張榮輝
(泉州師范學(xué)院繼續(xù)教育學(xué)院,福建泉州 362000)
數(shù)學(xué)思維是形成學(xué)生良好認(rèn)知結(jié)構(gòu)的關(guān)鍵內(nèi)容,同時也是判斷學(xué)生的知識轉(zhuǎn)化為能力的主要評估條件。學(xué)生在掌握科學(xué)的思維方法之后,也能深入地挖掘數(shù)學(xué)思想方法的內(nèi)涵,結(jié)合教學(xué)實踐過程夯實基礎(chǔ)。當(dāng)然這一過程本身也是一個系統(tǒng)化的學(xué)習(xí)過程,注重學(xué)生思想方法的形成和內(nèi)在思維理念的掌握,并在發(fā)現(xiàn)問題時及時地采取處理方案。
數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)方法之間既存在著明確的聯(lián)系也有區(qū)別。其聯(lián)系主要表現(xiàn)在數(shù)學(xué)規(guī)律的理性認(rèn)識,同時也闡述了數(shù)學(xué)方法的理論基礎(chǔ)與內(nèi)在信息,這與人們掌握數(shù)學(xué)思想之間也關(guān)系密切。另外,數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)方法的區(qū)別則主要體現(xiàn)在如何表達(dá)數(shù)學(xué)對象的特征。當(dāng)信息積累達(dá)到一定的程度之后,就可以對數(shù)學(xué)方法起到穩(wěn)定的指導(dǎo)作用。換言之,任何一種數(shù)學(xué)方法都表現(xiàn)了不同的數(shù)學(xué)思想。無論是從理論層面還是實踐角度,我們對于數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法的劃分都不會做出明確要求,更偏向于從思維的角度展開說明分析。
而思維導(dǎo)圖則是對思維的一種整體表達(dá)形式,是思維不斷發(fā)展所體現(xiàn)出的自然功能。一般情況下思維導(dǎo)圖有一個主題,通過主題進(jìn)行擴展,不同的分支以不同的子主題形式表示,子主題表現(xiàn)的也是思維不斷發(fā)展的過程。總而言之,思維導(dǎo)圖并不單純是一種方法,更是體現(xiàn)思維過程的載體,我們借助思維導(dǎo)圖開了解思維的脈絡(luò),對思維過程進(jìn)行闡述。
在對數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)思維進(jìn)行探索的過程中也不難看出,兩者之間在邏輯上有明確的先后關(guān)系,這一邏輯關(guān)系也表現(xiàn)的是人們的思維過程。在思維導(dǎo)圖的繪制過程中,我們思考問題的信息與層次概念會融入其中,這些概念相互連接最終形成一個整體的思維信息。在現(xiàn)代的高等數(shù)學(xué)教學(xué)過程中,思維導(dǎo)圖的作用通常顯著。
概括性原則指的是將思維內(nèi)容有條理地貫穿在數(shù)學(xué)知識點的教學(xué)過程中,同時將其作為數(shù)學(xué)知識體系的主要組成部分,例如將數(shù)學(xué)對象具有的屬性和關(guān)系進(jìn)行描述,在學(xué)習(xí)完極限的概念知識之后,就可以對極限思想的知識進(jìn)行概括,便于學(xué)生從整體上了解極限思想。此外,教師還需要注意知識和方法之間的聯(lián)系,將特殊性認(rèn)知轉(zhuǎn)化為一般性認(rèn)識。一元函數(shù)的微積分和二元函數(shù)微積分的內(nèi)容中都涉及了函數(shù)的連續(xù)性、微分等方面的知識,這些內(nèi)容都可以通過思維導(dǎo)圖納入學(xué)習(xí)過程中,引導(dǎo)學(xué)生參與到思想總結(jié)的環(huán)節(jié)過程中,增強對于數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用意識,有利于學(xué)生更加透徹地具有問題的分析和解決的能力。
數(shù)學(xué)思維導(dǎo)圖以基本的數(shù)學(xué)知識作為載體,并且在現(xiàn)有的教學(xué)過程基礎(chǔ)上不斷地進(jìn)行滲透。受到教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)進(jìn)度、授課時間等不同因素的影響,在前文中涉及的數(shù)學(xué)思想方法可能在后續(xù)的學(xué)習(xí)內(nèi)容中不再出現(xiàn),這會使得部分思想方法教學(xué)出現(xiàn)脫節(jié),也不利于學(xué)生形成更加完善的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。對此,我們應(yīng)該將不同層面的知識進(jìn)行整體說明,以思維導(dǎo)圖的形式來整體化歸納,一方面體現(xiàn)出數(shù)學(xué)思想和方法的具體特征,另一方面形成穩(wěn)定的數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)體系[1]。
教學(xué)實踐的過程中教師是主導(dǎo),而學(xué)生是參與主體,缺少任何一方都無法保障教學(xué)過程的正常進(jìn)行。而思維導(dǎo)圖正是對數(shù)學(xué)知識認(rèn)知和結(jié)果的歸納,重視的是記憶理解層面下的靜態(tài)教學(xué)過程。所以,基于這一層面的思維動態(tài)發(fā)展中需要讓學(xué)生形成有效的個性鮮明數(shù)學(xué)思想。例如教師在講解完零點定理后就可以提出一個問題:桌子在不平的地面上能夠平穩(wěn)放置?通過這一問題建立思維導(dǎo)圖后進(jìn)行數(shù)學(xué)模型構(gòu)建,并且轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題進(jìn)行建模。諸如此類的數(shù)學(xué)問題都是通過實踐過程來獲取素材信息,在教師的合理引導(dǎo)之下積極地參與到數(shù)學(xué)知識發(fā)生的過程當(dāng)中,通過思想提煉來指導(dǎo)思維活動,在教學(xué)活動中不斷鍛煉思維模式。
滲透性原則即將一些抽象的數(shù)學(xué)思想融入具體的數(shù)學(xué)信息當(dāng)中,同時也會對這些思想方法形成初步的感知與體會,在后續(xù)從理性上正確認(rèn)識后從不同的問題中逐漸進(jìn)行深入理解。以我們當(dāng)前所使用的數(shù)學(xué)教材而言,知識體系當(dāng)中都包含了顯性的數(shù)學(xué)知識與隱藏的數(shù)學(xué)思想方法,尤其是涉及的定理、概念、公式等都非常精煉,也是高度抽象的結(jié)論所表現(xiàn)出的具體信息。如果學(xué)生無法有效地理解,就需要教師引導(dǎo)進(jìn)行知識滲透,通過思維導(dǎo)圖的模式來明確不同思想方法下的教學(xué)要求,在每一個問題的分析過程中有計劃地把握住數(shù)學(xué)思維滲透的時間。借助日常地解決問題過程,突出和深化數(shù)學(xué)的思想方法,讓問題解決的過程變得更加明確清晰,這些在現(xiàn)實問題的解決過程中同樣會發(fā)揮顯著作用[2]。
思維導(dǎo)圖引導(dǎo)下我們可以構(gòu)建一個清晰明確的知識網(wǎng)絡(luò),也可以更好地組織教學(xué)材料,對教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行微觀規(guī)劃設(shè)計,以思維導(dǎo)圖模式來表達(dá)自身的想法。例如我們在學(xué)習(xí)到導(dǎo)數(shù)的概念這一部分的知識時,就需要了解到不同學(xué)生的個人能力和學(xué)習(xí)基礎(chǔ)。一般情況下學(xué)生能夠掌握導(dǎo)數(shù)的計算方式,但并不了解導(dǎo)數(shù)的具體內(nèi)涵。所以這一部分的教學(xué)重點就應(yīng)該定位于導(dǎo)數(shù)概念的理解和掌握,例如圖1所示的概念內(nèi)容。
圖1 導(dǎo)數(shù)概念的思維導(dǎo)圖
具體來看教師可以從實例中突出導(dǎo)數(shù)的概念,并抓住特殊形式的極限,之后再進(jìn)一步了解到函數(shù)的瞬時變化率。所以,思維導(dǎo)圖進(jìn)行教學(xué)微觀設(shè)計可以更加有效地組織教學(xué)內(nèi)容,突出教學(xué)重難點。實際的知識講解環(huán)節(jié)不同章節(jié)內(nèi)容也能以此為基礎(chǔ)繪制出一張基本的概念圖,然后隨著知識點的擴散,知識點之間的聯(lián)系也能使得概念圖更加清晰,甚至不斷地進(jìn)行擴充,也是整體分析知識點結(jié)構(gòu)的主要方式,思考具體的問題講解方法和手段的相關(guān)過程[4]。
一般情況下教師的教學(xué)過程涉及多個方面的信息與內(nèi)容,很可能出現(xiàn)舊知識尚未消化完全,新知識就已經(jīng)出現(xiàn),使得知識銜接出現(xiàn)矛盾。此時,教學(xué)重點也發(fā)生了改變,更加傾向于知識網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)建,體現(xiàn)出不同類型知識之間的聯(lián)系。所以,新的概念引入與思維導(dǎo)圖的構(gòu)建過程就可以進(jìn)行規(guī)劃。如通過定積分、不定積分概念圖的對比就能了解到不定積分的內(nèi)容應(yīng)用,通過新的章節(jié)內(nèi)容引入來明確知識結(jié)構(gòu),抓住學(xué)習(xí)過程的重點和難點,在后續(xù)的學(xué)習(xí)中有目的地進(jìn)行優(yōu)化和提高[5]。
課程學(xué)習(xí)中學(xué)生對于知識點的理解和掌握也能有助于他們對知識點之間的聯(lián)系了解得更加透徹,在后續(xù)的復(fù)習(xí)環(huán)節(jié)中也可以通過思維導(dǎo)圖進(jìn)行整合分析,促進(jìn)學(xué)生思維的培養(yǎng)。教學(xué)的關(guān)鍵在于調(diào)動學(xué)生的主觀積極性,引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行獨立思考。我們?nèi)匀灰远ǚe分的相關(guān)知識為例,學(xué)生在學(xué)習(xí)完定積分內(nèi)容之后,教師也會進(jìn)行提問,如通過不定積分還能了解到哪些知識,結(jié)果也包括不定積分、定積分本質(zhì)、應(yīng)用等,從不同的子主題出發(fā),通過子主題的分析來聯(lián)想到其他的內(nèi)容,以此為基礎(chǔ)繪制出相關(guān)的思維導(dǎo)圖,這也是一個思維發(fā)散的過程,讓學(xué)生從多個角度、多個方面培養(yǎng)問題的分析和解決能力,也是創(chuàng)新能力培養(yǎng)的主要途徑。
思維導(dǎo)圖和數(shù)學(xué)建模之間同樣密切聯(lián)系,對數(shù)學(xué)原型構(gòu)造數(shù)學(xué)模型的過程實際上也是對其展開的研究和解答,讓問題得到重點解決。目前涉及的數(shù)學(xué)建模問題眾多,包括積分法求圖形面積、導(dǎo)數(shù)理論求最值模型等,特別是經(jīng)濟學(xué)當(dāng)中的利潤模型計算等。這些內(nèi)容都應(yīng)該以思維導(dǎo)圖來進(jìn)行,在了解問題的目的后提出假設(shè),然后建立模型、修改模型,最終應(yīng)用模型。從辯證角度來看,相對于部分所構(gòu)成的整體是確定的部分,我們也需要在教學(xué)環(huán)節(jié)了解問題整體結(jié)構(gòu)特征,有意識地展開整體化處理和研究。
思維導(dǎo)圖在微積分知識教學(xué)中具有重要的作用,同時在整個高等數(shù)學(xué)的范疇之內(nèi)同樣能發(fā)揮關(guān)鍵效果。在相關(guān)課程的教學(xué)過程中合理地選擇思維導(dǎo)圖的應(yīng)用方式,不僅可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性,還能保障課程的教學(xué)質(zhì)量。在未來的教學(xué)實踐過程中,學(xué)生能夠思考到的內(nèi)容更多,對于數(shù)學(xué)方法與數(shù)學(xué)思維的理解也會更加深入。雖然教材本身是由嚴(yán)格的概念、定理、公式所組成,但教師只要能夠注重思維導(dǎo)圖對于思維過程的引導(dǎo)優(yōu)勢,就可以關(guān)注知識的形成過程。
創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)理論研究與實踐2019年20期