福建

陳玉蘭 吳志鵬

(作者單位：福建省德化第一中學(xué))

“經(jīng)典”的試題之所以能成為后續(xù)教與學(xué)的示范，主要是試題的命制為教學(xué)提供了可模擬、可變式、可拓展和可借鑒的典范，具有很強的操作性和參考價值，很多高考試題都具備這種功能，能啟迪教師的教學(xué).下面以2013年陜西卷理科第20題為例進行說明.

一、“經(jīng)典”試題

1.(2013·陜西卷理·20)已知動圓過定點A(4,0),且在y軸上截得弦MN的長為8.

(Ⅰ)求動圓圓心的軌跡C的方程；

(Ⅱ)已知點B(-1,0),設(shè)不垂直于x軸的直線l與軌跡C交于不同的兩點P，Q,若x軸是∠PBQ的角平分線,證明直線l過定點.

二、又現(xiàn)新題

(Ⅰ)當l與x軸垂直時，求直線AM的方程；

(Ⅱ)設(shè)O為坐標原點，證明：∠OMA=∠OMB.

(Ⅰ)若|AF|+|BF|=4，求l的方程；

三、試題對比

1.總體印象

2013年高考數(shù)學(xué)陜西卷理科第20題與2018年全國卷Ⅰ理科第19題、2019年全國卷Ⅰ理科第19題在整體上很相似,雖然我們并不知道命題專家是否以這道高考題為“原型”或參考這道高考題進行2018年和2019年這兩道解析幾何試題的命制，但2018年和2019年的這兩道解析幾何問題的設(shè)置確實與之有著“異曲同工”之妙：2018年全國卷Ⅰ理科第19題適當變換了2013年陜西卷理科第20題的條件，將拋物線變換成了橢圓，而第二小題都是以角平分線為載體進行問題的設(shè)計，相似度很高；2019年全國卷Ⅰ理科第19題只是適當變換了2013年陜西卷理科第20題的結(jié)論，將角平分線的問題改成了以向量為載體求弦長的問題，同樣也是“一脈相承”.

2.共同特征

它們考查的都是圓錐曲線的定義及其相關(guān)的幾何問題等核心知識，題目均能很好地貫徹、落實新課程標準，即了解圓錐曲線的實際背景，感受圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用；能用坐標法解決一些與圓錐曲線有關(guān)的簡單幾何問題(直線與圓錐曲線的位置關(guān)系)和實際問題.題目設(shè)置具有條件簡潔、文字符號少、立意鮮明和結(jié)構(gòu)精巧等共同特征，考查的內(nèi)容為“角平分線”“向量相等”和“直線與圓錐曲線的位置關(guān)系”，對每個考生來說，都很熟悉，題目的入口寬，解題思路多樣；試題的第二問，從知識角度看，能夠考查學(xué)生對直線的方程、弦長的計算、角平分線的性質(zhì)、圓錐曲線的幾何性質(zhì)及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的理解程度；從數(shù)學(xué)思想方法看，考查了數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想和化歸與轉(zhuǎn)化思想等數(shù)學(xué)思想方法；從能力角度看，考查了推理論證能力和運算求解能力，本題仍是解析幾何解答題的典型題，第二問不外乎用“三步曲”：第一步聯(lián)立直線的方程與圓錐曲線的方程，尋求坐標之間的關(guān)系；第二步利用幾何條件轉(zhuǎn)化為用坐標表示，或是利用向量相等進行坐標轉(zhuǎn)化；第三步，將第二步的結(jié)果代入第一步的表達式中得到結(jié)果——這幾乎是解析幾何問題的最終歸宿，試題雖然常規(guī)，但卻能有效地考查學(xué)生的層次性和差異性，主要表現(xiàn)在通過對所提供的條件以及對有關(guān)概念的準確理解，通過運算和推理獲得證明；通過圖形抓住問題的本質(zhì)，得到不同的解題思路，這樣既考查學(xué)生抓住數(shù)學(xué)問題本質(zhì)的靈敏度，又能考查學(xué)生思維的創(chuàng)造性.

3.兼具特色

2013年陜西卷理科第20題把學(xué)生熟悉的“角平分線”與x軸巧妙結(jié)合，從而凸顯試題圖形的對稱性，又使得試題的難度值下降，2018年全國卷Ⅰ理科第19題也正是如此；2019年全國卷Ⅰ理科第19題則是考查學(xué)生利用向量的“工具”即“坐標法”進行解題的能力，同樣使試題的計算量減少了很多，難度也有很大的下降，更符合新課標讓學(xué)生“多思少算”的思路.試題中圖形的巧妙結(jié)合，給考生創(chuàng)設(shè)了更多成功的機會，這樣的高考題自然成為高考復(fù)習(xí)訓(xùn)練中教師優(yōu)先選擇的典型題目.題目設(shè)計的“巧”與“活”為相似的三道高考試題注入了“靈性”，其所蘊含的思想方法凸顯在文字、符號和圖形中，這樣的題目無疑是高考題中的經(jīng)典，也是今后教學(xué)中值得關(guān)注和研究的問題.

四、利用對2013年陜西卷理科第20題的解法探究，實現(xiàn)學(xué)生思維的多向發(fā)展

對于第一問，容易求得C的軌跡方程為y2=8x，下面僅對第二問進行解法探究.

思路1：利用點斜式設(shè)出直線l的方程為y=kx+b，與拋物線C聯(lián)立，得到一個一元二次方程，由根與系數(shù)的關(guān)系得到兩根的和與積，并利用x軸是∠PBQ的角平分線的性質(zhì)(kQB+kPB=0)得到P，Q兩點的坐標關(guān)系式，進而化簡直線的方程，通過方程求得直線所過的定點.

解法1：證明：設(shè)直線l的方程為y=kx+b(k≠0)，

y1(x2+1)+y2(x1+1)

=y1x2+y2x1+(y1+y2)

由已知得y1+y2≠0，所以y1·y2=-8，即k=-b，此時Δ>0.

故直線l的方程為y=k(x-1)，過定點(1，0).

解法2：證明：設(shè)直線l的方程為y=kx+b(k≠0)，

若x軸是∠PBQ的角平分線，則點P關(guān)于x軸的對稱點為P′，

y1(x2+1)+y2(x1+1)

=y1x2+y2x1+(y1+y2)

由已知得y1+y2≠0，所以y1·y2=-8，即k=-b，此時Δ>0.

故直線l的方程為y=k(x-1)，過定點(1，0).

解法3：證明：設(shè)直線l的方程為y=kx+b(k≠0)，

若x軸是∠PBQ的角平分線，點P關(guān)于x軸的對稱點為P′，

則y1(x2+1)+y2(x1+1)=y1x2+y2x1+(y1+y2)

由已知得y1+y2≠0，所以y1·y2=-8，即k=-b，此時Δ>0.

故直線l的方程為y=k(x-1)，過定點(1，0).

思路2：由于∠PBQ被平分的兩個角和拋物線都關(guān)于x軸對稱，即點P關(guān)于x軸的對稱點P′在直線BQ與拋物線的交點上，即B，P′，Q三點共線，所以我們可以從直線BQ方程與拋物線C聯(lián)立的思想尋找條件，從而獲得解法4.

解法4：證明：設(shè)直線l的方程為y=kx+b(k≠0)，

若x軸是∠PBQ的角平分線，則點P關(guān)于x軸的對稱點P′在直線BQ上.

令直線lBQ的方程為x=my-1，

其中Δ>0,

則(-y1)·y2=8，即y1y2=-8,

即k=-b，此時Δ>0.

故直線l的方程為y=k(x-1)，過定點(1，0).

思路3:利用兩點式設(shè)出直線lPQ的方程，即直線lPQ的方程為8x-(y1+y2)y+y1y2=0，同理我們可以假設(shè)直線lP′Q(點P(x1,y1)關(guān)于x軸的對稱點P′(x1,-y1))的方程為8x-(y2-y1)y-y1y2=0，直線lP′Q過點B(-1,0)，所以y1·y2=-8，此種方法大大減少了計算量，從而得到解法5.

因為x軸是∠PBQ的角平分線，則點P(x1,y1)關(guān)于x軸的對稱點P′(x1,-y1)也在拋物線上，所以直線lP′Q的方程為8x-(y2-y1)y-y1y2=0,

因為直線lP′Q過點B(-1,0)，所以有y1·y2=-8,

直線lPQ的方程可化為-(y1+y2)y+8(x-1)=0,

故直線過定點(1，0).

解法6:猜想直線lPQ過定點M(1,0)，證明如下：

其中Δ>0,

令P(x1,y1)，Q(x2,y2)，

則(-y1)·y2=8，即y1y2=-8,

因為(x1-1)y2-(x2-1)y1

=x1y2-y2-x2y1+y1

2018年全國卷Ⅰ第19題與2019年全國卷Ⅰ第19題，也存在多樣的探究思路，具有很強的廣闊性，也能夠遷移以上方法進行求解，有興趣的讀者可自行整理.

五、利用對2013年陜西卷理科第20題的變式與拓展實現(xiàn)高效率的教與學(xué)

方案1：適當改變條件，而不改變結(jié)論

變式1：已知拋物線C：y2=2px(p>0)和點B(-m,0)(m≠0)，設(shè)不垂直于x軸的直線l與C交于不同的兩點P,Q,若x軸是∠PBQ的角平分線,證明直線l過定點M(m,0).

變式2：將條件中的拋物線改成橢圓可得2018年全國卷Ⅰ理科第19題.

方案2：適當改變結(jié)論，而不改變條件

變式3：將結(jié)論中角平分線的條件變換成向量相等可得2019年全國卷Ⅰ理科第19題.

方案3：將條件和結(jié)論進行適當變換后重新組合

變式4：已知拋物線C：y2=2px(p>0)和點B(-m,0)(m≠0)，過點M(m,0)且不垂直于x軸的直線l與C交于不同的兩點P,Q,證明：∠PBO=∠QBO.

變式5：已知拋物線C：y2=2px(p>0)和點B(-m,0)(m≠0)，過點M(m,0)且不垂直于x軸的直線l與C交于不同的兩點P,Q,若點P關(guān)于x軸的對稱點為P′.證明：P′，M，Q三點共線.

變式方案有很多，進行變式研究與結(jié)論拓展是高效教學(xué)的一個重要方法，從2013年陜西卷理科第20題的變式與拓展中，我們能夠很好地感受其對學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)形成的良好作用以及對教學(xué)的啟迪與示范.

六、反思與感悟