蔣國保，陳 英，林文烽，劉安玲，周 遠(yuǎn)，汪之又，劉 莉，鄒瑩暢

(長沙學(xué)院電子信息與電氣工程學(xué)院，湖南 長沙 410022)

1 引言

激光器基本結(jié)構(gòu)都是由工作物質(zhì)、泵浦源、和激光諧振腔三大部分組成的.其中，激光諧振腔由兩個(gè)面向工作物質(zhì)的反射鏡組成，其中一個(gè)是全反射鏡，另一個(gè)是部分透射鏡(輸出鏡).在激光諧振腔內(nèi)，沿諧振腔軸線的那一部分光波在諧振腔內(nèi)來回震蕩，多次通過處于激活狀態(tài)的工作物質(zhì)，“誘發(fā)”激活工作物質(zhì)發(fā)光，光被放大，最后輸出激光束[1].在學(xué)習(xí)激光諧振腔的過程中往往發(fā)現(xiàn)激光光學(xué)內(nèi)容比較抽象，如不借助實(shí)驗(yàn)，學(xué)生很難理解.激光光學(xué)實(shí)驗(yàn)一般需要穩(wěn)定的環(huán)境，高精密的儀器，因此在教室里能做的激光光學(xué)實(shí)驗(yàn)極為有限，而且也受到授課時(shí)間的限制.為了克服激光學(xué)實(shí)驗(yàn)對(duì)實(shí)驗(yàn)條件要求比較苛刻的缺點(diǎn)，可采用計(jì)算機(jī)仿真激光光學(xué)實(shí)驗(yàn)，特別是激光光學(xué)演示實(shí)驗(yàn)，配合理論課的進(jìn)行，把光學(xué)課程涉及的大多數(shù)現(xiàn)象展示在學(xué)生面前，以加深對(duì)激光光學(xué)內(nèi)容的理解[2].

目前激光原理實(shí)驗(yàn)教學(xué)主要都是實(shí)物教學(xué)，其存在的問題有：激光原理與技術(shù)實(shí)驗(yàn)需要的各種激光器和光學(xué)配件都是精密儀器，價(jià)格昂貴，導(dǎo)致教學(xué)成本高昂[3]；實(shí)驗(yàn)儀器偏少，只能滿足2～3人操作一臺(tái)實(shí)驗(yàn)儀器的需求，實(shí)驗(yàn)器件太少，實(shí)驗(yàn)教學(xué)形式單一，這在很大程度上影響了對(duì)學(xué)生的動(dòng)手能力、實(shí)驗(yàn)創(chuàng)新能力和綜合設(shè)計(jì)能力的培養(yǎng)[4].激光原理理論性很強(qiáng)，實(shí)驗(yàn)和理論還存在一定距離，通過實(shí)驗(yàn)結(jié)果，學(xué)生不一定能夠?qū)⒗碚摵蛯?shí)驗(yàn)現(xiàn)象很好的結(jié)合[5].

對(duì)激光諧振腔實(shí)驗(yàn)進(jìn)行計(jì)算機(jī)仿真教學(xué)，具有兩個(gè)方面的意義：一方面，利用仿真結(jié)果指導(dǎo)實(shí)際實(shí)驗(yàn)，前期投資少，且可以減少貴重儀器的損傷風(fēng)險(xiǎn)等；另一方面，在教學(xué)上，將抽象難懂的概念、規(guī)律通過實(shí)驗(yàn)仿真生動(dòng)、形象地表現(xiàn)出來，使學(xué)生更易于接受，教學(xué)效果更好.目前，MATLAB軟件在工程光學(xué)、激光原理的實(shí)驗(yàn)教學(xué)中應(yīng)用廣泛[6]，本文主要是對(duì)幾種常見的激光諧振腔進(jìn)行仿真，使學(xué)生更好地理解激光橫模以及諧振腔參數(shù)對(duì)橫模的影響.

2 平面平行腔和雙凹腔的MATLAB仿真

激光諧振腔的MATLAB仿真實(shí)現(xiàn)的流程如下：

1)設(shè)置好諧振腔的類型、參數(shù)；

2)由設(shè)置好的參數(shù)得到腔的尺寸；

3)劃分合理的單元格數(shù)；

4)分配每個(gè)單元格的行列以及長度；

5)通過光學(xué)復(fù)振幅相關(guān)公式得到每個(gè)單元的強(qiáng)度值；

6)得到x，y，z的值后進(jìn)行圖像三維構(gòu)建；

7)圖像的顯示及其優(yōu)化.

文章采用有限元矩陣特殊值算法來模擬激光諧振腔的光場(chǎng)分布[6]，以平面平行平面腔為例，其關(guān)鍵代碼如下：

fortl=1:M*N% 傳輸矩陣 A 的行m=ceil(tl/M);% 場(chǎng)點(diǎn)各個(gè)單元的行

ifmod(tl,M)==0n=M; % 場(chǎng)點(diǎn)有限單元的列

elsen=mod(tl,M);

end

forgf=1:M*N% 傳輸矩陣 A 的列c=ceil(gf/M); % 源點(diǎn)有限單元的行

ifmod(gf,M)==0d=M; % 源點(diǎn)有限單元的列

elsed=mod(gf,M);

end

ifc==N% 消除重合邊界的多余計(jì)算

continue;

else

R=sqrt(L^2+(X(c,d)-X(m,n)).^2+(Y(c,d)-Y(m,n)).^2);

A(tl,gf)=-j/lambda.*exp(j*k*R)./R.*(1+L./R)/2.*rho(c,d).*drho.*deta;% 將z軸設(shè)置為場(chǎng)點(diǎn)各個(gè)單元格的強(qiáng)度，并通過光強(qiáng)公式計(jì)算得到強(qiáng)度值賦值給A.

end

[Vct1,Da1]=eigs(A*A,6)% 運(yùn)用eigs()函數(shù)計(jì)算矩陣的特征值并賦值給V和D

forhk=1:6% 顯示6張圖分別為本征TEM00TEM01TEM02TEM03TEM04TEM05模

Vt=(reshape(Vct1(:,hk),M,N)).';%

E2=conj(Vt).*Vt;% 運(yùn)用conj().函數(shù)求Vt的共軛數(shù)

圖1 腔鏡半徑a=1，菲涅爾數(shù)fnum=1平行平面腔光場(chǎng)分布

圖2 腔鏡半徑a=1，菲涅爾數(shù)fnum=1的雙凹腔光場(chǎng)分布

在圖1中，腔鏡半徑a=1菲涅耳數(shù)fnum=1的平行平面腔光場(chǎng)分布圖像顯示成功，分別顯示了本征從低階到高階順序排列的6張光場(chǎng)圖，每張圖上方附有各自的本征值，光場(chǎng)的分布與教材上的圖像一致.此外，對(duì)比相同參數(shù)、不同腔型圖1和圖2后，可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)諧振腔參數(shù)完全一致時(shí)，平行平面腔和雙凹腔的本征TEM00模輸出光場(chǎng)相似本征值差距不大，但隨著階數(shù)的增加，本征值的差距越來越大，輸出光場(chǎng)分布的差異也越來越大.

3 GUI界面設(shè)計(jì)與MATLAB仿真輔助激光原理教學(xué)優(yōu)勢(shì)分析

在設(shè)計(jì)激光諧振腔和觀察激光輸出光場(chǎng)時(shí)，如果每次都去重新編寫代碼，重新編輯腳本文件再運(yùn)行，效率不高而且很容易出錯(cuò).因此設(shè)計(jì)一個(gè)GUI界面，可自由改變諧振腔參數(shù)并觀察其輸出光場(chǎng)分布是非常有必要的事情.文章通過以MATLAB R2016a為實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，設(shè)計(jì)了一款激光諧振腔的GUI界面，包含了以下內(nèi)容：

1)實(shí)現(xiàn)平平腔，雙凹腔兩種經(jīng)典腔型的光場(chǎng)分布模擬[8]；

2)可改變腔鏡半徑光波波長；

3)能模擬任意參數(shù)菲涅爾數(shù)的光場(chǎng)分布；

4)能顯示帶有菲涅爾數(shù)及其本征值的光場(chǎng)；

5)退出后清除所有參數(shù)并還原為默認(rèn)值.

圖3 激光諧振腔光場(chǎng)分布的GUI界面

從圖3可以看出，設(shè)計(jì)的GUI界面實(shí)現(xiàn)了腔型可選，腔鏡半徑可變，菲尼爾數(shù)可變，光束波長可變等預(yù)設(shè)的功能，能幫助學(xué)生更好地理解激光橫模以及諧振腔參數(shù)對(duì)橫模的影響.

實(shí)際教學(xué)中，要觀察激光輸出光場(chǎng)分布需要先設(shè)計(jì)和調(diào)整激光器參數(shù).首先，不同腔形使用腔鏡不同，所以一次實(shí)驗(yàn)只能實(shí)現(xiàn)一種腔形的實(shí)驗(yàn)結(jié)果.其次，同一激光器參數(shù)可調(diào)范圍有限，并不能通過一個(gè)激光器實(shí)現(xiàn)多種條件下的光場(chǎng)分布輸出.并且實(shí)驗(yàn)結(jié)果也只能借助儀器設(shè)備觀察，實(shí)驗(yàn)中每增加一臺(tái)儀器設(shè)備，學(xué)生的實(shí)驗(yàn)時(shí)間成本就會(huì)增加，從而影響學(xué)習(xí)效率.

在往年激光原理實(shí)驗(yàn)中，學(xué)生普遍反映“激光器實(shí)際操作過程中太難調(diào)”，“CCD光斑找不到”，“我做出來的實(shí)驗(yàn)結(jié)果怎么跟老師的結(jié)果差別這么大”，“每次更換鏡子就得重新調(diào)整一次光路，浪費(fèi)時(shí)間”.但是在采用MATLAB仿真實(shí)驗(yàn)后，上述實(shí)際操作問題就得到了完美解決.

綜上，采用MATLAB仿真激光諧振腔仿真激光輸出光場(chǎng)有以下優(yōu)勢(shì)：

1)操作簡單，GUI界面設(shè)計(jì)簡單，具體功能只需部分核心代碼即可實(shí)現(xiàn)，核心代碼部分需要學(xué)生理解原理，加強(qiáng)了學(xué)生的理論；

2)功能全面，同一界面即可模擬多種激光諧振腔的光場(chǎng)輸出，并且所有參數(shù)可調(diào)，學(xué)生實(shí)驗(yàn)的自主性更強(qiáng)；

3)結(jié)果直觀，輸出光場(chǎng)分布均以圖片形式直觀的展現(xiàn)出來，可以直觀的比較不同參數(shù)下，光場(chǎng)分布的區(qū)別.

4 結(jié)論

文章利用MATLAB仿真軟件對(duì)經(jīng)典的平行平面腔，雙凹腔的光場(chǎng)分布圖進(jìn)行數(shù)值仿真，并用于激光的實(shí)驗(yàn)教學(xué)中，取得了較好的實(shí)驗(yàn)教學(xué)效果，加深了對(duì)激光原理基礎(chǔ)課程的深入理解.數(shù)值計(jì)算中，基于惠更斯-菲涅爾衍射積分，采用矩陣特征值方法求解光場(chǎng)分布，提高了程序的運(yùn)行速度和運(yùn)行效率.主要數(shù)值研究了菲涅爾數(shù)、腔鏡半徑以及光束波長對(duì)諧振腔輸出模式的影響.此外，本文還設(shè)計(jì)了一款GUI界面，同學(xué)們可以很直觀地查看不同菲涅爾數(shù)、腔鏡半徑情況下的不同諧振腔的光場(chǎng)分布，從而幫助同學(xué)們更好地理解激光橫模.考慮激光器實(shí)驗(yàn)設(shè)備昂貴，操作復(fù)雜，并且極易損壞，同時(shí)激光實(shí)驗(yàn)具有一定危險(xiǎn)性，采用MATLAB仿真代替激光器的實(shí)驗(yàn)，能夠減少實(shí)驗(yàn)經(jīng)費(fèi)，保障了學(xué)生安全性.綜合來看，采用MATLAB仿真具有天然優(yōu)勢(shì)，可以更多的引入激光實(shí)驗(yàn).