一種新的基于壓縮感知和混沌系統(tǒng)的圖像加密方案

2.1 圖像預處理：基于小波包變換的圖像分解法和自適應分類

在數(shù)字圖像加密方案中,小波包變換(wavelet packet transform,WPT)經常被運用在預處理階段對明文圖像進行分解進而得到不同的圖像信號分量以消除一些對于后續(xù)處理步驟不利的負面因素及提高圖像處理方案整體的運行效率.本文采用離散二階小波包變換對明文圖像進行分解,并對分解后的圖像信號進行自適應分類處理以減少圖像的冗余信息對圖像處理效果的影響[7-9].以Lena圖像為例,其離散二階小波包變換如圖1所示.

圖1 Lena圖像及其二階小波包變換 (a)原圖; (b)二階小波包變換Fig.1.Lena and its second-order wavelet packet transformation：(a) Original Lena; (b) second order wavelet packet transformation of Lena.

圖1(b)中左上角的信號分量包含了原始圖像中的大部分能量,因此,該信號將作為圖像加密處理的主體信號,記為S.

對于剩下的15個信號分量,先對其進行閾值處理.針對于每一個信號分量,根據(jù)下列公式計算其均值E：

其中xi為信號分量矩陣的其中一個元素,n為一個信號分量矩陣所包含的元素個數(shù).

在得到這15個信號分量的均值后,選擇最大的一個均值Emax,再結合下列公式對這15個信號分量矩陣中的元素進行閾值處理：

完成圖像信號分量的閾值處理后,再次計算每一個信號分量的均值Ei',除此之外,針對每個信號分量計算其信息熵(香農熵,Shannon entropies)SEi,再結合圖2所示的算法對剩余的15個信號分量進行分類處理(E'表示經閾值處理后除S信號以外的所有信號分量像素值的均值).

圖2中,Zi信號表示均值為0的圖像信號分量,該類分量沒有存儲原始圖像任何有用的信息,在后續(xù)處理過程中不會涉及,可直接丟棄; Oi信號代表均值小于E'的圖像信號分量,這部分信號存儲了原始圖像的部分有效信息量,為保證對原始圖像的完美的重構,在后續(xù)處理過程中需保留該部分信號,但不做任何處理; Ci信號作為第四類圖像信號分量,其相比于Oi信號包含了原始圖像更多的有效信息.因此,考慮對Ci信號采用壓縮感知算法進行壓縮處理以減少后續(xù)處理過程中的數(shù)據(jù)量,進而提高加密方案整體的運行效率.

圖2 分類算法流程圖Fig.2.Flow chart of classification algorithm.

對于Lena圖像而言,在對其16個圖像信號分量進行閾值處理分類后,得到了1個S信號,0個Zi信號,7個Oi信號,8個Ci信號.

2.2 一種新的基于壓縮感知和多維混沌系統(tǒng)的圖像加密方案

2.2.1 基于壓縮感知的圖像壓縮算法

本節(jié)主要針對2.1節(jié)中得到的8個Ci圖像信號分量進行壓縮處理[10-12].前文中已經說明壓縮感知理論應用的前提在于待壓縮信號是稀疏信號,對于圖像信號而言,其0像素點的個數(shù)可以簡單地反映其稀疏度,現(xiàn)對8個Ci信號中的0像素點個數(shù)及占比進行考察,結果列于如表1.

由表1中0像素點占比一列可知,8個Ci信號中0像素點占比最低為8.03%,最高為22.39%,因此可以認為這8個Ci信號是稀疏的,可以直接進行壓縮感知的隨機亞采樣操作.

本文采用高斯隨機矩陣作為對Ci信號進行隨機亞采樣的測量矩陣,在后續(xù)針對壓縮信號的重構過程中,應用正交匹配追蹤算法(orthogonal matching pursuit,OMP)作為重構算法對已壓縮的信號分量進行重構,最終得到與Ci信號等數(shù)量、等尺寸的解壓信號DCi.

表1 Lena圖像Ci信號分量0像素點的個數(shù)及占比Table 1.The number and proportion of 0 pixels in Ci signals in Lena.

2.2.2 基于多維混沌系統(tǒng)的圖像加密算法

置亂過程單一的圖像加密算法往往具有密文圖像的安全性較差的缺陷,進而無法對明文圖像的信息進行有效的保護.本文在一般的單次置亂圖像加密算法的基礎上,引入了二次置亂加密以保證加密算法的安全性.其中,一次置亂加密算法的流程圖如圖3所示.

引入如(3)式所示的四階Colpitts混沌系統(tǒng)[13]作為圖3中的混沌系統(tǒng)1,取系統(tǒng)初值為[0.01,0.02,0.03,0.04].

式中,α1=2.86,α2=19.0,βF=200,β1=2.86,β2=3.11,β3=1,β4=17.38,γ1=57.14,γ2=20.0,γ3=381,δ=5.48; f(y)=0.5(y - 1+|y+1|)為非線性函數(shù).

對Colpitts混沌系統(tǒng)進行一段時間的迭代后共可得到四組等長的偽隨機序列xi,yi,zi,wi[14],隨機選取其中的三組混沌序列在某個隨機時刻的取值xt,yt,zt,將這三個隨機數(shù)的值限制在區(qū)間[0.01 0.1]內得到初始密鑰[x0,y0,z0].此時引入如(4)式所示的三階Chen混沌系統(tǒng)[15]作為圖3中的混沌系統(tǒng)2,其系統(tǒng)初值即為[x0,y0,z0].

圖3 一次置亂加密流程圖Fig.3.One scrambling encryption algorithm flow chart.

式中,α=10,β=15,m0=-1/7,m1=2/7,f(x)=m1x+0.5(m0-m1)(|x+1|+|x-1|)為三段非線性函數(shù).

對Chen系統(tǒng)進行一段時間的迭代得到三組等長的偽隨機序列xi,yi,zi,在這三組偽隨機序列中隨機選取兩個數(shù)取整后得到a,b,代入如 (5) 式所示的數(shù)字化Arnold映射中：

在人為指定映射迭代的次數(shù)后(一般為2-3次),根據(jù) (5) 式對S信號進行錯切變換及切割回填操作實現(xiàn)對S信號的初步加密,得到初步加密信號E1,如圖4(a)所示.

圖4 S信號的密文圖像 (a) 一次置亂密文圖像; (b) 二次置亂密文圖像Fig.4.Ciphertext image of the S signal：(a) Scrambling ciphertext image once; (b) secondary scrambling ciphertext image.

在完成S信號的一次置亂加密后,根據(jù)如圖5所示的二次置亂加密流程圖對S信號進行二次置亂加密.

其中,密鑰流k由下列公式計算得到：

式中[xi]表示對xi進行向下取整操作.通過該加密算法所得的密文圖像E2如圖4(b)所示,可以看到其在視覺效果上較好地實現(xiàn)了隱藏明文圖像信息的功能.該加密算法的性能將在下一節(jié)的算法性能分析中進行討論,其對應的解密過程為加密過程的逆運算.

2.2.3 圖像重構：基于小波包變換的逆運算

針對原始圖像的重構需結合未經處理的圖像信號分量以及經壓縮、加密算法處理后的各類圖像信號分量,圖像的重構過程如圖6所示.

對于Lena圖像,由于其經小波包變換后的圖像信號分量不包含Zi信號,因此,其重構過程中只需結合解密后的圖像信號分量,解壓后的圖像信號分量以及Oi圖像信號分量進行二階離散逆小波包變換即可實現(xiàn)可對Lena圖像的完全重構,Lena圖像與其重構圖像如圖7所示.

為方便之后對算法性能進行對比分析,本文還對除Lena圖像以外的2幅圖像進行了相同的操作,結果如圖8所示.

3 算法性能分析

3.1 密鑰空間分析

對于一種加密算法而言,密鑰空間是其加密性能的一種直觀的體現(xiàn),一般情況下,密鑰空間范圍越大的加密算法,在應對蠻力攻擊等非法解密手段時往往能夠表現(xiàn)出良好的抵御性能.本文中所使用的加密算法在保證混沌系統(tǒng)始終位于混沌狀態(tài)的前提下,利用4階Colpitts超混沌系統(tǒng)產生Chen系統(tǒng)的控制參數(shù)c及初始值x0,y0,z0,雖然數(shù)字仿真降低了混沌系統(tǒng)的隨機性,但是作為4階超混沌系統(tǒng),它在足夠的計算精度下同樣具有較大范圍的密鑰空間.同時,當Colpitts混沌系統(tǒng)的控制參數(shù)及初始值發(fā)生變化時,Chen系統(tǒng)的控制參數(shù)及初始值也會相應地發(fā)生變化,故之后用于圖像加密的密鑰流也會發(fā)生變換.除此之外,Colpitts系統(tǒng)的迭代次數(shù)也會影響Chen系統(tǒng)密鑰流的產生.因此,本文加密算法的密鑰空間是比較廣泛的,蠻力攻擊無法實現(xiàn)對被加密圖像的有效解密.

圖5 S信號二次置亂加密流程圖Fig.5.Secondary scrambling encryption flow chart of S signal.

圖6 圖像重構流程圖Fig.6.Image reconstruction flow chart.

圖7 Lena圖像的明文圖像、重構圖像 (a)原始圖像;(b) Lena重構圖像Fig.7.Original,reconstructed image of Lena：(a) Original image; (b) reconstructed image.

圖8 更多加密方案運行實例 (a) Pepper原始圖像;(b) Pepper重構圖像; (c) Cameraman原始圖像; (d) Cameraman重構圖像Fig.8.More encryption scheme running examples：(a) Original image of Pepper; (b) reconstructed image of Pepper;(c) original image of Cameraman; (d) reconstructed image of Cameraman.

3.2 相關性分析

在密碼學中,混淆(confusion)與擴散(diffusion)是加密文件的兩種主要方法.對于一般的數(shù)字圖像,其相鄰像素點之間會表現(xiàn)出很高的相關性,然而,對于一幅理想的密文圖像,其相鄰像素點之間應該不具有任何相關性,即各方向上相鄰像素點間的相關系數(shù)為0.因此,密文圖像在各方向上相鄰像素點間的相關系數(shù)可以作為評價一個圖像加密算法優(yōu)劣的重要指標.

一般在水平方向、垂直方向和斜線方向來計算一幅數(shù)字圖像相鄰像素點間的相關系數(shù),相關系數(shù)R的計算公式如下：

表2列出了本文所使用的三幅圖像的S信號在加密前后在三個方向上的相關系數(shù).此外,表2中還列出了參考文獻[16,17]中的明文圖像(S信號)、密文圖像對應的三個方向上的相關系數(shù)作為對比.其中,每一項絕對值最小的相關系數(shù)已用藍色粗體標出.

此外,為更加直觀地表示數(shù)字圖像相鄰像素點間的相關性,本文引入了數(shù)字圖像的相關性分布圖,Lena,Pepper,Cameraman的明文圖像(S信號)、密文圖像在三個方向上的相關性分布圖如圖9-圖11所示.

結合表2中數(shù)據(jù)及相關性分布圖可知,經由本文加密算法得到的密文圖像的像素點在三個方向上均近似地表現(xiàn)為隨機分布,有效地對明文圖像進行了置亂.同時,比較由本文算法與參考文獻[16,17]的算法得到的密文圖像的相關系數(shù),由表2中的數(shù)據(jù)可以直觀地看到,本文的加密算法相較于參考文獻[16,17]中的加密算法使得圖像的像素點更趨近于理想的隨機分布,增強了保密性.

表2 比較不同加密方案的相關系數(shù)Table 2.Comparisons for the correlation coefficients of different encryption scheme.

圖9 Lena圖像的明文(S信號)、密文圖像在水平、豎直、斜線三個方向的相關分布圖 (a)明文圖像相關分布圖; (b) S信號的密文圖像相關分布圖Fig.9.Correlation distribution of plaintext,ciphertext image in horizontal,vertical and oblique directions of S signal of Lena：(a) Correlation distribution of plaintext of S signal; (b) correlation distribution of ciphertext of S signal.

3.3 信息熵分析

信息熵反映了一幅數(shù)字圖像所包含的信息的不確定性.對于一幅數(shù)字圖像而言,其信息熵越大,表示其所包含的信息的不確定性越大,數(shù)字圖像的信息熵的定義式如下：

其中,L表示一幅圖像的灰度等級,p(i)表示灰度值i出現(xiàn)的概率.對于一幅灰度等級L=256的密文圖像而言,IE的理論值為8,在這種情況下,該密文圖像在未經解密的情況下將不會泄露任何有用信息.表3記錄了三種加密方案下三幅圖像的明文圖像 (S信號)、密文圖像的信息熵,每幅密文圖像對應的最大信息熵已用藍色粗體標出.

觀察表3中的數(shù)據(jù)(“-”表示相同數(shù)值),三種加密方案下密文圖像的信息熵均接近理想值8,本文所提出的加密算法在加密Lena,Pepper的S信號時均得到了最大的信息熵值.此外,Cameraman的S信號經由本文加密算法處理得到的密文圖像的信息熵數(shù)值也是十分接近最大值的.因此,可以認為本文的加密方案能夠較好地對明文圖像(S信號)的像素點進行置亂,掩蓋明文圖像信息.

圖10 Pepper圖像的明文(S信號)、密文圖像在水平、豎直、斜線三個方向的相關分布圖 (a)明文圖像相關分布圖; (b) S信號的密文圖像相關分布圖Fig.10.Correlation distribution of plaintext,ciphertext image in horizontal,vertical and oblique directions of S signal of Pepper：(a) Correlation distribution of plaintext of S signal; (b) correlation distribution of ciphertext of S signal.

圖11 Cameraman圖像的明文(S信號)、密文圖像在水平、豎直、斜線三個方向的相關分布圖 (a)明文圖像相關分布圖;(b) S信號的密文圖像相關分布圖Fig.11.Correlation distribution of plaintext,ciphertext image in horizontal,vertical and oblique directions of S signal of Cameraman：(a) Correlation distribution of plaintext of S signal; (b) correlation distribution of ciphertext of S signal.

表3 比較不同加密方案的信息熵Table 3.Comparisons for the entropy of different encryption scheme.

3.4 直方圖分析

灰度直方圖(histogram)是灰度級的函數(shù),它表示圖像中具有每種灰度級的像素的個數(shù),反映圖像中每種灰度出現(xiàn)的頻率[18].一般而言,灰度直方圖的橫坐標是灰度級,縱坐標是該灰度級出現(xiàn)的頻率,它是圖像的最基本的統(tǒng)計特征[7].本節(jié)將基于圖像的S信號對應的明文、密文的直方圖,對本文的加密算法進行評價,各圖像對應的灰度直方圖如圖12所示.

觀察圖12可以發(fā)現(xiàn),本文的加密算法對明文圖像的灰度分布進行了一個較好的均衡過程,使得密文圖像的灰度值比較均勻地分布于整個灰度值區(qū)間上,隱藏了明文圖像的灰度分布特性.

3.5 差分攻擊分析[19]

差分攻擊分析是密碼分析領域最常用的一種破譯手段,這種方法通過對明文進行輕微修改以獲得相應的密文,并通過修改后的密文與原密文之間的差異聯(lián)系來破譯密碼系統(tǒng).本節(jié)中通過引入像素改變率(number of pixel change rate,NPCR)、一致平均改變密度(unified average changing intensity,UACI)、塊平均改變密度(block average changing intensity,BACI)等三個指標定量分析加密方案抵抗差分攻擊的性能.

圖12 Lena,Pepper,Cameraman圖像的S信號的明文、密文的灰度直方圖 (a) S信號的明文灰度直方圖; (b) S信號的密文圖像相關分布圖Fig.12.Gray histogram of plaintext and ciphertext of S signal of Lena,Pepper,Cameraman：(a) Gray histogram of plaintext of S signal; (b) gray histogram of plaintext of ciphertext of S signal.

設P1,P2是兩幅僅有一位像素點不同的密文圖像,定義密文圖像P1,P2的NPCR如下：

其中P1(i,j)為密文圖像P1中位置(i,j)處的像素值,P2(i,j)為密文圖像P1中位置(i,j)處的像素值,Sign(·)為符號函數(shù),其函數(shù)表達式如下：

對于兩幅尺寸相等,灰度級為255的隨機圖像,這兩幅圖像在一點處的像素值相等的概率反之不同的概率且由于點的選取的任意性,可將兩幅圖像的NPCR的期望值近似為

然而,若兩幅圖像在每個對應位置處的像素值均只有微小差別,此時雖然兩幅圖像的NPCR為理想值,但是兩幅圖像在視覺上的差別較小,這說明以NPCR作為衡量兩幅圖像差別的指標具有片面性.因此,本文引入UACI來彌補這一不足,UACI定義為

然而,當NPCR=1,UACI≈0.3346 (理論值)時,兩幅圖像仍有可能出現(xiàn)近似的效果,故本文再引入BACI來解決這一問題,BACI定義式如下：

其中,mi由下式定義：

(13)式中,di1,di2,di3,di4是矩陣中的元素,而矩陣Di是由矩陣D=|P1- P2|分解成的(M-1)×(N-1)個尺寸為2×2的子矩陣得到的,分析可得BACI的理論值為0.2840.針對不同圖像計算的NPCR,UACI,BACI的數(shù)值在表4中列出.

表4 修改1 bit像素點后不同圖像(S信號)的NPCR,UACI,BACITable 4.NPCR,UACI,BACI of different images after changed 1 bit.

由表4中數(shù)據(jù)可知,在一定的誤差范圍內,針對Lena,Pepper,Cameraman圖像的NPCR,UACI,BACI的數(shù)值均接近指標的理想值,這說明本文所提出的加密算法能夠較好地抵御差分攻擊.

3.6 魯棒性分析

對于數(shù)字圖像加密方案而言,噪聲與非法攻擊一直是影響圖像重構質量的首要因素,因此本節(jié)將基于三幅圖像,通過向密文圖像引入噪聲及裁剪像素的方式分析本文加密方案的魯棒性.

圖13顯示了向三幅圖像對應的S信號密文中嵌入密度為0.05的椒鹽噪聲后,以帶噪聲的密文圖像為基礎對圖像進行重構的結果.圖14顯示了對三幅圖像的S信號的密文進行像素剪切,以裁剪后的密文圖像為基礎對圖像進行重構的結果.為突出差異性,本文采用了兩種形狀的剪切,使得密文圖像以不同的形狀丟失了大約12.5%的像素值.對比受到噪聲污染或剪切攻擊的重構圖像與正常情況下的重構圖像(與圖6、圖7對比),盡管噪聲污染和剪切攻擊在最終的重構圖像上產生了一定的影響,但是算法仍能夠保證圖像的基本信息不被損壞,即圖像的布局和輪廓信息依然是可見的,這說明本文所提出加密方案能夠抵抗一定程度的噪聲污染及剪切攻擊.

3.7 選擇明文攻擊分析

在密碼學中,一個合格的加密算法至少能夠抵抗選擇明文攻擊(chosen plain-text attack,CPA)[20,21],本節(jié)將通過一個簡單的過程來驗證本文的加密算法能夠抵御選擇明文攻擊.

圖13 不同圖像的S信號嵌入噪聲后的重構結果 (a) Lena原始圖像、嵌入噪聲的S信號密文、重構圖像; (b) Pepper原始圖像、嵌入噪聲的S信號密文、重構圖像; (c) Cameraman原始圖像、嵌入噪聲的S信號密文、重構圖像Fig.13.Reconstruction results of S signals of different images embedded with noise：(a) Reconstruction results of Lena with corresponding Cipher S signal embedded noise; (b) reconstruction results of Pepper with corresponding Cipher S signal embedded noise;(c) reconstruction results of Cameraman with corresponding Cipher S signal embedded noise.

定義P1為像素點全部為0的灰度圖像,P2為僅一個像素點與P1不同的灰度圖像,且P1,P2的尺寸相同.使用本文提出的加密算法對P1,P2分別進行加密得到其對應的密文圖像C1,C2.此時,定義P3=| P1- P2|,C3=|C1- C2|,上述6幅圖像如圖15所示.

由圖15可知,在使用本文加密算法對圖像加密的前提下,外界無法通過選擇明文攻擊從而獲取任何有效信息,進一步說明了本文加密方案的有效性.

3.8 圖像重構質量分析

圖像的重構質量是判斷一種圖像處理算法是否合格的重要指標,本文所提出的加密方案在壓縮與重構、加密與解密兩個環(huán)節(jié)中均對圖像進行了較多的處理和干預,因此,本節(jié)通過引入一些數(shù)值指標作為根據(jù)來衡量本文加密方案的圖像重構質量.

權重峰值信噪比(weighted peak signal to noise ratio,wPSNR)是用于衡量圖像重構質量的有力指標,wPSNR的定義式如下：

其中,wMSE被稱為權重均方差 (weighted mean squared error),其表達式如下：

其中,f(x,y),f′(x,y) 分別表示原始圖像、重構圖像在(x,y)位置處的像素值,w(x,y)表示圖像位于(x,y)處的像素點所在子帶的權重系數(shù).

圖14 不同圖像的S信號像素剪切后的重構結果 (a) Lena原始圖像、剪切12.5%像素點后的S信號密文、重構圖像;(b) Pepper原始圖像、剪切12.5%像素點后的S信號密文、重構圖像; (c) Cameraman原始圖像、剪切12.5%像素點后的S信號密文、重構圖像Fig.14.Reconstruction results of S signals of different images after pixel shearing：(a) Reconstruction results of Lena with corresponding Cipher S signal with 12.5% pixels lost; (b) reconstruction results of Pepper with corresponding Cipher S signal with 12.5%pixels lost; (c) reconstruction results of Cameraman with corresponding Cipher S signal with 12.5% pixels lost.

圖15 針對本文加密算法的選擇明文攻擊Fig.15.The CPA against the encryption algorithm in this paper.

除此之外,本節(jié)還引入了結構相似度(structural similarity,SSIM)[19]這一指標來衡量圖像質量的損壞程度,通過計算原始圖像以及重構后圖像的SSIM予以評價,SSIM的定義式為：

表5列出了在壓縮比為4∶3時,三幅圖像的原始圖像及重構圖像的wPSNR和SSIM.分析表中的結果可知,本文提出的圖像加密方案在允許的誤差范圍下能夠較好地對圖像進行重構.當然,對于Cameraman這類帶有純色背景的圖像,其重構效果從會差于具有像Lena,Pepper這類包含更復雜的結構、信息的圖像.

表5 本文算法處理下不同圖像的wPSNR和SSIMTable 5.wPSNR and SSIM of different images after processed by scheme in this paper.

3.9 時間復雜度分析

在計算機科學中,算法的時間復雜度是一個函數(shù),它定性地描述了一個算法的運行時間.因此,算法的時間復雜度也是衡量一個算法整體性能的必不可少的指標.使用本文加密方案處理三幅圖像所耗時間如表6所示.

由表6中數(shù)據(jù)可知,在使用本文的圖像加密算法處理不同的圖像時,除針對Ci信號的壓縮及重構過程的耗時存在較大波動外,其余階段的耗時均處在一個相對穩(wěn)定的水平.分析可知在對Ci信號的壓縮及重構過程中,算法時間復雜度與Ci信號的數(shù)量表現(xiàn)為正相關的關系,在一定程度上會降低算法的運行效率,這是需要進一步研究并解決的問題.綜上所述,本文算法在處理尺寸中等或偏小的圖像時,算法效率較高,若圖像的Ci信號數(shù)量較多,算法效率會降低.

表6 本文算法處理不同圖像時的時間復雜度Table 6.Algorithm proposed deals with the time complexity of different images.

4 總 結

本文提出了一種基于壓縮感知及多維混沌系統(tǒng)的圖像加密方案,通過引入多維混沌系統(tǒng)有效地增強了密文圖像的可靠性,使其相關系數(shù)以及信息熵等反映密文圖像保密性能的指標更趨近于理想值.此外,本文引入新興的壓縮感知理論,將其運用在圖像的壓縮處理階段,有效地減少了包括加密數(shù)據(jù)量以及運行時間在內的算法整體的運行成本,提高了算法的可行性.除此之外,本文借助包括閾值處理及分類處理等圖像的預處理算法也充分提高了算法的運行效率,使得算法運行的時間成本保持在較低水平.在實驗驗證環(huán)節(jié),本文通過對三幅圖像的處理,結合實驗結果驗證了本文所提出的算法的可行性及進步性,同時也為壓縮感知理論與混沌理論的結合在信息安全領域應用提供了一定的參考.