嚴(yán)天珍 李平

摘?要：齊次式不僅能體現(xiàn)數(shù)學(xué)的對(duì)稱美與和諧美，而且在解題過程中若能把非齊次式轉(zhuǎn)化為齊次式就可以達(dá)到化繁為簡(jiǎn)，事半功倍的效果.因此，在高中數(shù)學(xué)解題中，應(yīng)用已知條件將代數(shù)式轉(zhuǎn)化為齊次式以達(dá)到化簡(jiǎn)求解、推導(dǎo)證明是解決一些數(shù)學(xué)問題的重要方法.

關(guān)鍵詞：齊次式;方法;解題;應(yīng)用

1?問題提出

突出數(shù)學(xué)主線，凸顯數(shù)學(xué)的內(nèi)在聯(lián)系和思想方法，優(yōu)化課程結(jié)構(gòu)，是高中數(shù)學(xué)課程的基本理念之一;同時(shí)，倡導(dǎo)基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)、以思想方法為線索的方法類教學(xué)設(shè)計(jì)，亦將成為中學(xué)教師研修的重要方向.回顧現(xiàn)行高中數(shù)學(xué)教材體例及近年高考試題發(fā)現(xiàn)，除“函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合、分類討論”等重要數(shù)學(xué)思想方法之外，“齊次化思想方法”在高中數(shù)學(xué)內(nèi)容編排及考試評(píng)價(jià)中也多有呈現(xiàn);但緣于該思想方法在高中數(shù)學(xué)內(nèi)容中分布的零散性和知識(shí)本身的邊緣性，致使學(xué)生不能以整體的視野去整合與該思想相關(guān)的內(nèi)容，更難將該思想方法順利遷移到相關(guān)的解題中去.為此，筆者擬在簡(jiǎn)析齊次化思想方法的基礎(chǔ)上，以齊次化思想方法為線索，在整體思維的指導(dǎo)下對(duì)高中數(shù)學(xué)中與齊次化思想方法有內(nèi)在關(guān)聯(lián)性的內(nèi)容進(jìn)行示例分析，以期拋磚引玉.

2?思想概述

數(shù)學(xué)思想方法是思考數(shù)學(xué)問題和從數(shù)學(xué)角度思考問題的思想和方法，是長(zhǎng)期的數(shù)學(xué)發(fā)展所積累的文化靈魂;它不僅是人們對(duì)數(shù)學(xué)理論和內(nèi)容的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，而且也是數(shù)學(xué)思想具體化、程序化、可操作的具體表現(xiàn)形式.為深入了解齊次化思想方法，我們先了解一個(gè)基本概念：

若多項(xiàng)式函數(shù)p（x，y，…，z）=A1xk1yl1…zq1+A2xk2yl2…zq2+…+Atxktylt…zqt的所有項(xiàng)有相同的次數(shù)n，即k1+l1+q1=k2+l2+q2=…=kt+lt+…+qt=n，則這個(gè)函數(shù)稱為n次齊次多項(xiàng)式.

若上述函數(shù)p（x，y，…，z）=0，則這樣的方程稱為關(guān)于x，y，…，z的n次齊次方程;若上述函數(shù)p（x，y，…，z）>0，則這樣的不等式稱為關(guān)于x，y，…，z的n次齊次不等式.現(xiàn)將齊次多項(xiàng)式、齊次方程、齊次不等式統(tǒng)稱為齊次式.

齊次式不僅能體現(xiàn)數(shù)學(xué)的對(duì)稱美與和諧美，并且在解題過程中，若能把非齊次式轉(zhuǎn)化為齊次式就可以達(dá)到化繁為簡(jiǎn)、事半功倍的效果.因此，在高中數(shù)學(xué)解題中，應(yīng)用已知條件將代數(shù)式轉(zhuǎn)化為齊次式以達(dá)到化簡(jiǎn)求解、推導(dǎo)證明的具體化、程序化、可操作的過程，我們稱為齊次化思想方法.

3?應(yīng)用舉例

研究發(fā)現(xiàn)，有關(guān)齊次式的問題經(jīng)常出現(xiàn)在三角求值、解三角形、不等式證明、圓錐曲線綜合、二元函數(shù)求值、數(shù)列綜合等章節(jié)里，掌握齊次化思想方法對(duì)處理這些常見的齊次問題非常重要.

3.1?齊次化思想方法在三角函數(shù)中的應(yīng)用

例1?已知tanθ=-13，計(jì)算：

（1）（人教A版數(shù)學(xué)必修④71頁第4（2）題）12sinθcosθ+cos2θ;

（2）（2016年全國(guó)Ⅲ卷文科第6題）cos2θ.

解?（1）因?yàn)閠anθ=-13，所以12sinθcosθ+cos2θ=sin2θ+cos2θ2sinθcosθ+cos2θ=tan2θ+12tanθ+1=（-13）2+12×（-13）+1=103.

（2）cos2θ=cos2θ-sin2θ=cos2θ-sin2θsin2θ+cos2θ=1-tan2θ1+tan2θ=1-（-13）21+（-13）2=45.

評(píng)析?利用同角三角函數(shù)關(guān)系sin2θ+cos2θ=1構(gòu)造關(guān)于sinθ與cosθ的二次齊次式是解答本題的突破口.

3.2?齊次化思想方法在解三角形中的應(yīng)用

例2?（2017年全國(guó)Ⅰ卷文科第11題）ΔABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知sinB+sinA·（sinC-cosC）=0，a=2，c=2，求C.

解?因?yàn)閟inB+sinA·（sinC-cosC）=0，所以sinB+sinAsinC-sinAcosC=0.

構(gòu)造關(guān)于sinA，cosA，sinC，cosC的二次齊次式得.

sin（A+C）+sinAsinC-sinAcosC=0.

則sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC-sinAcosC=0.

即tanA=-1，故A=3π4.

再由正弦定理得sinC=csinAa=2×222=12.

所以C=π6.

評(píng)析?三角恒等變換是解三角形問題中的核心步驟，齊次化思想無疑能為解決此類問題提供思想方法上的指引.

3.3?齊次化思想方法在不等式證明中的應(yīng)用

例3?（第5個(gè)優(yōu)美不等式）設(shè)x，y，z為正實(shí)數(shù)，且滿足x+y+z=1，求證：xx+yz+yy+xz+zz+xy≤94.

證明?因?yàn)閤+y+z=1，故xx+yz分母齊次化xx（x+y+z）+yz=x（x+y）（x+z）;

同理yy+xz=y（x+y）（y+z）;zz+xy=z（x+z）（y+z）.

于是xx+yz+yy+xz+zz+xy

=x（x+y）（x+z）+y（x+y）（y+z）+z（x+z）（y+z）

=x（y+z）+y（x+z）+z（x+y）（x+y）（x+z）（y+z）

=2（xy+xz+yz）（x+y）（x+z）（y+z）

分式齊次化2（xy+xz+yz）（x+y+z）（x+y）（x+z）（y+z）.

從而原不等式2（xy+xz+yz）（x+y+z）（x+y）（x+z）（y+z）≤94.

9（x+y）（x+z）（y+z）≥8（xy+xz+yz）（x+y+z）y2z+x2z+yz2+x2y+xz2+xy2≥6xyz

xy+yx+zx+xz+zy+yz≥6.（*）

由基本不等式及不等式的同向可加性知（*）式顯然成立，即原式得證.

評(píng)析?根據(jù)題設(shè)對(duì)不等式中的各項(xiàng)局部齊次化或整體齊次化，再輔以分析法做恒等變形，即可證得上式.

3.4?齊次化思想方法在圓錐曲線中的應(yīng)用

例4?（2017年全國(guó)Ⅰ卷理科第20題）已知橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0），四點(diǎn)P1（1，1），P2（0，1），P3（-1，32），P4（1，32）中恰有三點(diǎn)在橢圓C上.

（1）求C的方程;

（2）設(shè)直線l不經(jīng)過點(diǎn)P2且與C相交于A，B兩點(diǎn).若直線P2A與直線P2B的斜率的和為-1，證明：l過定點(diǎn).

解?（1）x24+y2=1（過程略）;

（2）作平移變換φ：x′=x，y′=y-1.

則在平移變換φ：x′=xy′=y-1 下，點(diǎn)P2（0，1）變成點(diǎn)P′2（0，0），橢圓x24+y2=1變成橢圓x′24+（y′+1）2=1，直線AB變成A′B′.

設(shè)lA′B′：mx′+ny′=1，

聯(lián)立mx′+ny′=1，x′24+（y′+1）2=1， 齊次化得x′24+（y′+mx′+ny′）2=（mx′+ny′）2.

即有x′2+8mx′y′+4（2n+1）y′2=0.

兩邊同時(shí)除以x′2得，

4（2n+1）（y′x′）2+8m·y′x′+1=0.

根據(jù)韋達(dá)定理有，kP2 A ?+ kP2 B ?= kP′2A′ + kP′2B′=-8m4（2n + 1） =-1，即m=n+12.

所以lA′B′：（n+12）x′+ny′=1.

顯然直線A′B′過定點(diǎn)（2，-2）.

所以直線AB過定點(diǎn)（2，-1）.

評(píng)析?用解析法研究圓錐曲線問題，解題思路看似簡(jiǎn)單，但運(yùn)算過程對(duì)學(xué)生無疑是一種挑戰(zhàn).巧構(gòu)二次齊次式不僅能簡(jiǎn)化運(yùn)算過程，而且能為解決此類問題提供新的解題視角.

3.5?齊次化思想方法在求函數(shù)值域中的應(yīng)用

例5?（2006年安徽省競(jìng)賽題）若x，y為實(shí)數(shù)，且x2+xy+y2=3，求x2-xy+y2的最大值和最小值.

解?令t=x2-xy+y2，則x2-xy+y2t=1.

因?yàn)閤2+xy+y2=3，所以可得關(guān)于x，y的齊次式x2-xy+y2t=x2+xy+y23.

即（t-3）y2+（t+3）xy+（t-3）x2=0.

①當(dāng)x=0時(shí)，則有y2=3，t=3;

②當(dāng)x≠0時(shí)，則有（t-3）（yx）2+（t+3）yx+（t-3）=0.

因?yàn)閥x∈R，所以Δ=（t+3）2-4（t-3）2≥0，即1≤t≤9.

綜上，tmin=1，tmax=9.

評(píng)析?二元函數(shù)條件最值問題是高中數(shù)學(xué)中的常見問題，也是各類競(jìng)賽中的熱點(diǎn)問題.在形如“已知實(shí)數(shù)x，y滿足ax2+bxy+cz2=d（d≠0）條件下，求二元函數(shù)f（x，y）=ux2+vxy+wy2的值域”問題，我們首先可以構(gòu)造關(guān)于x，y的二次齊次式，再恒等變形為關(guān)于yx的一元二次方程，進(jìn)而根據(jù)判別式法求得此類二元函數(shù)的值域.

3.6?齊次化思想方法在數(shù)列綜合中的應(yīng)用

例6?（2012年全國(guó)Ⅱ卷理科第22題）函數(shù)f（x）=x2-2x-3，定義數(shù)列{xn}如下：x1=2且2≤xn

解?由題意可得0-5=f（xn）-5xn-4（xn+1-4）.

即有xn+1xn=-2xn+1+4xn+3.

作變換xn=an+3使上式局部齊次化得，

an+1an=-5an+1+an.

兩邊同除以an+1an得，

1an+1-5·1an=1，即有1an+1+14=5（1an+14）.

所以數(shù)列1an+14是首項(xiàng)為-34，公比為5的等比數(shù)列.

因此1an+14=-34·5n-1，即an=-43·5n-1+1.

從而解得xn=3-43·5n-1+1.

評(píng)析?此題作為當(dāng)年高考的壓軸題不可謂不難，初看確實(shí)讓考生難以入手.若能將遞推公式xn+1xn=p1xn+1+p2xn+q局部齊次化為an+1an=pan+1+qan，則此題自然迎刃而解.通過思想方法引領(lǐng)，定能使解題做到水到渠成，深入淺出.

4?一點(diǎn)思考

數(shù)學(xué)思想方法既是數(shù)學(xué)教學(xué)的靈魂，也是數(shù)學(xué)教學(xué)的精髓.因此，在高三復(fù)習(xí)備考中，凸顯數(shù)學(xué)的思想方法與特定知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，設(shè)計(jì)以思想方法為線索的方法類教學(xué)設(shè)計(jì)，把一些看似無關(guān)處于“游離”狀態(tài)的零散知識(shí)點(diǎn)通過思想方法有機(jī)地串聯(lián)在了一起，既構(gòu)建了相關(guān)知識(shí)間的結(jié)構(gòu)體系，也拓寬了學(xué)生的解題視野，從而讓數(shù)學(xué)思想方法有效推動(dòng)具體知識(shí)內(nèi)容的教學(xué)，切實(shí)助推數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的落實(shí).

參考文獻(xiàn)：

[1]馬子奇.活躍在圓錐曲線的齊次化方法[J].數(shù)理化學(xué)習(xí)（高中版），2018（07）：24-25.

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