黃濱 保利勇 丁洪偉

摘 要：針對傳統(tǒng)Chebyshev映射所呈現(xiàn)的值域邊界雙峰的分布特性，為滿足優(yōu)化理論中序列均勻分布的需求，結合Chebyshev映射概率密度函數(shù)進行數(shù)理推導，將得到的隨機變量函數(shù)與原映射級復合成新的系統(tǒng)。通過對比研究表明，系統(tǒng)具有良好的均勻分布特性、遍歷特性、平衡性和較低的復雜度，所產(chǎn)生序列的隨機誤差小，相似度高。最后將系統(tǒng)應用于優(yōu)化算法中的初始化種群階段，進一步說明了所做的均勻化分布系統(tǒng)在改善原序列均勻分布特性的效果是顯著的。

關鍵詞：混沌;動力學系統(tǒng);Chebyshev映射;均勻化分布;混沌特性

中圖分類號：TP27

文獻標志碼：A

Abstract：Concerning the bimodal distribution characteristics of the range boundary presented by the traditional Chebyshev mapping， in order to meet the requirements of homogenized distribution of sequences in optimization theory， the mathematical equation was given by using the probability density function of Chebyshev mapping， and a new system was constructed by combining with the original mappinginto a new system.The comparative study shows that the system has good homogenized distribution characteristic， ergodic characteristic， balance and low complexity， and the random error of the generated? sequences is small and the similarity is high. Finally， the system is applied to the initialization population stage of the optimization algorithm， and it is further shown that the homogenized distribution system has a significant effect on improving the homogenized distribution characteristic of the original mapping.Key words： chaos; dynamics system; Chebyshev mapping; homogeneous distribution; chaotic characteristic

0 引言

混沌是一種類隨機的運動方式，它通常包含在確定性的非線性動力學系統(tǒng)中，它所能實現(xiàn)的不同迭代軌跡集中體現(xiàn)在隨機性、遍歷性、初值敏感性和不可預測性等混沌特性。傳統(tǒng)Chebyshev映射可以通過控制相關參數(shù)使其進入混沌狀態(tài)，相比Tent映射、Logistic映射等一維映射，它的值域范圍更大且具有良好的混沌特性。目前，均勻化分布處理的方法有很多。

文獻[1]根據(jù)現(xiàn)有理論通過概率密度函數(shù)將二次多項式構造出反三角映射函數(shù);文獻[2]通過變換函數(shù)的方式改造了Logistic映射，使其在（0，1）內(nèi)滿足均勻分布，并且利用了直方頻數(shù)圖、信息熵和平衡型等指標對均勻化效果進行評價。這就對在保有混沌特性基礎上，如何有效擴寬滿足均勻分布的值域范圍、對滿足等可能取值要求較高的優(yōu)化問題、仿生算法等相關領域，提出了更高的要求。

本文采用具有更大值域范圍的Chebyshev映射，首先通過求解均勻優(yōu)化Chebyshev映射概率密度函數(shù)微分方程，推導出隨機變量函數(shù)，使其在區(qū)間[-1，1]內(nèi)成為均勻化分布Chebyshev映射（Homogeneous Distribution Chebyshev，HDC）系統(tǒng)。進一步，本文采取仿真實驗的方式，將構建的均勻化分布系統(tǒng)與近年來性能較好的同類系統(tǒng)作出定量定性的對比分析，全面逐一比較了不同系統(tǒng)的直方頻數(shù)圖、平衡性、信息熵、近似熵、相關性和功率譜密度。最后，通過一個具體的人工蜂群算法初始化種群階段的應用，更為有力地說明本文提出的均勻化分布系統(tǒng)在改善系統(tǒng)的均勻分布特性上是顯著有效的。

從圖2可以看出，L-C復合系統(tǒng)和Chebyshev映射產(chǎn)生的混沌序列呈現(xiàn)出邊界雙峰的U型分布，而S-S級聯(lián)系統(tǒng)產(chǎn)生的混沌序列更是呈現(xiàn)三峰聳立的W型分布，與HDC系統(tǒng)呈現(xiàn)出近似直線的分布對比，在數(shù)值分布區(qū)間均為[-1，1]的情況下， HDC系統(tǒng)均勻的遍歷分布特性顯得更為突出。

2.2 系統(tǒng)序列遍歷分布圖

對四種系統(tǒng)取相同的初值x0=0.3，分別繪制系統(tǒng)的迭代值遍歷分布圖（如圖3所示）。通過比較發(fā)現(xiàn)，L-C復合系統(tǒng)、Chebyshev映射和S-S級聯(lián)系統(tǒng)產(chǎn)生的混沌序列沒有HDC系統(tǒng)產(chǎn)生的序列均勻， HDC系統(tǒng)的密集度更高。隨著迭代次數(shù)的不斷增加，系統(tǒng)輸出的值將均勻遍歷整個分布區(qū)間。

2.3 系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)

由李雅普諾夫（Lyapunov）指數(shù)的定義[9]：λC為Chebyshev映射的Lyapunov指數(shù)，由文獻[8]可得，其值λC≥ln 2;λL為均勻化分布系統(tǒng)的李雅普諾夫指數(shù)，yn的取值在（-1，1）區(qū)間，當yn=0時，λL≥ln（2/π）。系統(tǒng)李雅普諾夫指數(shù)的計算[10]如下式：

設定L-C復合系統(tǒng)的參數(shù)a1=1，a2=-2， S-S級聯(lián)系統(tǒng)的參數(shù)μ=0，其中將系數(shù)k控制在區(qū)間[0，200]，初值x0=0.33，繪制幾類系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)圖。如圖4所示，隨著系數(shù)k的不斷遞增，L-C復合系統(tǒng)與Chebyshev映射表現(xiàn)出了相似的變化曲線，且前者的Lyapunov指數(shù)更高，而HDC系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)在原映射發(fā)生微弱起伏的變化。因此，雖然HDC系統(tǒng)不如L-C復合系統(tǒng)和Chebyshev映射的Lyapunov指數(shù)高，但該系統(tǒng)仍然保持了混沌系統(tǒng)的特性，也驗證了理論推導中Lyapunov指數(shù)為正的結論。

2.4 均勻性與復雜度

信息熵作為衡量序列混亂程度的特征參數(shù)[12]，用于表征信源不確定的程度，信息熵越接近于最大信息熵則系統(tǒng)均勻性越好。而混沌序列的復雜度可用近似熵（ApEn）算法來衡量，ApEn的取值越大，混沌序列的復雜度越高[13]。

混沌的迭代次數(shù)設為n=50000，將序列值域設定不同的M個區(qū)間個數(shù)計算信息熵;對不同的混沌序列的長度依次取L=1000，2000，4000，5000，10000，k均取2，

初值x0為0.33，進行近似熵求解，計算結果如表1～2。

信息熵隨著區(qū)間個數(shù)M的增多，不同系統(tǒng)的信息熵均得到提升，L-C復合系統(tǒng)、S-S級聯(lián)系統(tǒng)和Chebyshev映射的信息熵相差不大，而HDC系統(tǒng)的信息熵變化最為顯著，無限接近最大信息熵。

此外，對與系統(tǒng)的近似熵而言，HDC系統(tǒng)與Chebyshev映射的近似熵接近，基本沒有發(fā)生變化，且與L-C復合系統(tǒng)的近似熵存在較大差異。

這是因為HDC系統(tǒng)產(chǎn)生序列的均勻化分布特性高，導致了序列本身的值較為平均，復雜度有所降低。因此通過信息熵與近似熵的評價，可以進一步說明本文對系統(tǒng)產(chǎn)生序列的均勻化分布處理是有效的。

2.5 平衡性

下面通過二值量化[11]的方式，對四個不同映射系統(tǒng)產(chǎn)生序列的平衡性進行研究。通過隨機的方式選取50個不同初值，判決門限設定為0，其中L-C復合系統(tǒng)的參數(shù)a1=1，a2=-2，而S-S級聯(lián)系統(tǒng)的參數(shù)μ=4，計算平衡性均值并繪制出其曲線，結果如圖5所示?？梢钥闯?，S-S級聯(lián)系統(tǒng)在序列長度L<100時曲線變化趨于先下降后上升的振蕩狀態(tài)，在5001000以后開始收縮，接近3000時才開始接近于0;而Chebyshev映射和HDC系統(tǒng)的平衡曲線在L<500時呈現(xiàn)出相似的波動狀態(tài)，在L>500以后均表現(xiàn)出隨序列長度的增加趨于穩(wěn)定，顯然HDC系統(tǒng)的均值更接近于0。

2.6 相關性

自相關特性是用于描述序列產(chǎn)生隨機誤差項相關性指標，而互相關特性是運算結果反映兩個序列之間相似性的量度[3]。

對四種系統(tǒng)的序列取相同的長度為500，初值x0=0.8，仿真四種系統(tǒng)的自相關特性。如圖6所示，四種系統(tǒng)均表現(xiàn)出了在相關間隔為0時的尖銳自相關特性。L-C復合系統(tǒng)、Chebyshev映射和S-S級聯(lián)系統(tǒng)的自相關值均為0.5，HDC系統(tǒng)自相關值接近于0.1。這種差別也體現(xiàn)了HDC系統(tǒng)產(chǎn)生序列的隨機誤差小，即序列的均勻性是良好的。

選取初值分別為x0=0.1，y0=0.5，序列長度為1000，對四種系統(tǒng)的互相關特性進行仿真。從圖7中可見，四種系統(tǒng)的互相關值都在0附近，HDC系統(tǒng)與其他三種系統(tǒng)對比，互相關值的波動幅度更小，集中在（-0.05，0.05）區(qū)間，即隨機生成的序列的相似程度與均勻化分布處理后有很大關聯(lián)。

2.7 功率譜密度

功率譜密度是隨機動態(tài)激勵下系統(tǒng)產(chǎn)生響應的統(tǒng)計結果，實際上刻畫的是隨機過程的強度。Welch方法是一種修正周期圖功率譜密度估計方法，它通過選取的窗口對數(shù)據(jù)進行加窗處理，先分段求功率譜之后再進行平均[14]。

如圖8所示，設定迭代次數(shù)為5000，初值x0=0.5，做了歸一化處理后相對最大值來說，其他點的峰值都是負值。可以看到，前三種系統(tǒng)的功率譜密度曲線在總體走勢上雖然保持了一致，但在更細節(jié)的形狀上差異也不小，功率/頻率值保持在（-5，-15）內(nèi)，而HDC系統(tǒng)的功率/頻率值的高值較低，集中在（-15， -20）。因此，前三種系統(tǒng)得到的功率譜分辨率越高，同時方差加大;HDC系統(tǒng)方差變小，但功率譜分辨率較低。對于隨機產(chǎn)生序列的方差，HDC系統(tǒng)產(chǎn)生的序列方差更小，均勻分布性明顯。

3 應用仿真

為進一步驗證本文HDC系統(tǒng)的均勻分布性能，通過對人工蜂群算法初始化種群階段采取的蜜源分布分析[14]。選取Bohachevsky函數(shù)對其初始蜜源分布進行研究。Bohachevsky函數(shù)本身表現(xiàn)出非線性多模態(tài)的函數(shù)特征，此起彼伏的山峰出現(xiàn)存在跳躍性，具有開闊的搜索立體空間。仿真條件設置為迭代次數(shù)為1000，

取初值x0為0.33，k值取2，繪制出四種系統(tǒng)初始蜜源分布XY視圖。如圖9所示，L-C復合系統(tǒng)和Chebyshev映射初始化的蜜源均集中在邊界處，中部區(qū)域稀疏;而S-S級聯(lián)系統(tǒng)初始化的蜜源大致呈現(xiàn)“十字”的分布規(guī)律，分布不均勻;經(jīng)過HDC系統(tǒng)初始化的蜜源分布比其他三種系統(tǒng)初始化的蜜源更加均勻，驗證了HDC系統(tǒng)可以使解集更加均勻分布在函數(shù)的解空間里。

4 結語

本文基于混沌映射迭代值遍歷整個值域區(qū)間時均勻優(yōu)化的需求，通過數(shù)理推導出隨機變量函數(shù)與原映射合成的一種均勻優(yōu)化Chebyshev映射的系統(tǒng)，并對其平衡性、復雜度、相關性和功率譜密度等進行仿真與評價。分析結果表明，均勻化分布的系統(tǒng)有效解決了值域邊界雙峰型的分布問題，序列在整個區(qū)間趨于均衡。仿真結果表明：平衡曲線隨著序列長度增加更加均勻和穩(wěn)定，復雜度指標的降低也充分說明了系統(tǒng)均勻性良好，產(chǎn)生序列的隨機誤差小，不同序列間相似程度高，可以在優(yōu)化算法中使得初始化種群的分布趨于均勻遍歷。因此，本文引入的動力學系統(tǒng)在改善系統(tǒng)均勻分布的特性是有效的。