孫思?jí)?趙前進(jìn)

（安徽理工大學(xué)數(shù)學(xué)與大數(shù)據(jù)學(xué)院 安徽淮南 232001）

在工程實(shí)踐和自然科學(xué)等研究領(lǐng)域中，我們經(jīng)常會(huì)遇見(jiàn)有極點(diǎn)的奇異函數(shù)和大量的無(wú)規(guī)則的數(shù)據(jù)的計(jì)算問(wèn)題。連分式有理插值無(wú)疑是為這些問(wèn)題的近似解提供了有效的解決途徑之一。前人在研究這方面做了巨大貢獻(xiàn)[1-13]。文獻(xiàn)[5]給出了二元對(duì)角向量有理插值，在主對(duì)角線和副對(duì)角線上進(jìn)行二元向量值有理插值，分別給出了兩種計(jì)算方法：一是直接計(jì)算二元對(duì)角向量值有理插值，二是通過(guò)Samelson逆計(jì)算的一種特殊的初等運(yùn)算，構(gòu)造出一種矩陣算法。文獻(xiàn)[6]是給出的二元向量有理插值在矩形網(wǎng)格上充要條件的問(wèn)題。即根據(jù)給定的數(shù)據(jù)解方程組，直接檢驗(yàn)出相關(guān)插值的存在性，從而構(gòu)造出對(duì)應(yīng)的二元向量值有理插值的表達(dá)式，利用二元分支向量值連分式和二元向量值有理插值函數(shù)的Samelson逆，得出的表達(dá)式與傳統(tǒng)的二元分支向量值連分式相比更直接。

一、向量的廣義逆

設(shè)R2中的點(diǎn)集為Πm，n對(duì)應(yīng)的d維向量集為

=(V*為V的共軛向量)

||為向量的模

則可驗(yàn)證出向量V→的Samelson逆向量所具有的性質(zhì)：

二、二元非張量積型連分式插值

二元有理插值是一元有理插值問(wèn)題的擴(kuò)展，同時(shí)它比一元有理插值的情形繁瑣的多。而且二元多項(xiàng)式P(x，y)=pijxiyj的次數(shù)，可有兩個(gè)不同的定義，一個(gè)是另一個(gè)是分別關(guān)于x和y定義次數(shù)。這樣多項(xiàng)式的集合分別是Pk和Pm，n。在討論插值問(wèn)題時(shí)應(yīng)該明白是在什么情況下的插值。

設(shè)f(x，y)為定義在平面有界區(qū)域D上的連續(xù)函數(shù)，{x0，x1，…}和{y0，y1…}為實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)點(diǎn)列，求二元有理分式函數(shù)其中N(x，y)∈Pn，M(x，y)∈Pm，使之滿足插值條件0，1，…n1；j=0，1…n2)。

插值系數(shù)滿足ci=φ0，…i=φ[x0，…，xi；y0，…，yi]，i=0，1…，n

其中系數(shù)算法如下：

三、預(yù)給極點(diǎn)的二元向量連分式插值

設(shè)向量(x0，y0)，(x1，y1)，…，(xn，yn)是在區(qū)間[a，b]上的n+1個(gè)不同的插值節(jié)點(diǎn)，v(i)=v(xi，yi)，i=0，1，…，n是被插值向量函數(shù)v(x，y)在這些節(jié)點(diǎn)處對(duì)應(yīng)的向量值。

Ω=是向量值函數(shù)v(x，y)的預(yù)給極點(diǎn)，v(x，y)預(yù)給的p(p=個(gè)極點(diǎn)用(aj，bj)(j=1，2，…，s)表示，重?cái)?shù)記作kj(j=1，2，…，s)。根據(jù)Berrut提出的處理預(yù)給極點(diǎn)的重心有理插值方法[13]，如下：

進(jìn)而得到預(yù)給極點(diǎn)的二元向量有理插值

四、數(shù)值例子

對(duì)應(yīng)函數(shù)值分別為：

顯然重?cái)?shù)d(x，y)=(x-1)2+(y-1)2，則=d(xi，yi)f(xi，yi)，i=0，1，2，3

基于向量的Samelson逆，根據(jù)上文中的二元非張量積型連分式系數(shù)的算法算出系數(shù)：

得到二元非張量積型連分式插值函數(shù)為：

從而

利用文獻(xiàn)[3]中陳歡歡提供的二元對(duì)角向量值有理插值計(jì)算方法，選取五個(gè)插值節(jié)點(diǎn)(x0，y0)=(0，0)，(x1，y1)=(0.5，0.5)，(x2，y2)=(0.75，1.25)，(x3，y3)=(1.25，0.75)，(x4，y4)=(1，1)其中f(x)在(1，1)處的向量值是無(wú)窮大。基于Samelson逆計(jì)算出滿足插值條件的二元向量有理插值函數(shù)

兩種插值方法分別在點(diǎn)(0.75，0.95)和 (0.85，0.95)處進(jìn)行誤差比較如表1所示。

表1 兩種插值方法的誤差對(duì)比

由表1中的誤差分析比較結(jié)果來(lái)看，本文中所給出的非張量積型插值函數(shù)方法構(gòu)造出的插值顯然在極點(diǎn)(x，y)=(1，1)然附近相對(duì)誤差較小，而且極點(diǎn)的重?cái)?shù)保持不變，說(shuō)明了本文所給出方法的可行性。

五、結(jié)語(yǔ)

本文研究的是預(yù)給極點(diǎn)的二元連分式插值，方法是通過(guò)預(yù)給極點(diǎn)的位置和重?cái)?shù)，將預(yù)給極點(diǎn)的向量值插值轉(zhuǎn)化為無(wú)預(yù)給極點(diǎn)的向量值插值，然后基于Samelson逆分別構(gòu)造出一個(gè)二元向量非張量積型插值函數(shù)和一個(gè)二元對(duì)角向量值有理插值，不僅有預(yù)給的極點(diǎn)，而且極點(diǎn)保持了原有的重?cái)?shù)，并且通過(guò)數(shù)值例子，比較兩類插值算法的相對(duì)誤差，二元非張量積型插值函數(shù)的相對(duì)誤差更小，說(shuō)明了其算法的有效性。