☉江蘇省海門中學(xué) 姜璐璐

具備內(nèi)在聯(lián)系、一定的知識覆蓋面、難易適度的變式串訓(xùn)練能有效幫助學(xué)生理解基本知識、掌握基本技能、提升解題能力.設(shè)計(jì)、運(yùn)用問題串實(shí)際上就是將學(xué)生推至解決問題的前沿并引導(dǎo)其進(jìn)行分析、對比、思考和探索.教師應(yīng)設(shè)計(jì)出與學(xué)生已有生活經(jīng)驗(yàn)、知識經(jīng)驗(yàn)相關(guān)的問題串并因此激發(fā)學(xué)生強(qiáng)烈的求知欲，將問題化大為小、化抽象為具體，并使學(xué)生在具體化的目標(biāo)的引領(lǐng)下重組或深度加工問題信息，挖掘問題本質(zhì)并探索解題的策略，使學(xué)生在一系列“新”問題的解決中獲得思維能力的提高.

一、設(shè)計(jì)問題串的原則

（1）適宜性.教師設(shè)計(jì)問題串時應(yīng)考慮到學(xué)生的一般認(rèn)知規(guī)律和身心發(fā)展規(guī)律，設(shè)計(jì)出學(xué)生思維最近發(fā)展區(qū)內(nèi)的問題，使學(xué)生在具有一定陌生感的問題中探索和收獲.

（2）遞進(jìn)性.問題之間具有層層遞進(jìn)的關(guān)系才能推進(jìn)學(xué)生逐步深入的思考和探索.

（3）指向性.圍繞目標(biāo)設(shè)定的一系列問題能使學(xué)生在指引性的探索中獲得成功的自主建構(gòu).

（4）自然性.過于生硬的問題會使學(xué)生感覺琢磨不透且無法展開思索.

二、設(shè)計(jì)策略

1.圍繞教學(xué)目標(biāo)進(jìn)行設(shè)計(jì)

案例1：引入等比數(shù)列定義的問題串設(shè)計(jì).

問題1：如何用現(xiàn)代語言描述“一尺之錘，日取其半，萬世不竭”這句話呢？假如將“一尺之錘”看作單位“1”，大家從“日取其半”這句話中是否能夠得出一個數(shù)列？這是什么數(shù)列？

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生從文字描述中發(fā)現(xiàn)等比關(guān)系.

師生活動：教師啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)等比關(guān)系，并寫出數(shù)列.

問題2：若將一張白紙一而再、再而三地進(jìn)行對折，大家能依次寫出該張白紙對折后的厚度嗎？

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)等比關(guān)系.

師生活動：要求學(xué)生進(jìn)行對折白紙操作并發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，并寫出數(shù)列.

問題3：若某計(jì)算機(jī)病毒正在傳播之中，每輪被感染病毒的計(jì)算機(jī)臺數(shù)的數(shù)列又該如何列出呢？

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)等比關(guān)系，并寫出數(shù)列.

師生活動：啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)等比關(guān)系并引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)規(guī)律寫出數(shù)列.

問題4：觀察數(shù)列并分析其規(guī)律，大家能否類比等差數(shù)列說說其共同特征？

設(shè)計(jì)意圖：啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)等比關(guān)系并得出等比數(shù)列的定義.

師生活動：觀察所得數(shù)列并對其共同特征進(jìn)行討論，類比等差數(shù)列得出等比數(shù)列的概念.

2.根據(jù)學(xué)生認(rèn)知水平進(jìn)行設(shè)計(jì)

案例2：關(guān)于求解函數(shù)的最小值的解法串.

解法1（求導(dǎo)函數(shù)法）：，當(dāng)x=2 時，y′=0.

當(dāng)1＜x＜2 時，y′＜0；當(dāng)x＞2 時，y′＞0.

所以當(dāng)x=2 時，函數(shù)有最小值8.

解法2（基本不等式法）：

3.激發(fā)學(xué)生參與設(shè)計(jì)

案例3：引入二項(xiàng)式定理的問題串設(shè)計(jì).

問題1：乘積（a1+a2+a3）（b1+b2+b3）（c1+c2+c3+c4+c5）展開后一共有多少項(xiàng)？

生1：3×3×5 項(xiàng).

師：怎么想的？

生1：從各括號中各取一個字母并構(gòu)成項(xiàng)，各括號之內(nèi)的項(xiàng)數(shù)之積即為問題所要求的答案.

變式：（a+b）n展開后的項(xiàng)數(shù)共是多少？

全體學(xué)生：2n.

問 題2：（a+b）2=a2+2ab+b2，（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3，此處展開與之前的項(xiàng)數(shù)并不相等，為什么？

合并前幾項(xiàng)還是后幾項(xiàng)是問題中并未明確的，明確合并后幾項(xiàng)嗎？

問題3：（a+b）4=？誰來算一下？

可否用更加理性的思維來展開（a+b）n并發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律呢？

師：大家是否能在項(xiàng)的次數(shù)上發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？項(xiàng)的數(shù)量如何？系數(shù)怎樣？

首先我們來看次數(shù).

（a+b）2=a2+2ab+b2，這是齊二次.

（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3，這是齊三次.

問題4：（a+b）n展開后即為齊n 次，怎樣理解齊n 次呢？

生3：各括號中取一個字母，n 個字母相乘即為n次.

再看項(xiàng)數(shù).

（a+b）2=a2+2ab+b23 項(xiàng)

（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b34 項(xiàng)

問題5：（a+b）n展開后是n+1 項(xiàng)，為什么呢？

生4：觀察可得項(xiàng)的字母b 的次數(shù)為0，1，…，n，共n+1 項(xiàng).

最后我們再看系數(shù).

（a+b）n=（？）an+（？）an-1b+（？）an-2b2+…+（？）abn-1+（？）bn.

變 式：（a+b）3=a3+a2b+ba2+ab2+ba2+ab2+ab2+b3=a3+3a2b+3ab2+b3，合并前有8 項(xiàng)，合并后有4 項(xiàng)，“3”的含義何在呢？

生5：合并后的系數(shù)與合并前同類項(xiàng)的個數(shù)相對應(yīng)，由此可得：系數(shù)即為同類項(xiàng)的個數(shù).

（a+b）n=（a+b）（a+b）（a+b）…（a+b）.

因此an-kbk的系數(shù)應(yīng)與其同類項(xiàng)個數(shù)相等，展開（a+b）n，合并后an-kbk的系數(shù)和合并前an-kbk的同類項(xiàng)的個數(shù)是相等的，即為從n 個（a+b）中取k 個b 的個數(shù).

問題6：從n 個括號中取的b 的個數(shù)是多少？

全體學(xué)生：k 個.

變式：有多少個同類項(xiàng)？

教師板書各項(xiàng)系數(shù).

…

4.根據(jù)一定難度的向量進(jìn)行設(shè)計(jì)

案例4：平面向量數(shù)量積運(yùn)算中的變式問題串的設(shè)計(jì).

問題：已知等邊△ABC，其邊長是1，平面內(nèi)一點(diǎn)M 滿足，試求

圖1