江蘇省蘇州市胥江實(shí)驗(yàn)中學(xué)校 蔣 凱

一、由尺規(guī)作圖的作業(yè)批閱說起

八年級(jí)上學(xué)期初學(xué)全等三角形、軸對(duì)稱、線段垂直平分線之后，學(xué)生都會(huì)使用尺規(guī)作圖進(jìn)行一些基本作圖，如角的平分線、線段的垂直平分線等.但是階段檢測(cè)時(shí)，往往都會(huì)考查以下一個(gè)經(jīng)典的尺規(guī)作圖問題（見圖1），根據(jù)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，總有一些學(xué)生不能得到這個(gè)題目的滿分.很大比例的學(xué)生只是畫對(duì)角平分線，但線段垂直平分線的作圖不正確（見圖1）.

圖1

線段的垂直平分線是基本作圖之一，教師上課時(shí)都會(huì)組織學(xué)生學(xué)習(xí)并教授作圖方法.然而，從批閱反饋情況來看，恐怕關(guān)于尺規(guī)作圖的作圖教學(xué)是“低效”的.

二、尺規(guī)作圖的教學(xué)用力點(diǎn)在哪兒

1.教師要先安排學(xué)生分析作圖條件

作圖之前需要先安排學(xué)生認(rèn)真分析題意，想清問題的條件與作圖的目標(biāo)與方向，然后畫出示意圖進(jìn)一步分析作圖的可能性，以及作圖之后圖形具有哪些特征，需要運(yùn)用哪些幾何性質(zhì).在此基礎(chǔ)上，再構(gòu)思作圖的步驟與先后次序，然后初步規(guī)劃作圖方案，并利用限定的作圖工具開展作圖.如果教師缺少上述讓學(xué)生充分審題的教學(xué)環(huán)節(jié)，則學(xué)生往往就是被動(dòng)模仿操作步驟，對(duì)問題的本質(zhì)不甚清楚，難以達(dá)到深刻理解的程度，也缺少了審題教學(xué)這個(gè)前置環(huán)節(jié).

2.教師要重視示范并教授作圖步驟

在審題之后，學(xué)生基本想清了草圖示意，規(guī)劃了作圖流程，這時(shí)教師要重視親自示范并教授作圖步驟，而不能以播放PPT來代替操作示范.當(dāng)前，教育信息化、現(xiàn)代化裝備不斷更新升級(jí)，有些教室黑板的功能幾乎都被電子屏取代，有些教師甚至一節(jié)課都不進(jìn)行板書，只是在PPT或電子屏上進(jìn)行一些演算、標(biāo)注，然后一屏接一屏往下翻，學(xué)生難以形成整節(jié)課板書的整體結(jié)構(gòu)之感，重要的板書內(nèi)容、作圖痕跡、作法依據(jù)，應(yīng)該一直保留在黑板的顯著位置，讓學(xué)生能長(zhǎng)時(shí)間關(guān)注，形成較強(qiáng)的視覺印象，促進(jìn)他們深刻理解.

3.作圖之后需要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行證明

作圖之后，不能急于開展同類練習(xí)，以大量練習(xí)來訓(xùn)練學(xué)生作法的熟練程度，而應(yīng)該通過“拉長(zhǎng)”對(duì)經(jīng)典問題的理解時(shí)間來實(shí)現(xiàn)深刻理解這類問題.比如，尺規(guī)作圖之后，要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行證明，證明時(shí)需要調(diào)動(dòng)已有知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行推理論證，可以想清辨明作法背后的依據(jù)，體會(huì)幾何作圖的操作可能與步步有據(jù).而且在證明之后，還可以促進(jìn)學(xué)生對(duì)相關(guān)幾何定理的關(guān)聯(lián)理解，使學(xué)生知道數(shù)學(xué)知識(shí)的前后一致與邏輯嚴(yán)謹(jǐn).也可以這樣說，單獨(dú)一道尺規(guī)作圖題僅是一道習(xí)題，但如果要求學(xué)生把作圖問題作為一個(gè)項(xiàng)目來研究，包括審題、作圖、證明、下結(jié)論，這樣就經(jīng)歷了一個(gè)完整的項(xiàng)目化研究.

想起一道經(jīng)典的選擇題，如圖2，是作角平分線的尺規(guī)作圖及痕跡，畫圖依據(jù)主要體現(xiàn)了全等三角形的哪一個(gè)判斷依據(jù)？

根據(jù)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，很多學(xué)生都會(huì)錯(cuò)選為“SAS”.

圖2

三、對(duì)“掐頭去尾，只燒中段”尺規(guī)作圖教學(xué)的進(jìn)一步反思

尺規(guī)作圖是經(jīng)典平面幾何問題，歷史悠久、博大精深.初中階段只是涉及一些基本作圖及初步運(yùn)用，并不提倡探究一些較難的尺規(guī)作圖問題.下面略做一些梳理，并針對(duì)“掐頭去尾，只燒中段”式的作圖教學(xué)提出一些反思和建議.

案例1：作線段的“和、差、倍”

這種作圖題常常給一條線段或兩條線段，然后求作一條新的線段，新線段與已知線段是和、差或倍數(shù)關(guān)系.教學(xué)時(shí)如果直接示范教授作法，讓學(xué)生模仿作圖步驟，而不說清道理，就是典型的“燒中段”教法.完整的教學(xué)，可以先引導(dǎo)學(xué)生分析待作的線段與已知線段有什么關(guān)系，再安排學(xué)生畫出草圖分析，然后擬定可行的畫圖步驟，想清順序，再下手作圖，作圖之后要結(jié)合圖形標(biāo)注恰當(dāng)字母，進(jìn)行簡(jiǎn)單的示意與推理說明.

案例2：已知底邊及底邊上高的長(zhǎng)求作等腰三角形

給定底邊及底邊上的高的長(zhǎng)（也就是兩條線段的長(zhǎng)），要求作出符合要求的等腰三角形，這是一個(gè)經(jīng)典尺規(guī)作圖問題.如果直接給出（復(fù)制）一條線段（假設(shè)為底邊），然后作出它的垂直平分線，進(jìn)一步，在垂直平分線上截取出高的長(zhǎng)，最后寫出三角形為所求，這是典型的“燒中段”教法.完整的教學(xué)，先引導(dǎo)學(xué)生分析問題的條件（即題設(shè)），然后畫草圖分析：需要滿足什么條件？如何實(shí)現(xiàn)？作圖的順序怎樣確定？哪些步驟涉及了基本的尺規(guī)作圖？這些都應(yīng)該在動(dòng)手作圖之前有清楚的思考，然后就“了然于胸”，有條不紊，漸次作圖.作圖之后，寫出結(jié)語，繼續(xù)給出證明，由作圖出發(fā)利用線段垂直平分線的性質(zhì)，證明所作三角形有兩邊相等，從而確認(rèn)所作三角形是符合要求的等腰三角形.如果班級(jí)學(xué)生整體水平較高，還可進(jìn)行變式拓展，引導(dǎo)學(xué)生思考和挑戰(zhàn)：

變式拓展題：已知兩條線段的長(zhǎng)（長(zhǎng)度不等），求作等腰三角形，使腰長(zhǎng)為較長(zhǎng)線段，一腰上的高為較短線段的長(zhǎng).

教學(xué)組織：安排學(xué)生先經(jīng)歷畫草圖分析，構(gòu)思作法，實(shí)施作法，這里初步涉及了所謂“奠基三角形”的思路，并且可以與全等三角形判定方法（“斜邊、直角”即HL法）進(jìn)行關(guān)聯(lián)理解.當(dāng)然，這道拓展作圖題，最大的問題在于漏解，因?yàn)闈M足條件的三角形并不唯一，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性也有很好的訓(xùn)練價(jià)值.在此基礎(chǔ)上，還可跟進(jìn)一道學(xué)生以前做過的易錯(cuò)題.

同類練習(xí)：已知等腰三角形一腰上的高與腰的夾角為50°，求該等腰三角形頂角的度數(shù).

案例3：作三角形的外接圓與內(nèi)切圓

九年級(jí)學(xué)習(xí)圓的內(nèi)容之后，三角形的外接圓、內(nèi)切圓的概念就陸續(xù)出來了.這時(shí)尺規(guī)作圖作出一個(gè)三角形的外接圓、內(nèi)切圓就是學(xué)生應(yīng)該掌握的.實(shí)際教學(xué)進(jìn)程中，不少學(xué)生往往停留在簡(jiǎn)單模仿層面，能畫出一個(gè)三角形的外接圓，但并不知道或不深究其中的“簡(jiǎn)化”作圖的道理.比如，作出一個(gè)三角形的外接圓，只需要作出三角形任意兩條邊的垂直平分線，以它們的交點(diǎn)為圓心，該圓心到三角形任意一個(gè)頂點(diǎn)的距離作為半徑畫圓即可，三角形的外接圓作好之后，還需要進(jìn)行證明，為什么此時(shí)三角形三個(gè)頂點(diǎn)恰在同一個(gè)圓上？也就是尺規(guī)作圖的第三個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)，作圖之后的證明環(huán)節(jié)必不可少.而這種證明又可以與八年級(jí)學(xué)生初學(xué)全等三角形后，所學(xué)習(xí)的角平分線的性質(zhì)與判定定理進(jìn)行有效關(guān)聯(lián)，體會(huì)數(shù)學(xué)內(nèi)容的前后一致、邏輯嚴(yán)謹(jǐn).類似的，三角形內(nèi)切圓的作圖教學(xué)也有這樣的特點(diǎn)，只要作出兩條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)（即三角形內(nèi)心），再過內(nèi)心向邊作垂線段，該垂線段的長(zhǎng)即為內(nèi)切圓的半徑，從而可實(shí)現(xiàn)成功作圓.接著安排學(xué)生進(jìn)行證明，關(guān)聯(lián)理解八年級(jí)時(shí)所學(xué)過的命題“求證三角形三條內(nèi)角平分線交于一點(diǎn)”.

四、寫在后面

教學(xué)即研究，一線教師在繁重的日常教學(xué)工作中如何擺脫“西西弗斯推巨石上山”的繁雜無趣呢？也許把日常教學(xué)工作中的“手頭小事”都當(dāng)成教學(xué)研究的素材來思考、研究，就是一種防范職業(yè)倦怠的有效方法.事實(shí)上，面對(duì)一些經(jīng)典問題，學(xué)生掌握的效果不好，更多的情況應(yīng)該是反思我們的教學(xué)方式與教學(xué)方法，而不是埋怨學(xué)情，因?yàn)楹苡锌赡苁墙處煼浅Ｊ煜そ?jīng)典問題的處理流程，卻忽略了學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，想當(dāng)然地認(rèn)為學(xué)生也應(yīng)該很熟悉這些經(jīng)典問題.想來，這也就是章建躍先生倡導(dǎo)的“理解學(xué)生”的重要涵義吧.