羅文軍

2019年高考全國Ⅱ卷理科第21題是一道圓錐曲線試題，圓錐曲線試題出現(xiàn)在壓軸題的位置，打破了歷年全國Ⅱ卷導數(shù)試題作為壓軸題的套路，體現(xiàn)了高考試題“大穩(wěn)定，小創(chuàng)新”的特色，這道試題是一道圓錐曲線的軌跡、定值、最值問題，考查了曲線的軌跡方程的求法、橢圓的標準方程、直線與橢圓的位置關系，考查了數(shù)形結合的思想、函數(shù)與方程的思想、化歸與轉化的思想，考查了考生的運算求解能力和推理論證能力，旨在考查考生的數(shù)學運算和邏輯推理的核心素養(yǎng). 這道試題第（1）問較簡單，第（2）問的第（i）問和第（ii）問難度較大，三問之間難度具有很好的梯度性，具有很好的區(qū)分度和選拔功能. 本文對這道試題進行解法探究、變式探究和源頭探究.

四、圓錐曲線備考建議

1. 回歸課本，夯實基礎，構建知識網絡

近幾年內高考數(shù)學試題遵循“大穩(wěn)定，小創(chuàng)新”的方針，重視基礎知識和基本技能的考查. 同時，通過上面對圓錐曲線真題的源頭探究，發(fā)現(xiàn)2019年全國Ⅱ卷理科第21題源自課本. 因此回歸課本應貫穿圓錐曲線復習的自始至終. 因為課本是數(shù)學知識“生長地”，課本是高考復習的“根據地”，課本是高考試題的“策源地”，回歸課本是高考復習的起點，研課本，就是要看考題與課本的關系，從高考的要求出發(fā)，把課本熟化，公式定理能信手拈來，基本題型能“借題發(fā)揮”. 在回歸課本的基礎上，要著重強化對知識的梳理、優(yōu)化知識結構、構建知識網絡.

2. 注重通性通法

高考中解析幾何試題通常是對常見題型進行加工改編，通過對基礎知識的整合、變式和拓展，從而加工為高立意、新情境、巧設問的解析幾何問題，堅持新題不難，難題不怪的命題方向. 這要求學生要通過高中學習掌握基礎知識、基本概念、基本技能和基本數(shù)學思想的應用，通過對教材中基本例習題的變通，積累一些常規(guī)基本問題的解法，反復體會其中蘊含的思維方法. 把解題方法提高到數(shù)學思想的高度，提高分析和解決綜合問題的能力. 例如，對于圓錐曲線解答題中三角形的面積的最值問題，通常要運用到弦長公式和基本不等式;對于圓錐曲線的中點弦問題，要優(yōu)先考慮點差法;對于求橢圓離心率的題目，大多要利用數(shù)形結合法，結合橢圓的定義求解. 對于拋物線的焦點弦和焦半徑問題，要根據焦點弦公式和焦半徑公式，結合拋物線定義求解. 在求橢圓的弦長時，利用弦長公式，運用設而不求的方法.

3. 提高數(shù)學運算求解能力，發(fā)展數(shù)學運算的核心素養(yǎng)

高考數(shù)學答卷中反映出的問題之一是部分考生的運算求解能力差，是最頭疼的事，有的考生思路的很好，但運算過不了關，一道圓錐曲線解答題從一開始計算就錯，而自己沒有自查能力，一直錯到底，多么可怕呀. 閱卷規(guī)則要求從錯誤解答開始的后面的步驟不能給分，而出錯的原因往往很簡單，就是諸如一個正負號問題，直線方程和圓錐曲線方程聯(lián)立化簡整理時出錯，太可惜.數(shù)學運算能力的培養(yǎng)不僅僅是高三復習的事，應該貫穿于高中數(shù)學教學的始終. 特別是解析幾何解答題，綜合性強，代數(shù)推理要求高，運算求解能力要求高，繁雜和冗長的計算是必不可少的，因此要通過強化數(shù)學思想方法，特別是函數(shù)與方程、數(shù)形結合、等價轉化、分類討論等引導學生理解算理，從而提高學生運算求解能力，發(fā)展數(shù)學運算核心素養(yǎng).

4. 研歷年高考真題，體會命題專家的命題思路

歷年高考試題不僅具有選拔功能，還具有很好的教育功能.高考試題凝結了命題專家的智慧與匠心，具有較強的原創(chuàng)性與指導意義，有利于考查學生的探究意識與創(chuàng)新精神. 從上面探源發(fā)現(xiàn)，2019年全國Ⅱ卷理科第21題第（2）問的第（i）問源自是江蘇省2011年高考數(shù)學第18題（3）問. 每年高考過后，可以發(fā)現(xiàn)當年的部分高考試題是往年真題的同類題或“翻版”，因此，在平時的教學中，對高考試題進行適當發(fā)散研究，不僅可以理清脈絡，把握高中數(shù)學主干知識，避免高三復習的隨意性、盲目性，而且可以有效訓練學生的思維，提高探究能力，培養(yǎng)創(chuàng)新意識.

5. 重視新增知識，關注知識交匯

對新增的伸縮變換、極坐標與參數(shù)方程等知識，要引起足夠的重視，比如，前面真題第（2）問的第（i）問的證法4就是用伸縮變換做的，第（2）問的第（ii）問的解法2運用了參數(shù)方程的思想. 在高考中，如果沒想到其他方法破解圓錐曲線解答題，選用參數(shù)方程法，也是很好的. 同時，要關注知識交匯，從歷年高考試題來看，有時，解析幾何真題也與導數(shù)、不等式、三角函數(shù)等交匯，也充分體現(xiàn)了考試中心提出的“應更多地從知識網絡的交匯點上設計題目，從學科的整體意義、思想含義上考慮問題”的思想.

責任編輯 徐國堅